【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．

【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=∴3csinBsinA=2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC=； （2）∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC=，

，

，再根据正弦定理可得bc=8，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣， ∴cos（B+C）=﹣， ∴cosA=， ∵0＜A＜π， ∴A=∵

， =

=

=2R=

=2

，

∴sinBsinC=∴bc=8，

?===，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9，

∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33， ∴b+c=

∴周长a+b+c=3+．

【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；

（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=

．取AD中点O，BC中

点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD=

．

取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，

以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（

），B（，

设平面PBC的一个法向量为由

，得

， ，取y=1，得

．

），P（0，0，

，

），C（

．

）．

∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB，则∴cos＜

＞=

为平面PAB的一个法向量，

=

．

．

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得=

=9.97，s=

=

≈0.212，

其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16． 用样本平均数作为μ的估计值

，用样本标准差s作为σ的估计值

﹣3

+3，利用）之

估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．