2015年宝山、静安、青浦区第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷（理科） 2015.04.

（满分150分，考试时间120分钟）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知抛物线y2?2px的准线方程是x??2，则p? ．

2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此扇形的弧长为 cm． 3．复数

3?4i

（i为虚数单位）的模为 ． i

4．函数y?2x?2x?1的值域为 ． 5．若??20??x???2???????，则x?y? ．

??13??y??10?911??6．在?x?2?的展开式中，3的系数是 ．

xx??7．方程lg(3sinx)?lg(?cosx)的解集为 ．

8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为

4，则他得分的数学期望是 分． 59．过圆x2?y2?4x?my?0上一点P(1,1)的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P(2，

π??11π)到直线?sin?????1的距离等于 ． 66??11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同

的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．

uruuruuururuuruuururuur12．设e1,e2是平面内两个不共线的向量，AB?(a?1)e1?e2，AC?be1?2e2，a?0,b?0.

若A,B,C三点共线，则

12?的最小值是 ． ab13．设等差数列?an?的前n项和为An，等比数列?bn?的前n项和为Bn，若a3?b3，a4?b4，且

A5?A3a?a?7，则53?B4?B2b5?b3．

14．已知：当x?0时，不等式

11?kx?b恒成立，当且仅当x?时取等号，则k? ．

31?x二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的

相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

ED15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ）

uuuruuuruuuruuur（A）AE?FC?0 （B）AE?DF?0 uuuruuuruuuruuuruuur（C）FC?FD?FB （D）FD?FB?0

FCAB16.已知偶函数f(x)的定义域为R，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A）sin[f(x)]（B）x?f(sinx)（C）f(x)?f(sinx)（D）[f(sinx)]2 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ） （A）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B）②为循环体

（C）③是判断是否继续循环的终止条件

（D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 18.定义：最高次项的系数为1的多项式p(x)x=na+xn-1n-1+鬃?ax1a+0（n?N*）的其

余系数ai(i?0,1,???,n?1)均是整数，则方程p(x)?0的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ） （A）21?513i （B）3 （C） （D）??2222 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AA1?BC?AB?2，AB⊥BC． （1）求四棱锥A1?BCC1B1的体积； （2）求二面角B1?A1C?C1的大小．

B1C1A1BAC20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)?f(x)?f(x??)，其中?是常数. （1）若f(x)?cosx?sinx，且??（2）设f(x)?2x??2，求g(x)的解析式，并写出g(x)的递增区间；

1，若g(x)的最小值为6，求常数?的值． 2x

21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某公园有个池塘，其形状为直角?ABC，?C?900，AB的长为2百米，BC的长为1百米． （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图(1)，使得EF//AB，EF?ED，在?DEF内喂食，求当?DEF的面积取最大值时EF的长；

（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图(2)，建造?DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使?DEF为正三角形，记?FEC??，求?DEF边长的最小值及此时?的值．(精确到1米和0.1度)

AA

DF

DF BBCCEE

图(2) 图(1)

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．

x2?y2?1， 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为设AB是过椭圆C中心O的8任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若MO?2OA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；

（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为y?kx(k?0)，当△AMB面积取最小值时，求直线AB的方程．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

设?an?是公比为q(q?1)的等比数列，若?an?中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称

?an?是封闭数列.

（1）若a1?2，q?3，判断?an?是否为封闭数列，并说明理由；

（2）证明?an?为封闭数列的充要条件是：存在整数m??1，使a1（3）记?n是数列?an?的前n项之积，bn?qm；

?log2?n，若首项为正整数，公比q?2，试问：

?111?11???????，若存在，求?an?的通项公式；是否存在这样的封闭数列?an?，使lim??n??bbn?9?1b2若不存在，说明理由．