2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1．复数A．i

（ ）

B．﹣i C．4+2i D．1+i

，则p是q的（ ）

2．已知条件p：x＞1，q：

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移则φ的一个可能取值为（ ） A．

B．

C．0

D．

xdx，S3=

sinxdx，则（ ）

个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，

4．若S1=

（ex﹣1）dx，S2=

A．S2＞S3＞S1 B．S1＞S3＞S2 C．S2＞S1＞S3 D．S1＞S2＞S3 5．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（ ）

A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8

6．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值

为（ ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

7．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（ ） A B C D

A．192种 B．128种 C．96种 D．12种

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8．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．设双曲线

﹣

=1的两条渐近线与直线x=

分别交于A，B两点，F为该双曲线的

右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．B．C．（1，） （，2） （1，2） D．（，+∞）

10．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（ ） A．6π B．12π C．32π D．36π

11．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（ ） A．1 B． C．2 D．2

12．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）?f（y）=f（x+y）成立，若数列{an}满足

a1=f（0），则下列结论成立的是（ ）

A．f（a2020）＞f（a2020） B．f（a2020）＞f（a2020） C．f（a2020）＜f（a2020） D．f（a2020）＜f（a2020）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

，（n∈N*），且

14．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则

m= ．

15．已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 ． 16．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），设Sn为{bn}的前n项和．若a12=a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于 ．

三、解答题

17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a． （I）求； （Ⅱ）若c2=a2+

，求角C．

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18．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]

8 12 40 32 8 元件A

7 18 40 29 6 元件B

（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

19．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB． （Ⅰ）求证：AB⊥DE；

（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出由．

；若不存在，说明理

20．已知F1、F2是椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=，点P为椭圆

上的一个动点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为（1）求椭圆的方程；

．

（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共

=0，求||+||的取值范围． 线，且

21．已知函数f（x）=﹣x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）． （1）求f（x）的极值； （2）若对任意x∈[1，+∞），使得f（x）+g（x）≥﹣x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：对n∈N*，不等式

+

+…+

＞

成立．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

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22．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC?AE=DC?AF，B，E，F，C四点共圆． （Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ，ρcos（θ+

）=1

（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；

（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使||?||=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．

[选修4-5：不等式选讲] 24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

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