附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，

≈0.09．

【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；

（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；

（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计=（9.334，10.606），进而需剔除（公式计算即得结论．

【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026， 因为P（X=0）=

×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

﹣3

、+3

可知（

﹣3

+3

）

）之外的数据9.22，利用

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408， 又因为X～B（16，0.0026）， 所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（

﹣3

+3﹣3

）之外的+3

）

概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（

之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（剔除（

﹣3

﹣3+3

+3

）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

=9.97，σ的估计值为

=0.212，

）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为

（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02．

2

=16×0.212+16×9.97≈1591.134，

﹣3

+3

）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为

22

剔除（

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为

≈0.09．

【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆C：P3（﹣1，

），P4（1，

+

=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），

）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，由此能求出椭圆C的方程．

（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立

，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、

直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，圆C上，

又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1，把P2（0，1），P3（﹣1，

），P4（1，

）三点在椭圆C上．

），P4（1，

）两点必在椭），P4（1，

）

）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，

）代入椭圆C，得：

，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆C的方程为=1．

证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1， ∴

=

=

=﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立

，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

，x1x2=，

则==

===﹣1，又t≠1，

∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣

﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．

（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，

当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣）， 令f′（x）=0，解得：x=ln， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln，

∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减，

综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x， 当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，