运用均值不等式的八类拼凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、 拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，

均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知0?x?1，求函数y??x3?x2?x?1的最大值。

解：y??x2?x?1???x?1???x?1??1?x2???x?1??1?x?

2?x?1x?1???1?x????32x?1x?12 。 ?4????1?x??4?2??223??27??当且仅当

3x?1132。故ymax?。 ?1?x，即x?时，上式取“=”

2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，

求“积”的最大值。

例2 求函数y?x21?x2?0?x?1?的最大值。

x2x2???1?x2?。 解：y?x?1?x??4?2242?x2x22???1?x???1?x2x2222因， ???1?x?????22327??????3x2623??1?x2?，即x?当且仅当时，上式取“=”。故ymax?。

932评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知0?x?2，求函数y?6x?4?x2?的最大值。

解：y?36x22?4?x?22?18?2x2?4?x2??4?x2?

3?2x2??4?x2???4?x2??18?83???18?。

327????1

当且仅当2x2?4?x2，即x???23时，上式取“=”。 3故ymax218?83323，又y?0,ymax?。 ?327二、 拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为

出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件

例4 设x??1，求函数y??x?5??x?2?的最小值。

x?1???x?1??4??x?1??1??????x?1?4?5?2y?解：

x?1x?1当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymin?9。

?x?1??4?5?9。 x?1评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑

定积”，往往是十分方便的。

例5 已知x??1，求函数y?24?x?1??x?3?2的最大值。

解：?x??1,?x?1?0，?y?24?x?1??x?1?2?4?x?1??4?24?x?1??4?4x?1?24?3。

2?2?4当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymax?3。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设

法将分母“拼凑定积”。

例6 已知0?x??，求函数y?2?cosx的最小值。

sinxx?x解：因为0?x??，所以0??，令tan?t，则t?0。

22211?cosx1?t213t13t???t???2??3。 所以y?sinxsinx2t2t22t2当且仅当

3?13t,x?时，上式取“=”?，即t?。故ymin?3。 332t2评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式

的环境。

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三、 拼凑常数降幂

例7 若a3?b3?2,a,b?R?，求证：a?b?2。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥

梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是a?b?1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 证明：?a3?13?13?33a3?13?13?3a,b3?13?13?33b3?13?13?3b。

?a3?b3?4?6?3?a?b?,?a?b?2.当且仅当a?b?1时，上述各式取“=”，

故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若x3?y3?2,x,y?R?，求x2?y2?5xy的最大值。

解：?3?1?x?x?1?x3?x3,3?1?y?y?1?y3?y3,3?1?x?y?1?x3?y3,

?x2?y2?5xy?1?x3?x3?1?y3?y3?5?1?x3?y3?3?7?7?x3?y3?3?7。

当且仅当a?b?1时，上述各式取“=”，故x2?y2?5xy的最大值为7。

例9 已知a,b,c?0,abc?1，求证：a3?b3?c3?ab?bc?ca。

证明：?1?a3?b3?3?1?a?b,1?b3?c3?3?1?b?c,1?c3?a3?3?1?c?a，

3222?3?2?a3?b3?c3??3?ab?bc?ca?，又?ab?bc?ca?3abc?3，

?3?2?a3?b3?c3??2?ab?bc?ca??3,?a3?b3?c3?ab?bc?ca。

当且仅当a?b?c?1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、 拼凑常数升幂

例10 若a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证a?5?b?5?c?5?43。

分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是

161a?b?c?，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

33证明：?2?161616161616?a?5???a?5?,2??b?5???b?5?,2??c?5???c?5?， 333333163?2?。

?a?5?b?5?c?5?31??a?b?c??32.?a?5?b?5?c?5?43?3

当且仅当a?b?c?1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 3例11 若a?b?2,a,b,?R?，求证：a3?b3?2。

证明：?3?1?1?a?13?13?a3,3?1?1?b?13?13?b3,?3?a?b??4?a?b。

33又?a?b?2,?a3?b3?2。当且仅当a?b?1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、 约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

28例12 已知x,y,?0,??1，求xy的最小值。

xyy1? 解：xy?x?2?28?4y6x4x?y????32?2??xyxy??2y4?x6x4?3?2y64。

当且仅当

281，故?xy?min?64。 ??时，即x?4.y?16，上式取“=”

xy2例13 已知0?x?1，求函数y?41的最小值。 ?x1?x解：因为0?x?1，所以1?x?0。

所以y?4?1?x?411?x?4???x?1?x??5???9。 ???????x1?xx1?x?x1?x?4?1?x?x?当且仅当

?x2时，即x?，上式取“=”，故ymin?9。 1?x3a2b2c21????a?b?c?。 例14 若a,b,c?R，求证

b?cc?aa?b2分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于a,b,c的轮换对称式，当a?b?c时，等式成立。

a2a?， 此时

b?c2a2a1b?c设m?b?c??，解得m?，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉

b?c244目。 证

明

：

a2b?ca2b?cb2c?ab2c?ac2a?bc2a?b???2??a,??2??b,??2??cb?c4b?c4c?a4c?a4a?b4a?b4。

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