当M运动到离弧最近时， DE＝DH＝DF＝DM＝r，

由（2）在Rt△DFN中，sin∠BDC＝sin60°＝∴FN＝S△HDF＝在Rt△ADE中， sinA＝sin60°＝∴AD＝AB＝AD＝

r， r，

＝

，

，

，

＝

，

，

∴S菱形ABCD＝AB?DE＝

∵当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4， ∴S四边形DFHM＝

，

＝DF?MZ＝rMZ，

∴S△DFM＝S四边形DFHM﹣S△HDF＝∴MZ＝

，

在Rt△DMF中，MF⊥CD，

sin∠MDC＝＝，

∴∠MDC＝60°，

此时，动点M经过的弧长为πr．

【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键．

25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax+

2

x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在

），点D

点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，

是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E． （1）求a，c的值； （2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，求出a、c的值；

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝轴的对称点，C（0，是

＝即＝

），所以D（2，，解得：EH＝2

），DH＝

，点D是点C关于抛物线对称，再证明△ACO∽△EAH，于

；

），

）代入抛物线y＝ax+

2

x+c（a≠0），

，则DE＝2

（3）找点C关于DE的对称点N（4， ），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝

＝

，m

＝ 时，△MPF面积有最大值．

）代入抛物线y＝ax+

2

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，x+c（a≠0），

，

∴a＝﹣，c＝

）

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝

∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，∴D（2，∴DH＝

）， ，

x+

2

令y＝0，即﹣x+＝0，

得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵AE⊥AC，EH⊥AH， ∴△ACO∽△EAH， ∴

＝即＝

，

，

解得：EH＝2则DE＝2

；

（3）找点C关于DE的对称点N（4， ），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣ ），

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝由（2）得E（2，﹣

x﹣

，

），A（﹣1，0），

∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，

联立

解得

∴F （0，﹣∵DH⊥x轴，

），

∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣∴P（2，∴F （0，﹣

）

）与P（2，

x﹣，

）的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FH于点Q， 设点M（m，﹣

m+

2

m+），则Q（m，m﹣m+

2

）（m+

＜m＜）﹣（

m﹣

）； ），

∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣S△MFP＝

∵对称轴为：直线m＝， ∵开口向下，

＜m

，

..

＝

∴m＝ 时，△MPF面积有最大值为

【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

28. 给出四个实数 ，2，0，-1，其中无理数是（ ）

A. B. 2 C. 0

D.