取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（Ｚ≤1.645）=0.95，Z为标准正态随机变量。]
??x?16.72,a??20:40?15.72,计算 8. 1000P?7.00,a1000P20 。 20:40 9． P?10|??20??1.5,10P20?0.04,计算P20 。 a 10．已知
Px1:20(12)Px1:20?1.03,Px:20?0.04,计算Px(12) 。 :20 11． 已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
d?0.06,Ax?0.4,2Ax?0.2，L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
(1)计算E［L］。
(2)计算Var(L)。
(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。 12． (x)购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 Ax?0.3,A1?0.1,Ax?n?0.4,i?0.6，保额b以万元为单位，求保险费率函数R(b)。 x:n 13. 设 PA50?0.014,A50?0.17,则利息强度?=（）。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076 14. 已知i?0.05p,x?1???0.02p,x2?则0.9p（）?,。 x9 A. 0.0189 B. 0.0203 C. 0.0211 D. 0.0245 15. 设15P4?，8P45:1?50.0350.0A566?,0) 0.则6125=( , P：4515 A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008
第七章：准备金
练 习 题
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t时保险人的未来亏损随机变量为：
?aU,0?U?n?t L??a,U?n?t t?n?tn1???a??x?2k:n?2k?2a??x?k:n?k,计算kVx?k:n?k。 时,kVx:n?,a26x:n17
计算E(tL)和Var(tL)。 2． 当k?
3． 已知
P?Ax???0.474,tV?Ax??0.510,tVx?0.500,计算tV(Ax)。
i 4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000qxkVAx:n?（2） kVAx????kx:nV
??i?kxV
1kx:n（3） kVAx:n? 5.
假
设
?1?i?V
一
年
龄
内
的
死
亡
服
从
均
匀
分
布
，
且
在每
?4???35:20?12.00,10V35:20?0.30,10V35:1????4??0.40,P35:20?0.039,a?0.20,a?11.70，求 2035:20?4?V1035:20?10V35:20 。
1 6． 已知?1?PVx?0.11430 x?0.01212,?2?20Px?0.01508,?3?Px:10?0.06942?4?10计算20Vx。 10 7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，qx?k?0.1?1.1k （k=0，1）。计算年缴均衡纯保费P。
1 8． 已知P?0.03,A?0.06,d?0.054,15k45?0.15，求15V45:20。 45:2045:15 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
Var?L??0.20,A45?0.70,2A25?0.30,计算20V?A25?。
10． 已知 tkx?0.30,tEx?0.45,Ax?t?0.52， 计算tVAx 。 11． 已知Ax:n?0.20,d?0.08,计算n?1Vx:n。
????x?t?10.0,tVx?0.100,t?1Vx?0.127,Px?t?1?0.043，求d的值。 12． 已知a 13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L为保单签发时的保险人亏损随机变量，且
A50?0.7,2A30?0.3,Var?L??0.2，计算20V?A30?。
14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：利率i?0，lx?75?x(０≤x≤75)，且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。
??32:13?9,i?5%，求 2V30:15 。 15． 已知q31?0.002,a 16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知??v2?px?qx?1，求?。
17. 个体（x）的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单，保额为1 000元，已知i?0.06,qx?9?0.01262,
18
FPT
年均衡净保费为32.88元，第9年底的净准备金为322.87元，则1000Px?10=( ) A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32
V 18. 已知100t0?A??x100,10P0A0x?()?10.?50,则, ax0.0 3( ) ?t? A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
第八章：保单现金价值与红利
练 习 题
1. 证明式（8.1.7）和式（8.1.8）。
2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。
3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况，计算第1年的费用补贴E1。 4. (x)的单位保额完全连续终身寿险在k年末转为不丧失现金价值。
设 kCV?kVAx，分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k的未来损失方差之比。
????x?12,Ax:n?0.5472,a??x:n?8,用1941年规则计算Pxa 5. 已知Ax?0.3208,a。 :n
6. 向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险，在第10年年末中止，并且那时还有一笔以10CV为抵押的贷款额L尚未清偿，用趸缴纯保费表达：
(1)在保额为1-L的展期保险可展延到原期满时的情况下，期满时的生存给付金额E。 (2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。
7． 考虑(x)投保的缴费期为n的n年期两全保险，保险金为1单位，支付基础为完全离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择： (1)减额缴清终身寿险。
(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n岁时支付的减额生存保险。在时间t的解约金为
tx:nV，它可用来购买金额为b的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n岁时的生存支付f。
设Ax?t:n?t?2Ax?t，用b，A1及n?tEx?t表示f。 x?t:n?t 8． 设k?tCV?k?tV(Ax)。
证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中
H?t??axGS1i?ax?k?1?ax。
9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为
???k?， k?1,2,? kCV?h?Gx?h?Gx?a???k?为始于x+k岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值，式中，G为相应年龄的毛保费；ah在实际中取
2。3如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费，并且Px与Px?t都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的
19
解约金为
kCV??0.90?91.1P2?5kVx?x x1.1P2?)(P?x5k)10. 生存年金递推关系为
??x?h??1?i??px??x1? ?a ?ha?h, h?0,1,2,?
(1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h，则年金的递推关系为
???? ?ax?h?1?1?ih1????x1???px?() ha?h??1?h式中，?h?1为生存者份额的变化。证明并解释
?h?1)?a??x?h?1??(px?h?p?x?h)a??x?h?1(i ?h?1?
?x?hp (2)如果年末的年金收入调整为年初的rh?1倍，其中
?h?1?p??x?h?1?1?i?x?h?rh?1?a??x?h? ?a1???,px?h及 p?x?h表示rh?1。 用 i,i 11. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。
22 12. 在1941年法则中，若P?0.04,P?0.04 ,则 E1=（ ） x A. 0.036 B. 0.046 C. 0.051 D. 0.053
2 13. (30)投保20年期生死两全保险，若P ,利用1941年法则求得 ?0.08,d?0.01P?0.01时的3030:20调整保费为（ ）
A. 0.0620 B. 0.0626 C. 0.0638 D. 0.0715
第九章：现代寿险的负债评估
练 习 题
1.在例9.2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%，求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。 2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ，3年以后为4% ，重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10。 3.在例9.2.5中，若保证利率：第1年到第5年为9.5%，以后为4%，求0到第5保单年度的准备金。 4. 考虑固定保费变额寿险，其设计是公平设计且具有下列性质:
男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值(即保额)：10 000元；在第5保单年度的实际现
金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元。且已知1000q39?2.79，相关资料如下表。 单位：元 I(%) 4 4 4 6
x?岁? 35 36 40 35 1000Ax 246.82 255.13 290.81 139.51 ??x a19.582 6 19.366 7 18.438 9 15.202 1 1000qx 2.11 2.24 3.02 2.11 20