a2b2c21，故原不等式得证。 ?????a?b?c?。当且仅当a?b?c时，上述各式取“=”

b?cc?aa?b2六、 引入参数拼凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。

149例15 已知x,y,z?R?，且x?y?z?1，求??的最小值。

xyz解：设??0，故有??x?y?z?1??0。

??9149149?1??4??????????x?y?z?1?????x?????x?????x??? xyzxyz?x??y???z?2??4??6????12???。当且仅当

式取“=”， 即x?149??x,??y,??z同时成立时上述不等xyz1?,y?2?,z?3?，代入x?y?z?1，解得??36，此时12????36，故

149??xyz的最小值为36。

七、 引入对偶式拼凑

根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用

均值不等式的条件。

例16 设a1,a2,???,an为互不相等的正整数，求证

证明：记bn?则

an111a1a2a31。 ???????????????122232n2123nan1111a1a2a3d????????，构造对偶式， ???????na1a2a3an122232n2?a?a11??a21??a31?1?1??111bn?dn??2????2????2????????n??2??????????， 21a2a3ana123n???1??2?3?n????当且仅当ai?ii?N,i?n时，等号成立。又因为a1,a2,???,an为互不相等的正整数，

??所以dn??11111111??????，因此bn????????。 123n123n评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

八、 确立主元拼凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。

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例17 在?ABC中，证明cosAcosBcosC?1。 8分析：cosAcosBcosC为轮换对称式，即A,B,C的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元

看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。

证明：当cosA?0时，原不等式显然成立。 当cosA?0时，cosAcosBcosC?1cosA??cos?B?C??cos?B?C??? 21?cosA??cos?B?C??cosA?? 2211?cosA??1?cosA??1?cosA?1?cosA?????。 22?28??cos(B?C)?1当且仅当?，即?ABC为正三角形时，原不等式等号成立。

cosA?1?cosA? 综上所述，原不等式成立。

评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到cos(B?C)，

然后利用cos(B?C)的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。

综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，

恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开

拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。

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