第三章末
一、选择题
1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是( ) A．(0.1,0.2) C．(0.3,0.4) [答案] A
[解析] 设f(x)＝x－1－lgx,f(0.1)＝0.1>0, f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0 ∴f(0.1)f(0.2)<0,故选A.
2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数,且满足a A．2 C．偶数 [答案] D [解析] 由f(a)f(b)<0 知y＝f(x)在(a,b)上至少有一实根,由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b,c)上至少有一实根,故y＝f(x)在(a,c)上至少有2实根． 3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x,则在下列区间中f(x)必有零点的是( ) A．(－2,－1) C．(0,1) [答案] B 1 [解析] f(－1)＝－9<0,f(0)＝e0＝1>0,故f(x)在(－1,0)上有一实数解,故选B. e 4．某企业2008年12月份的产值是这年1月份产值的p倍,则该企业2008年年度产值的月平均增长率为( ) pA. p－1C.11p B.11p－1 B．(－1,0) D．(1,2) B．奇数 D．至少是2 B．(0.2,0.3) D．(0.4,0.5) p－1D. 11 [答案] B [解析] 设1月份产值为a,增长率为x,则 ap＝a(1＋x)11,∴x＝ 11 p－1,故选B. 1 有相同定义域的是( ) x 5．(09·福建文)下列函数中,与函数y＝A．f(x)＝lnx C．f(x)＝|x| [答案] A [解析] 函数y＝ 1 B．f(x)＝ xD．f(x)＝ex 1 的定义域为(0,＋∞),故选A. x 6．(09·宁夏 海南文)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 设f(x)＝min{2x,x＋2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] C [解析] 由题意,可画下图：f(x)的最大值在A点, ???y＝x＋2?x＝4由?,得?,∴f(x)的最大值为6. ???y＝10－x?y＝6 1 7．对任意实数x＞－1,f(x)是2x,log(x＋1)和1－x中的最大者,则f(x)的最小值( ) 2A．在(0,1)内 C．在(1,2)内 [答案] B 1 [解析] 在同一坐标系中,作出函数y＝2x,y＝log(x＋1),y＝1－x的图象,由条件知f(x)的 2 B．等于1 D．等于2 图象是图中实线部分,显见f(x)的最小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得． ∴最小值为f(0)＝1. 8．(江门一中2009～2010高一期末)设f(x)＝2x－x－4,x0是函数f(x)的一个正数零点,且x0∈(a,a＋1),其中a∈N,则a＝( ) A．1 C．3 [答案] B [解析] 由条件知,f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号,取a＝2,有f(2)＝22－2－4<0,f(3)＝23－2－5>0满足,∴a＝2,故选B. 二、填空题 9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果,那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡． B．2 D．4 [答案] 31.2 [解析] 2002年,30×1＝30万只, 2003年,26×1.2＝31.2万只, 2004年,22×1.4＝30.8万只, 2005年,18×1.6＝28.8万只, 2006年,14×1.8＝25.2万只, 2007年,10×2＝20万只． 10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的值的集合为________． [答案] {0,1,9} [解析] 当a＝0时,y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时,由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9. 三、解答题 11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件．经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)． (1)根据图象,求一次函数y＝kx＋b的表达式； (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ [解析] (1)由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b中,得 ???400＝600k＋b，?k＝－1， 解得? ? ???300＝700k＋b，?b＝1 000. ∴y＝－x＋1 000(500≤x≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy,成本总价＝成本单价×销售量＝500y, 代入求毛利润的公式,得 s＝xy－500y＝x(－x＋1 000)－500(－x＋1 000) ＝－x2＋1 500x－500 000 ＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)． ∴当销售单价为750元/件时,可获得最大毛利润62 500元,此时销售量为250件． 12．2005年1月6日,我国的第13亿个小公民在北京诞生,若今后能将人口年平均递增率控制在1%,经过x年后,我国人口数为y(亿)． (1)求y与x的函数关系y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义． [分析] 关键是理解年递增率的意义 2005年人口数为13(亿) 经过1年,2006年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿) 经过2年,2007年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)． 经过3年,2008年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)． [解析] (1)由题设条件知,经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x. (2)∵此问题以年作为单位时间 ,∴此函数的定义域是N*. (3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数, ∵1＋1%＞1,13＞0,∴y＝13(1＋1%)x是增函数, 即只要递增率为正数时,随着时间的推移,人口的总数总在增长．