3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：?cf?z?dz??cudx?vdy?i?cvdx?udy；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c：

z?z?t?(??t??)，其中?d?z???对应曲线c的起

点，?对应曲线c的终点，则 ?cf?z?[fz。t dt??z]?t()（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

?f?z?dz?0

c2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,相交，并且以c1,c2,ncn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不cn为边界的区域全含于D内，则

① ?f?z?dz???f?z?dz, 其中c与ck均取正向；

k?1cck② ?f?z?dz?0，其中?由c及c?1(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则?z时只要求出原函数即可。

5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于

4

z21f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)

说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算

D

，z0为c内任意一点，则

f?z??cz?z0dz?2?if?z0?

6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

fz ?c??n?1dz?2?i(z?z)n!0f?n??z0?(n?1,2)

其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：

?c?2?i,1dz??(z?a)n?1?0,n?0。 n?0（c是包含a的任意正向简单闭曲

线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法

?f?z?dz???c?f[z?t?]z??t?dt

2）设f?z?在区域D内解析，

? c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，?cf?z?dz?0 ? c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

z2z1?cf?z?dz??f?z?dz?F?z2??F?z1?

3）设f?z?在区域D内不解析 ?

?f?z?dz?2?if?z0???cz?z?0曲线c内仅有一个奇点：（f(z)在c内解析） ?fz??dz?2?if?n?z??0???c(z?z)n?1n!0?n? 曲线c内有多于一个奇点：?f?z?dz???f?z?dz（ci内只有一个奇

ck?1ck 5

点zk）

或：?f?z?dz?2?i?Res[f(z),zk]（留数基本定理）

ck?1n?

f?z?若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计

(z?zo)n?1算。

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数

?2??2?且满足2?2?0，

?x?y?(x,y)为D内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

? 解析函数f?z??u?iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。

? 两个调和函数u与v构成的函数f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西—

黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。

3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件，得?v,?v；

?x?y对?v??u两边积分，得v???udy?g?x? （*）

?y?x?x再对（*）式两边对x求偏导，得?v??x???u???dy??g??x? ?x??x?（**）

g?x?；

由C?R条件，?u???v，得?u???y?x?y???u?dy??g??x?，可求出 ??x???x? 6

代入（*）式，可求得 虚部v???udy?g?x? 。

?x2）线积分法：若已知实部

dv??v?v?u?udx?dy??dx?dy， ?x?y?y?x?x,y?00u?u?,x?y，利用C?R条件可得

故虚部为v???x,y???udx??udy?c；

?y?x由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中?x0,y0?与?x,y? 是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部u?u?x,y?，根据解析函数的导数公式和C?R条件得知，

f??z???u?v?u?u?i??i?x?y?x?y

将此式右端表示成z的函数U?z?，由于f??z?仍为解析函数，故

f?z???U?z?dz?c （c为实常数） 注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. （九）复数项级数 1．复数列的极限

1）复数列{?n}?{an?ibn}（n?1,2）收敛于复数??a?bi的充要条件为

liman?a,n??limbn?b

n?? （同时成立）

2）复数列{?n}收敛?实数列{an},{bn}同时收敛。 2．复数项级数

1）复数项级数??n(?n?an?ibn)收敛的充要条件是级数?an与?bn同

n?0n?0n?0???时收敛；

2）级数收敛的必要条件是lim?n?0。 n??

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