第九讲 分解质因数
质数：一个大于1的数除了1和它背身之外，没有别的因数，这个数就做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a11×a22×a33×......×ann，其中a1、
a2、a3、a4、......an，都是合数N的质因数，且a1 y yyy求因数个数的公式：P=(y1?1)?(y2?1)?(y3?1)????(yn?1)。 例一：求135因数的个数。 分析：首先对l35分解质因数： 3 135 3 45 3 15 5 所以l35=3×3×3×5。 其次，把l35的质因数作各种乘积的组合： (1)一个质因数构成的因数有：3、5，共2个； (2)两个质因数构成的因数有：3×3、3×5，共2个； (3)三个质因数构成的因数有：3×3×3、3×3×5，共2个； (4)四个质因数构成的因数有：3×3×3×5，只有1个； (5)单位1。 合计共有因数： 2+2+2+1+1=8(个) 也可以：l35=1×135 135=3×45 135=5×27 135=9×15 或可由135=33×5，套用求因数的个数公式：P=(3+1)×(1+1)=8(个) 因此：135的因数共有8个，分别是：l，3，5，9，15，27，45，135。 练习一 1．写出852的所有因数。 2．求294000有几个因数? 例二： 李强是一个中学生，今年参加一次数学竞赛，满分l00分，他说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是3738，成绩还不错。”李强得了多少分?获得第几名?今年多大了？ 分析：把3738分解质因数，根据他是一名中学生确定其年龄大约是十几岁，然后确定其成绩和名次。 解：3738=2×3×7×89=3×(2×7)×89 答：李强得了89分，获得第三名，今年l4岁。 练习二 1．今年小阳参加了中学数学竞赛，取得了较好的成绩，小红问小阳的竞赛成绩及获得的名次，小阳说：“我的名次和我的岁数及我的分数的乘积是2910。”请问：小阳的成绩和名次各是多少? 2．六年级学生丁当参加数学竞赛，他所获得的名次和成绩若与自己的年龄相乘，积正好是2328。问：丁当几岁?名次和成绩又是多少? 例三：将14、30、33、35、39、75．143、169这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。 分析：把八个数分成两组，要使两组中的四个数的乘积相等，就是要把积分解质因数，两个积所含有的质因数及质因数的个数完全相同，这样就保证两个积相等。为此我们可以把八个数分别分解质因数，再按上述原则对这八个数进行搭配，即可满足题目要求。 14=2×7 30=2×3×5 33=3×11 35=5×7 39=3×13 75=3×52 143=11×13 169=132 这八个数的所有质因数中有2个2、4个3、2个7、2个11、4个5、4个13。所以在分成两组时，每组数都要含有l个2、2个3,1个7、1个11、2个5、2个13。这样经过搭配可以找到两种分法。 第一种分法：l4、33、75、169和30、35、39、143。 14×33×75×169=2×7×3×11×3×5×5×13×13=2×32×52×7×11×132 30×35×39×143=2×3×5×5×7×3×13×13×11=2×32×52×7×11×132 第二种分法：30、33、35、169和39、14、75、143。 练习三 1．把7、14、20、21、28、30分成两组，每组三个数相乘，使两组数的乘积相等。 2．有l0个数：21、22、34、39、44、45、65、76、133和153。把它们编成两组，每组五个数，要求这两组五个数的乘积相等。 例四：三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少? 分析：三个质数相加的和是偶数，必定有一个质数是2。80-2=78，剩下两个质数的和是78，要使它们的积最大，应使这两个质数的差尽可能的小，只能是41和37。因此这三个质数分别是2，37和41。 答：最大积是：2×37×41=3034。 练习四 1．如果A+B=70，A×B=1161，A比B大，那么A-B等于多少? 2．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。\乙说：“我的三个数的和是16。\丙说：“我的三个数的积是63。’’问：甲、乙、丙各拿了哪几张卡片? 例五：有四个数相乘，225×1965×292×( )，要想使四个数的乘积末尾有5个0，括号中的数最少是多少? 分析：我们先对几个整十数进行分解质因数。 10=2×5 20=2×2×5 30=2×3×5 100=2×2×5×5 将一个整十数分解质因数后，至少有质因数2和5各一个，也就是说一个数末尾有l个0，这个数中一定能分解出1个2和1个5，一个数的末尾有2个0，这个数一定能分解出2个2和2个5。一个数的末尾有几个0，就能将这个数分 解出同样的几个2和几个5。 相反两个数相乘，可以先分解这两个数，看这两个数中共有多少对2和5，积的末尾就有多少个0。例如125×64，125=53，64=26，这两个数共有三对2和5，它们的乘积的末尾一定有3个O，所以125×64=8000。 下面我们对225、1965、292进行分解。 225=3×3×5×5 1965=3×5×131 292=22×73 这三个数分解质因数中只有2个2和3个5，要想使乘积末尾有5个连续的0，还需要被补充2个5和3个2。5×5×2×2×2=200，即括号中最小的数是200。 练习五 1．要使4个数的积l35×1925×486×( )的结果最后5位数字全是0， ( )内的数最小应是多少?积是多少? 2．有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是l620，这三个学生年龄的和是多少岁? 基础篇 1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少? 2、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少l0米，长和宽的和是多少米? 3、今年祖孙两人的年龄都是合数，明年他们岁数的乘积是1610，祖孙两人今年各是多少岁?