且P(X?20)?0.2?0.2?0.04， P(X?25)?0.2?0.5?0.5?0.2?0.2，

P(X?30)?0.5?0.5?0.3?0.2?0.2?0.3?0.37， P(X?35)?0.3?0.5?0.5?0.3?0.3，

P(X?40)?0.3?0.3?0.09. ……………… 9分 所以X的分布列为：

X P 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 ……………… 10分 故X的数学期望E(X)?20?0.04?25?0.2?30?0.37?35?0.3?40?0.09?31. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分

19．（本小题满分14分） ?c1??,解：（Ⅰ）由题意得?a2

??a?c?1,y M O N P F Q 解得a?2，c?1， …………… 3分 从而b?a2?c2?3，

x2y2 所以椭圆C的方程为??1． … 5分 43A x 33 （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，有M(1,)，N(1,?)，P(4,?3)，Q(4,3)，F(1,0)，

22uuuruuuruuuruuur 则FP?(3,?3)，FQ?(3,3)，故FP?FQ?0，即?PFQ?90o． ………… 6分

当直线l的斜率存在时，设l:y?k(x?1)，其中k?0． ……………… 7分 ?y?k(x?1), 联立?2 得(4k2?3)x2?8k2x?4k2?12?0． ……………… 8分 2?3x?4y?12, 由题意，知??0恒成立，

8k24k2?12 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?x2?2，x1x2?． ………… 9分

4k?34k2?3y 直线MA的方程为y?1(x?2)． ……………… 10分

x1?22y12y1 令x?4，得yP?，即P(4,)． ……………… 11分

x1?2x1?2 9 / 12

2y2)． ……………… 12分 x2?2uuuruuur2y12y2 所以FP?(3,)，FQ?(3,)．

x1?2x2?2 同理可得Q(4,uuuruuur 因为FP?FQ?9?4k2(x1?1)(x2?1)4k2[x1x2?(x1?x2)?1]4y1y2 ?9??9?(x1?2)(x2?2)x1x2?2(x1?x2)?4(x1?2)(x2?2)24k2?128k24k(2?2?1)4k2[(4k2?12)?8k2?(4k2?3)]4k?34k?3 ?9??9??0， 222224k?1216k(4k?12)?16k?4(4k?3)4k2?3?4k2?3?4

所以?PFQ?90o．

综上，?PFQ?90o.

20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数f(x)为偶函数，

所以f(?π)?f(π)，即ae?π?1?aeπ?1， 解得a?0.

验证知a?0符合题意. （Ⅱ）f?(x)?ex?sinx.

由x?0，得ex?1，sinx?[?1,1]， 则f?(x)?ex?sinx?0，即f(x)在(0,??)上为增函数.

故f(x)?f(0)?2，即f(x)?2. （Ⅲ）由f(x)?aex?cosx?0，得a??cosxex. 设函数h(x)??cosxex，x?[0,π]， 则h?(x)?sinx?cosxex. 令h?(x)?0，得x?3π4.

随着x变化，h?(x)与h(x)的变化情况如下表所示：

x (0,3π) 3π44 (3π4,π) h?(x) ? 0 ? h(x) ↗ 极大值 ↘ 10 / 12

……………… 14分

……………… 2分 ……………… 4分 ……………… 6分

……………… 7分 ………………9 分

……………… 10分 ……………… 11分

所以h(x)在(0,3π3π)上单调递增，在(,π)上单调递减. ……………… 13分

44?π3π2?34πe， 又因为h(0)??1，h(π)?e，h()?42cosx3π2?34π所以当a?[e,e)时，方程a??x在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间[0,)与

e42?π(3π,π]上各有一个解. 42?34πe). ……………… 15分 即所求实数a的取值范围为[e,2?π

21．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) ak可以等于k?1，但ak不能等于

(Ⅱ) 记b?a为区间[a,b]的长度，

则区间[0,100]的长度为100，Ik的长度为1.

由①，得N≥100. ……………… 6分 又因为I1?[0,1]，I2?[1,2]，L，I100?[99,100]显然满足条件①，②. 所以N的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N的最大值存在，且为200. 解答如下：

（1）首先，证明N≤200.

由②,得I1,I2,L,IN互不相同，且对于任意k，IkI[0,100]??. 不妨设a1?a2?L?an?L.

如果a2≤0，那么对于条件②，当k?1时，不存在x?[0,100]，使得x?Ii(i?2,3,L,N). 这与题意不符，故a2?0. ……………… 10分 如果ak?1≤ak?1?1，那么Ik?Ik?1UIk?1，

这与条件②中“存在x?[0,100]，使得x?Ii(i?1,2,L,k?1,k?1,LN)”矛盾， 故ak?1?ak?1?1.

所以a4?a2?1?1，a6?a4?1?2，L，a200?a198?1?99， 则a200?1?100.

故I1UI2ULUI200?[0,100].

k?1. ……………… 3分 2 ……………… 9分

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若存在I201，这与条件②中“存在x?[0,100]，使得x?Ii(i?1,2,L,200)”矛盾， 所以N≤200. ……………… 12分 （2）给出N?200存在的例子 .

1100100 令ak???. (k?1)，其中k?1,2,L,200，即a1,a2,L,a200为等差数列，公差d?21991991201 由d?1，知IkIIk?1??，则易得I1UI2ULUI200?[?,]，

22 所以I1,I2,L,I200满足条件①. 又公差d? 所以

1001?， 1992100100100(k?1)?Ik，(k?1)?Ii(i?1,2,L,k?1,k?1,LN).（注：(k?1) 199199199为区间Ik的中点对应的数） 所以I1,I2,L,I200满足条件②.

综合（1）（2）可知N的最大值存在，且为200. ……………… 14分

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