2020届北京市海淀区高三一模

数学试题

1．在复平面内,复数i(2?i)对应的点位于（ ） A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

2．已知集合A??x|0?x?3?， AIB= {1}，则集合B可以是（ ） A．{1，2}

2B．{1，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3 }

y23．已知双曲线x?2?1(b?0)的离心率为5,则b的值为（ ）

bA．1

B．2

C．3

D．4

4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）

A．b-a

cc? baD．bc

15．在(?2x)6的展开式中，常数项为（ ）

xA．?120 B．120 C．?160 D．160

6．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆

M?时，圆M?与直线l相切于点B，点A运动到点A?，线段AB的长度为

到直线BA?的距离为（ ）

3?,则点M?2

A．1 B．3 2C．

2 2D．

1 27．已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（ ） A．[-1，+∞)

B．(-∞，-1]

C．[-2，+∞)

D．(-∞，-2]

8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）

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A．5 B．22 C．23 D．13 9．若数列{an}满足a1?2,则“?p,r?N*,ap?r?apar”是“{an}为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

n10．形如22?1(n是非负整数)的数称为费马数，记为Fn.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那F5的位数是（ ） (参考数据: lg2≈0.3010 ) A．9

B．10

C．11

D．12

11．已知点P(1，2)在抛物线C:y2?2px上，则抛物线C的准线方程为___. 12．在等差数列?an?中，a1?3,a2?a5?16，则数列{an}的前4项的和为___.

rrrr1rrrra=a-b(a?b)?b=__. 13．已知非零向量a， 满足，则b2AB?43,?B?14．在△ABC中，

?4?ADC?，点D在边BC上，

2?,CD=2，则AD=___；3△ACD的面积为____.

15．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：

①函数f(x)的最大值为12；

②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；

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③关于x的方程f?x??kx?3最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____.

16．AB⊥平面BB1C1C,AB?BB1?2BC?2,BC1?3，如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，点E为A1C1的中点.

(I)求证：C1B?平面ABC； (II)求二面角A?BC?E的大小. 17．已知函数f(x)?2cos2?1x?sin?2x. (I)求f(0)的值；

(II)从①?1?1,?2?2；②?1?1,?2?1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[???,]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.

2618．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:

其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).

(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过

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10%的概率；

(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；

(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.

19．已知函数f(x)?ex?ax. (I)当a=-1时，

①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； ②求函数f(x)的最小值；

(II)求证:当a???2,0?时，曲线y? f?x?与y?1?lnx有且只有一个交点.

x2y2320．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为,A1(?a,0),A2(a,0),B(0,b)，

2ab?A1BA2的面积为2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线

A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.

21．已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k?N*，使得a2n?1?a2n?kan任意的n?N*成立，则称数列{an}具有性质?(k).

（1）分别判断下列数列{an}是否具有性质?(2)； (直接写出结论) ①an?1 ②an?2,

（2）若数列{an}满足an?1?an(n?1,2,3,L)，求证:“数列{an}具有性质?(2)”是“数列

n{an}为常数列”的充分必要条件；

（3）已知数列{an}中a1?1,且an?1?an(n?1,2,3,L).若数列{an}具有性质?(4)，求数列{an}的通项公式.

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