西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试

数 学 2020.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项． 01．设集合A?xx?3，B??xx?2k,k?Z?，则AIB=

（A）?0,2?

（B）??2,2?

（C）??2,0,2?

（D）??2,?1,0,1,2?

??02．若复数z满足z?i??1?i，则在复平面内z对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 03．下列函数中，值域为R且区间(0,??)上单调递增的是

（A）y??x3

（B）y?xx

（C）y?x?1

（D）第四象限

（D）y?x

04．抛物线x2?4y的准线方程为

（C）y?1 （A）x?1 （B）x??1

05．在?ABC中，若a:b:c?4:5:6，则其最大内角的余弦值为

（D）y??1

1（A）

8（B）

1 4（C）

3 103（D）

506．设a?30.2，b?log32，c?log0.23，则

（A）a?c?b （B）a?b?c （C）b?c?a 07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（D）b?a?c

（A）6

（B）4

（C）3

（D）2

08．若圆x2?y2?4x?2y?a?0与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是

（A）(??,1]

（B）(??,0]

（C）[0,??)

（D）[5,??)

09．若向量a与b不共线，则“a?b?0”是“2a?b?a?b”的

（A）充分而不必要条件 （C）充要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

1 / 12

10．设函数f(x)?(x?1)ex．若关于x的不等式f(x)?ax?1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是

?e2?（C）?1,?

?2??e2?1?（D）?1,?

2??（A）(0,e]

（B）(0,e]

2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量a?(1,?2)，b?(k,2)满足a?b，则b?____．

x2y212．若双曲线2??1(a?0)经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．

a1613．设函数f(x)?sin2x?2cos2x，则函数f(x)的最小正周期为____；若对于任意x?R，都有f(x)?m成立，则实数m的最小值为____．

14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如

下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．

甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 甲获奖 √ × × 乙获奖 × ○ √ 丙获奖 × ○ × 丁获奖 √ √ √ 丁的猜测 ○ ○ √ × 15．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA?底面ABCD，PA?AB?4，E,F,H分别是棱

PB,BC,PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P?ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于46；

②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥P?ABCD四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）

如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE?平面ABCD，DE∥BF，且DE?2BF?2．

（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE； （Ⅱ）求钝二面角D?AE?F的余弦值．

2 / 12

17．（本小题满分14分）

从①前n项和Sn?n2?p(p?R)，②an?an?1?3，③a6?11且2an?1?an?an?2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．

在数列?an?中，a1?1，_______，其中n?N*． （Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）若a1,an,am成等比数列，其中m,n?N*，且m?n?1，求m的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分14分）

某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到

如图所示的频率分布直方图．

企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．

3 / 12

（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、

10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康

乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．

19．（本小题满分14分）

x2y21已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为F，点A(a,0)，且AF?1．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M,N，直线MA,NA分别与直线x?4交于点P，

Q，求?PFQ的大小． 20．（本小题满分15分）

设函数f(x)?aex?cosx，其中a?R．

（Ⅰ）已知函数f(x)为偶函数，求a的值； （Ⅱ）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?2；

（Ⅲ）若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．

4 / 12