15.设向量组α1=（1，0，0）T，α2=（0，1，0）T，且β1?α1?α2,β2?α2，则向量组β1,β2
的秩为____________.
16.已知向量组α1=（1，2，3，）T，α2=（2，2，2）T,α3=（3，2，a）T线性相关，则数a=________. 17.已知向量α=（3，k,2）T与β=（1，1，k）T正交，则数k=_______.
21??1?1??01?，若该方程组无解，则a的取值为_________. 18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?1?00a?10???19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_______.
20.已知3元二次型f(x1,x2,x3)=（1-a）x1+x2+(a+3)x3正定，则数a的最大取值范围是_______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
222x?1121.计算行列式D=
1122.设矩阵A=???11?1?1的值. ?1x?1x?11?1x?1?11?21???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|. ?12???x1?x2?2x3?3?23.已知线性方程互组 ?x1?ax2?x3?2
?x?x?ax?223?1（1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；
（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）. 24.设向量组α1=（1，4，1，0）T，α2=（2，1，-1，-3）T，α3=（1，0，-3，-1）T，
α4=（0，2，-6，3）T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.
?1b1??000?????25.已知矩阵A=?ba1?与B=?010?相似，求数a,b的值.
?111??004?????26.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27.设矩阵A满足A2=E，且A的特征值全为1，证明A=E.
全国2009年7月自考线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行
列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
2005年10月自考线性代数试题答案
5
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A，B，C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A．（A+B）T=AT+BT B．|AB|=|A||B| C．A（B+C）=BA+CA
D．（AB）T=BTAT
a11aa2a2．已知a12a132a112a12a13a21a2223=3，那么a21a23=（ ） 31a32a2233?2a31?2a32?2a33A．-24 B．-12 C．-6
D．12
3．若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（ ） A．A=
1*|A|A
B．|A|=0 C．（A2）-1=（A-1）2
D．（3A）-1=3A-1
4．若A=??31?2??152??，B=???4213??，C=???21???02?1??3?12??，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（A．ABC B．ACTBT C．CBA
D．CTBTAT
5．设有向量组A：α1,α2,α3,α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（
）
A．α1，α3线性无关
B．α1，α2，α3，α4线性无关
C．α1，α2，α3，α4线性相关
D．α2，α3，α4线性无关
6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A．A为可逆阵
B．齐次方程组Ax=0有非零解 C．齐次方程组Ax=0只有零解
D．非齐次方程组Ax=b必有解
7．已知方阵A与对角阵B=????020?0200??相似，则A2=（ ）
?0?2??A．-64E B．-E C．4E
D．64E
8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A．??100??0?10?
B．1??101??00?1??2?1110?1?
?0???213??263??C．???cossin??cossin??????? D．???06?3?63? ??210??26?3?3??
2005年10月自考线性代数试题答案
6
）9．二次型f=xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A．A可逆
B．|A|>0
C．A的特征值之和大于0
D．A的特征值全部大于0
10．设矩阵A=??k?00k?02??正定，则（ ）
?0?24??A．k＞0 B．k≥0 C．k＞1
D．k≥1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=__________. 12．若2110k3211=0，则k=__________.
13．若ad≠bc，A=??ab??cd??，则A-1=__________.
14．已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=__________.
15．向量组α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩为__________. 16．两个向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是__________. 17．方程组??x1?x2?0?x2?x的基础解系为__________.
3?018．向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则t=__________.
19．若矩阵A=??10??04??与矩阵B=??3b??ax??相似，则x=__________.
20．二次型f(x1,x2,x3)=x12?2x22?3x32?x1x2?3x1x3对应的对称矩阵是__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算三阶行列式1111214164.
22．已知A=??23??10??，B=???3?1???21??，C=??0?11??120??，D=??120??101??，矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X.
23．设向量组为α1=（2，0，-1，3）
α2=（3，-2，1，-1） α3=（-5，6，-5，9） α4=（4，-4，3，-5）
求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组. 24．求λ取何值时，齐次方程组
??(??4)x1?3x2?0?4x1?x3?0 ???5x1??x2?x3?0有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解.
2005年10月自考线性代数试题答案
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?1?6?3?25．设矩阵A=?0?5?3?，求矩阵A的全部特征值和特征向量.
?4??06?222?3x2?3x3?2x2x3为标准形，并求所用的正交矩阵P. 26．用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=4x1四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．若n阶方阵A的各列元素之和均为2，证明n维向量x=(1,1,…,1)T为AT的特征向量，并且相应的特征值为2.
2009年7月自考线性代数试题答案
课程代码：02198
2005年10月自考线性代数试题答案
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