A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列 【答案】A

【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥

B．{Sn}是等差数列 D．{dn}是等差数列

22

AnCn.

∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|， ∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.

设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，

则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)， 1

∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]

21

＝c[(b－a)n＋(2a－b)]， 2

11

∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．

2217、已知数列{an}为等差数列，若________． 【答案】19． 【解析】∵

a11

＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为a10

a11

＜－1，且Sn有最大值， a10

∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0， 19a1＋a19

∴S19＝＝19·a10＞0，

2

S20＝

20a1＋a20

2

＝10(a10＋a11)＜0，

故使得Sn＞0的n的最大值为19.

18、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________． 【答案】23．

22

【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以

33

an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.

2

32347323473

5

19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________. 【答案】99

【解析】∵a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.

20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 【答案】21

【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项30和为390，于是有

5＋a30

＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织21尺布．

2

21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________. 【答案】－1

【解析】因为a5是a3与a11的等比中项，所以a5＝a3·a11，即(a1＋4d)＝(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1＝－1.

22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝值为________． 19

【答案】 41

【解析】因为{an}，{bn}为等差数列，所以2×11－319a9a319

＝，所以＋＝.

4×11－341b5＋b7b8＋b441

23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 【答案】130

【解析】由an＝2n－10(n∈N)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.

24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N，满足a1＋a2＝10，S5＝40. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

??－n＋10n，n≤5，2

【答案】(1) 2n＋2 (2) －n＋10n Tn＝?2

?n－10n＋50，n≥6.?

2

*

*

*2

2

Sn2n－3a9a3

，则＋的Tn4n－3b5＋b7b8＋b4

a9b5＋b7

＋

a3b8＋b4

＝

a9a3a9＋a3a6S11a1＋a112a6

＋＝＝.因为＝＝＝2b62b62b6b6T11b1＋b112b6

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，

6

S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，

??a1＝4，所以?

?d＝2，?

所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.

(2)令cn＝13－an＝11－2n，

??11－2n，n≤5，bn＝|cn|＝|11－2n|＝?

?2n－11，n≥6，?

22

设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n＋10n. 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n＋10n.

当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n－10n＋2(－5＋10×5)＝n－10n＋50.

??－n＋10n，n≤5，

∴Tn＝?2

??n－10n＋50，n≥6.

2

2

2

2

25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 【答案】(1) (－2). (2) Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列 【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设可得

?a1?

???a1

n1＋q＝2，1＋q＋q2

＝－6.

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2).

n＋1

a11－qn22n(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)·.

1－q33

n42n由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)·

3

n＋3

－23

n＋2

?2

＝2?－＋－1?3

n2·

n＋1

?＝2S，

n3??

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列． (1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝11，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差． anan＋19n＋91

【答案】(1)

n＋8

3

. (2) －1或1

【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，

7

由a1，a4，a8成等比数列可得a4＝a1·a8，即(a1＋3d)＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d. 1

由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3.

31n＋8

故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×＝.

33(2)因为bn＝

1

22

anan＋1d?anan＋1?

1?1?1

＝?－?，

1?11??11??11?＝1?1－1?，

所以数列{bn}的前n项和Tn＝?－?＋?－?＋…＋?－???d?a1a2??a2a3??anan＋1?d?a1an＋1?1?1即Tn＝?－

d?a1

1?1?11?1?11?11

＝?－＝2?－＝－， ???a1＋nd?d?9d9d＋nd?d?99＋n?99＋n1

因此2＝1，解得d＝－1或d＝1.

d故数列{an}的公差为－1或1.

27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. 【答案】(1) a＝2，k＝10 (2)

Snnnn＋3

2

【解析】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋

kk－1

2

2

·d＝2k＋

kk－1

2

×2＝k＋k.

2

由Sk＝110，得k＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)， 故a＝2，k＝10. (2)由(1)，得Sn＝

n2＋2n2

＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，

Snn故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝

n2＋n＋1

2

＝

nn＋3

2

. 28、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式； (2)设数列{bn}的通项公式为bn＝

anan＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？

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