(C) r?n (D) r?n

2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（ ）

(A) r(A)?m (B) r(A)?n (C) r(Ab)?r(A)?m (D) r(Ab)?r(A)?n

3．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（ ）

(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解 (C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解

x1?2x2?x3?4??x2?2x3?24．方程组?无解的充分条件是??（ ）

?(??2)x??(??3)(??4)(??1)3?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 x1?x2?x3???1??2x2?x3???2?5．方程组?有唯一解的充分条件是??（ ）

x3???4???(??1)x3??(??3))(??1))(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题

1. 设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有AX?0，则A的秩为 .

?kx1?2x2?x3?0?2. 线性方程组?2x1?kx2?0仅有零解的充分必要条件是 .

?x?x?x?0?1233. 设X1,X2,?Xs和c1X1?c2X2???csXs均为非齐次线性方程组AX?b的解

（c1,c2,?cs为常数），则c1?c2???cs? . 4. 若线性方程组AX?b的导出组与BX?0(r(B)?r)有相同的基础解系，则

r(A)? .

5. 若线性方程组Am?nX?b的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 .

三、计算题

1. 已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，问,?3?1??2,??2?,?3??3是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

?5?02. 设A???3??13?1???1?2010??5?6001?26??，B???，已知B的行向量都是线?1?2100?1?3????11?1?23?20??性方程组AX?0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？

?x1?x2?03. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：?

?x2?x4?0412132111）求（Ι）的一个基础解系

2）如果k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?110???2. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A为n阶方阵, A2?I,则( )。

(a) |A|?1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)?n (d) A一定是对称阵 4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( )。

(a) k1?0且k2?0 (b) k1?0且k2?0 (c) k1k2?0 (d) k1?0且k2?0 5. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同

二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A为n阶方阵，且A2?I，则A的全部特征值为_______。 3. 设A为n阶方阵，且Am?0(m是自然数)，则A的特征值为_______。 4. 若A2?A，则A的全部特征值为_______。 5. 若方阵A与4I相似，则A?_______。

三、计算题

1. 若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.

2. 求非奇异矩阵P,使P?1AP为对角阵.

1?2??1?21??? 1) A??? 2) A???1?31?

?12???20?1???四、证明题

1. 设A是非奇异阵, ?是A的任一特征根,求证关于?的特征向量也是A?1关于

11?是A?1的一个特征根,并且A?的特征向量.

2. 设A2?E,求证A的特征根只能是?1.

3. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.

5. 设n阶矩阵A?E，如果r(A?E)?r(A?E)?n，证明：-1是A的特征值。 6. 设A?B，证明Ak?Bk。

7. 设?1,?2是n阶矩阵A分别属于?1,?2的特征向量，且?1??2，证明?1??2不是A的特征向量。

概率论部分

一、填空：（每题3分，共15分）

1． 假设A,B是两独立的事件，P(A?B)?0.7,P(A)?0.3，则P(B)?_________。 2． 设A，B是两事件，P(A|B)?1/4,P(B)?1/3，则P(AB)?__________。 3． 若二维随机变量(X,Y)满足E(XY)?E(X)E(Y)，则X与Y________。 4． 随机变量X~N(0,1),Y?2X?3,则Y~_________。

5． 设总体X~N(0,1),X1,X2,?,X10是来自总体X的样本，则X服从_________分布。 二、选择：（每题3分，共15分）

1． 如果（）成立，则事件A,B互为对立事件

A.AB??B.AB??C.AB??且A?B??0?x?2D.P(A)?P(B)?1

?x?2． 若X的概率密度为f(x)??4?x?0?2?x?4，则P{X?3}?（） 其它A.3/2 B.5/2 C.7/2 D.4

3． 设随机变量X~B(n,p)，则方差var(X)?（）

A.np B.n(1?p) C.np2 D.np(1?p)

4． 下列结论正确的是（）

A.X与Y相互独立，则X与Y不相关 B.X与Y不独立，则X与Y相关 C.X与Y不相关，则X与Y相互独立

D.X与Y相关，则X与Y相互独立

5． 设X1,X2,?,Xn为来自正态总体X~N(?,?)的一个样本，其中?已知，?未知，

则下面不是统计量的是（） (A)X1 (B)22

?i?1n(Xi??)2?21n1n2 (C)?(Xi??) (D)(Xi?X)2 ?ni?1n?1i?1三、计算：（共70分）

1．（15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，

（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；

（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。

?cx2,0?x?22．（10分）设随机变量X的密度函数为f(x)??，

?0,其它