第二章答案（参考答案） 9. 解?p{???1}?p{??0}?p{??1}?p{??2}?1.
即
135737????1 ?c??2.3125. 2c4c8c16c16?p{??1|??0}?p{??1,??0}p{???1} ?p{??0}p{???1}?p{??1}?p{??2}182c ???0.32.
15725??2c8c16c10.第9题中随机变量?的分布函数为
?0,x??1?1??0.22,?1?x?0?2c?3?1F(x)????0.54,0?x?1.
2c4c?35?1??2c4c?8c?0.81,1?x?2???1,x?212.解 p{??0.5}????0dx??02xdx?0.25， p{??0.5}?0 当x?0时,F(x)?0
当0?x?1时，???0dt??02tdt?x2 当x?1时，???0dt??02tdt??10dt?1
?0,x?0?所以 F(x)??x2,0?x?1.
?1,x?1?01??0x00.513.解 对任何一个电子设备工作150个小时需要更换的概率
?100??0dt??1501001001001501dt?dt??|100?， ?100t2100t2t3150故任何一台使用150小时不需要更换的概率为，所以3台都不需要更换的概率为()3?238. 271314. 解 根据F(x)在x?1处右连续 因此有A?1
P{0.3???0.7}?0.72?0.32?0.40
?2x,0?x?1 ?(x)?F?(x)???0,其它15 解 由 F(-?)=0，F(+?)=1可得
1 , A?B?1 ○2 A?B(?)?0 ○
221,○2可得 A?1,B?1 解○
2?111P{|?|?1}?P{?1???1}??arctan1?[?arctan(?1)]
22?1?1?1? ?.?.(?）?4?42?(x)?F?(x)?1??
?(arctanx)??11? ?1?x2?(1?x2)??116． 解 由????(x)?1 可得???Ae?|x|dx?1
???0??Aedx??x??0Ae?xdx?1
x??即 Aex|0?(?Ae)|0?1 ???A?(?A)?1 即 A?1 2?x1xedx,x?0??x1???2?F(x)??e?|x|dx?? ??201x1?xx?edx?edx,x?0????0??22?1x?1xe,x?0e,x?0???2?2?? ??.
?1?1(?e?x)|x,x?0?1?1e?x,x?00???22?217 解 p{??0.2|0.1???0.5}
?
p{??0.2,0.1???0.5}p{0.1???0.2}?p{0.1???0.5}p{0.1???0.5}???0.20.10.50.1(12x2?12x?3)(12x2?12x?3)?0.14837??0.5780.25664??.
19解 由 ????(x)dx?1 即得 ?ac?e??xdx?1
??c??e??xd(??x)?1，?ce??x|??a?1 (??0)
a????即 ce??a?1， 所以 c?e?a
p{a?1???a?1}??a?1ae?a?e??xdx?e?a???(a?1)??aa?1ae??xd?x
?1?e?ae??x|aa?e[?e?a?e]?1?e??
22.解 由于(?,?)的所有可能取值情况为(1,2),(2,1),(2,2)
11p{??1,??2}?,p{??2,??2}?,33
211p{??2,??2}???323故(?,?)的分布律为
? ?1 2 1 ?0 2 1/3 1/3 1/3 ????26.解 由于???????(x,y)dxdy?1 可得??????csin(x?y)dxdy?1
??c?4cox(x?y)|04dy?1
0??????即 ??c?04[cox(?y)?cosy]dy?1
44?c[sin(y?)?siny]|0?1
4????所以 ?c[1?22??0]?1 即c?2?1 22?的边缘概率密度为
??(y)???(x,y)dx??(2?1)sin(x?y)dx
?????????(2?1)?4sin(x?y)dx
0?4 ??(2?1)cos(x?y)|0???(2?1)[(22?1)cosy?siny]22?(2?1)2?2sin(y?（其中)0?y?)84??
27.解 ?p(??0)?0.4,p(??1)?0.6
p(??i|??0)?p(??i,??0)p(??i,??0)?(i?1,2,3)
p(??0)0.4?p(??0,??1)?0.1,p(??0,??2)?0.2,p(??0,??3)?0.1
p(??j,??1)p(??j,??1)?(j?1,2,3)p(??1)0.6
?p(??1,??1)?0.3,p(??1,??2)?0.1,p(??1,??3)?0.2p(??j|??1)?所以二元随机变量(?,?)的联合概率密度分布为
? ? 1 2 3
0 1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
因为 p(??1)?0.4,p(??2)?0.3,p(??3)?0.3
p(??0|??1)?p(??0|??2或??3)
?p(??0,??2)p(??0,??3)0.2?0.1???0.5
p(??2)?p(??3)p(??3)?p(??3)0.6p(??1|??1)?p(??1|??2或??3)
?
p(??1,??2)p(??1,??3)0.1?0.2???0.5
p(??2)?p(??3)p(??3)?p(??3)0.629.解 由题意可知?与?相互独立
?p(??i,??j)?p(??i)p(??j)
所以(?,?)的联合概率分布如下：
? ? -2 -1 0 1/6 12 - 1 3 12 1/8 1/6 1/24 1/16 1/12 1/48 1/12 1/16 1/12 1/48 1/12 p(????1)?p(???2,??3)?p(??0,??1)?111?? 16481211113p(????0)?1?p(????0)?1?p(???1,??1)?p(??,???)?1???22126430 解：设周长用c表示,则c?2??2? 则c的可能值为96，98，100，102，104
p(c?96)?p(??29,??19)?p(??29)p(??19)?0.09
p(c?98)?p(??30,??19)?p(??29,??20)?0.5?0.3?0.3?0.4?0.27
p(c?100)?p(??29,??21)?p(??30,??20)?p(??31,??19)?0.3?0.3?0.5?0.4?0.2?0.3?0.35p(c?102)?p(??30,??21)?p(??31,??20)?0.5?0.3?0.2?0.4?0.23 p(c?104)?p(??31,??21)?0.06
所以周长c的分布为 c 96
98 100 102 104
p 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06
31 解：??2?R ???R2 所以圆周长的分布如下
? 20? 22? 24? 26?
p 0.1 0.4 0.3 0.2 圆面积的分布如下
? 20? 22? 24? 26? p 0.1 0.4 0.3 0.2
32解: 这三天销售总量?的分布如下：
? 40
41 42 43 44 45 46
p 0.006 0.081 ? ? ? ? 0.001 如
p(??41)?p(?1?10,?2?13,?3?18)?p(?1?10,?2?14,?3?17)?p(?1?11,?2?13,?3?17) ?0.2?0.3?0.8?0.2?0.6?0.1?0.7?0.3?0.1?0.081
p(??45)?p(??46)?p(?1?12,?2?15,?3?19)?0.1?0.1?0.1?0.001 p(??45)?p(??40)?p(?1?10,?2?13,?3?17)?0.2?0.3?0.1?0.006
1 35.解 即?p(??k)?1即 ??1 ○
k?133ak?1k33 ?p(??k)?1即 ?k?1b2 ?1 ○2k?1k1，○2可得 a?解○
636,b? 1149由于?与?独立，(?,?) 的联合概率分布如下
? ? -1 -2 -3 24c
1 216c 54c
2 3
108c 27c 72c
18c
12c 8c
其中c=1/539[如54c=
6361??] 11494???的概率分布如下表 ??? -2 -1 0
1 2
p 24c 66c 251c 126c 72c 36解 首先求?的分布函数F?(x)，依题意有
F?(x)?p(??x)?p(3??1?x)?p(??x?1x?1)?F?() 33其中F?(x)为?的分布函数，然后根据概率函数与分布函数之间的关系，上式两边都对x求导得
??(x)???(x?1111)??1?? 当1???4时 3333在??4或??1时，??(x)?0
?1?,1?x?4所以??3??1的概率密度为?(x)??3
??0,其它37解 首先求?的分布函数F（?x)
F（??x)?p(ln??x)?p(??ex)?F?(ex) ?x)?p(上式两边都对x求导得
22exx ??(x)???(e)?e??e?x22x?(1?(e))?(1?e)xx由于ex>0,,故上式总是成立的
2ex所以?的 概率密度为?(x)?
?(1?e2x)
第三章习题解答（参考答案）
1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。 解：由习题二第2题计算结果
12p0?p{??0}=，p1?p{??1}=33
122 得 E??0??1??
333一般对0-1分布的随机变量?有E??p?p{??1}
2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。 解：方法一：先按定义计算长的数学期望
E??29?0.3?30?0.5?31?0.2?29.9
和宽的数学期望
E??19?0.3?20?0.4?21?0.3?20
再利用数学期望的性质计算周长的数学期望
E??E(2??2?)?2?29.9?2?20?99.8
方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望
?
96 0.09
98 0.27
100 0.35
102 0.23
104 0.06
p
E??96?0.09?98?0.27?100?0.35?102?0.23?104?0.06?98.83.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）E(2?R)是否等于2?ER？（3）能否用?(ER)来计算远面积的期望值，如果不能
2用，又该如何计算？其结果是什么？
解（1）ER?10?0.1?11?0.4?12?0.3?13?0.2?11.6
（2）由数学期望的性质有
E(2?R)?2?ER?23.2?
222（3）因为E(?R)??E(R)，所以不能用?E(R)来计算圆面积
的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得
E(?R2)??E(R2)??(102?0.1?112?0.4?122?0.3?132?0.2)?135.4?
或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望
E??100??0.1?121??0.4?144?0.3?169?0.2)?135.4?
4． 连续随机变量?的概率密度为
?kxa,0?x?1(k,a?0) ?(x)??
?0,其它又知E??0.75 ，求k和a的值 解 由
k?1???0a?1
1k3E???kx?xadx??0a?24???(x)dx??kxadx?1 解得 a?2,k?35．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以E??同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算
?????1xe?|x|dx?0，2D??E(?)??
2??????1?|x|xedx??x2e?xdx
022??xe|2?x??0?2???0xe?xdx?2
6题目略
解 (1)15辆车的里程均值为
1274(90?50?????150)??91.33 153 (2) 记?为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则?的分布表如下表所示（a=188）
? 10 30 50 70 90 110 130 150 170 p 5/a 11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a 故E??10?7题目略
51124520?30??????170???96.17 18818818847解 记?为种子甲的每公顷产量，?为种子乙的每公顷产量，则
E??4500?0.12?4800?0.38?5100?0.4?5400?0.1?4944 E??4500?0.23?4800?0.24?5100?0.3?5400?0.23?4959
8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？
解 设?i为一盒中第i个螺丝钉的重量(i?1,2,???,100),则 题设条件为
E?i?10g,D?i?1g,且?1,?2,???,?100相互独立。设一盒螺丝钉的重量
为随机变量????ii?1100，则期望和标准差分别为
E??E(??i)??E?i?1000(g)i?1i?112100100D??[D(??i)]?(?D?i)?100?12?10(g)i?1i?110010012
注 此题不能认为??100?,因为这意味着所有螺丝钉的重量完全一样,这是不符合实际情况的.因此
D??D(100?)?1002D??100(g)
是错误结果。
9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值。
解 设?为5个产品中的次品数，则?的分布率为
k5?kC10C90(k?0,1,2,3,4,5) p(??k)?5C100于是期望值为
k5?kC10C9050??0.5 E???k?5C100100k?0510．一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。
解 设?为取得合格品之前取出的废品数，则?服从如下表所示的分布，于是
? 0 1 2 3 p 929329321 ?? ?? ? 12121112111012111039913E??0??1??2??3???0.3
4442202201032991922E(?)?0??1??2??3??
444220220222D??E(?2)?(E?)2?93351?()2??0.319 2210110011.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求3个人中生日在第1个季度的平均人数。
解 设3人中生日在第1季度的人数为?，则?的分布律为
1k33?k p(??k)?C()()(k?0,1,2,3)
44k3故平均人数为
1k33?k3 E???k?C()()?‘
444k?0k33?1?e??x,x?012．?有分布函数F(x)??，求E?及D?
?0，其它解 ?的密度函数为
??e??x,x?0 ?(x)?F?(x)??
?0,x?0
E???2+?0x?e+?0??xdx??x?e??x??x+?0|??e??xdx?0+?1?
E(?)??
x?e+?2dx??x?e2??x+?0|?2?+?0xe??xdx
???220x?e??xdx?22?2
D??E(?)?(E?)?2?2?()?121??2
或者利用伽马函数的性质
E???2+?0x?e+???xdx???x??1+?0x?e??xd?x??(2)??11??
E(?)??0x?e2dx?1?22?+?0(?x)2e??xd?x?21??(3)?22?2
D??E(?)?(E?)?222??()?11??2
1?,|x|?1?2，求D?和E? 13．?~?(x)???1?x?0,其它?解 由奇函数在对称区间的积分为零知 E????1或者
1x?1?x?2dx?0
E???于是
1x?1?1?x2dx??2??sint?2?1?sin2t?dsint??2??sint2?dt??cost??|2??0?2 D?=E(?)=
2?1x2?1?1?x2dx=?2??sin2t2?1?sin2t?2dsint??2sin2tdt
?0?1?cos2t2tsin2t22 ?dt?(?)|?0.5 0??02?242?14．计算习题二第22题中的???期望与方差。
解 由习题二第33题求得的???分布可求得其数学期望和方差
2110E(???)?3??4??
333
2E[(???)?]3??3221344??
332
D(???)?341022?()? 339 15．计算习题二第23题中的???期望与方差。
解 由习题二第34题求得的???分布可求得其数学期望和方差
141151 E(???)??2??(?)??0??2??
33126121811611585 E[(???)]?4????0??4??3912612272
D(???)?8511091 ?(2)?271832416．如果?和?独立，不求出??的分布，直接从?的分布和?的分布能否计算出D(??)，怎样计算？
解 由?与?独立，知?与?独立，根据数学期望的性质有
222（??）=(E?)(E?),E（??）=(E?2)(E?2) E2（??）=E（[??）]-[E（??）]2=(E?2)(E?2)-(E?)2(E?)2 故 D??17.随机变量?是另一个随机变量?的函数,并且??e(??0),若
E?存在,求证对于任何实数a都有p{??a}?e??x?Ee??.
证明：不妨设?是连续型随机变量，其密度函数为?(x)，注意到当
x?a时，有e?(x?a)?1(??0)，于是
p{??a}???(x)dx??e0a?????(x?a)?(x)dx?e??a?????e?x?(x)dx?e??aE(e??)若?为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。 18．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证明 设?为一次试验中A发生的次数，则?服从0-1分布，p?p(A)则 E??p
D??(1?p)2?p?(0?p)2?(1?p)?p(1?p)(0?p?1)
11[0,1]p(1?p)而函数在上的最大值为，故D??
4419．证明对于任何常数c,随机变量?有
22 D??E[(??c)]?(E??c)
22222证明 因为 E[(??c)]?E(??2c??c)?E(?)?2cE(?)?c
(E??c)2?(E?)2?2cE(?)?c2
22所以两式的差为 E(?)?(E?)?D?
或者
D??D(??c)?E[(??c)2]?[E(??c)]2?E[(??c)2]?(E??c)2 20．(?,?)的联合概率密度为?(x,y)?e协方差cov(?,?)
解 先求?和?的边缘密度函数
?(x?y)(x,y?0)，计算它们的
?1(x)??e?(x?y)dy?e?x(x?0)
0???2(y)??e?(x?y)dx?e?y(y?0)
0??由?(x,y)??1(x)?2(y)知?与?相互独立,故?与?不相关,
?(?,) =0即 cov21.计算习题二第22题?与?的协方差。
解 由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是
? ?
1
1 0
1 1/3
pi(1)
1/3
2
1/3 1/3
1/3 2/3
2/3
p(2)j
125E??1??2??333125E??1??2??333
1118E(??)?1?0?2?(?)?4??331238521cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)??()??33922.计算习题二第23题?与?的相关系数。
解 习题二第23题求出的分布表（见下表），可求得
? ? 0
-1 0 2
1/3 1/12 0 0 1/12
1 1/3 0 0 4/12
pi(1)
0 1/6 5/12 7/12
5/12 2/12 5/12
p(2)j
5255E??(?1)??0??2??1212121252525222E(?)?(?1)??0??2??12121212
2552275711413D???（）=,E??0????1??1212144123121236711437E(?2)?0??()2??12??123121210837132275D???()?108361296711113E(??)?0??(?1)??(?)???12331236132513221cov(?,?)??????,????361236432cov(?,?)D?D?221221????
275275?27523．(?,?)的联合概率分布如下表所示，计算?与?的相关系数，判断?与?是否独立？
? ? -1
0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1
1/8
1/8
1/8
解 (?,?)的联合分布和边缘分布如下表所示
? ? -1
0 1
p(1)i
-1 1/8 1/8 1/8 3/8 0 1/8 0 1/8 2/8 1
1/8 1/8 1/8 3/8
p(2)j
3/8
2/8
3/8
E??E??(?1)?3238?0?8?1?8?0D??E(?2)?(?1)2?32338?02?8?12?8?4?D?
E(??）?0?1112?（?1）?4?1?4?0cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?0,??0但p(1)p(2)11?9164?8?p11，知?与?不相互独立。 并 24．两个随机变量?与?，已知D??25,D??25,????0.4,计算
. D(?+?）与D(?-?）?(?,?)???D?D?解 cov
=?0.?45 6=12
D(?+?)?D??D??2cov?(?,?)D(???)?D??D??2cov?(?,?)837
第四章习题解答（参考答案）
1.若每次射击靶的概率为0.7，求射击10炮，命中三炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮。
解: 记射击10炮的命中次数为?,则?~B(10,0.7),所求概率为
30.73?0.37?0.009 p(??3)?C10
p(??3)?1?p(??0)?p(??1)?p(??2)?1?5.90?10?1.38?10?1.45?10?0.9984?6?4?3
最可能的命中炮数为[10?0.7?0.7]?7炮.
2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.
解 记废品数为?，则?~B(10,0.01)，所求概率为
kk10?k p(??2)??C100.01?0.99k?02
?0.9044?0.0914?0.0042?1.000
3．某车间有20台同型号机床，每台机车开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动彼此独立，每台机车开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率。 解 设20台机床中有?台开动，则?~B(20,0.8)，所求概率为
270)?p(??18)?p(??19)?p(??20) p(??15
?190?0.818?0.22?20?0.819?0.2?0.820?0.206
4．从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于0.1的概率。
解 设?为20个产品中废品的个数，则?~B(20,0.1)，所求概率为
p(?20?0.15)?p(??3)?0.920?20?0.1?0.919+190?0.12
?0.918+1140?0.13?0.917=0.867
5．生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.
解 设?为20件产品中废品的个数，则?~B(20,0.1)，所求概率为
p(??3|??2)?p(??3)p(??2)20192181?(0.9?20?0.1?0.9+190?0.1?0.9) ? 20191?(0.9?20?0.1?0.9)0.323??0.5310.6086．抛掷4颗正六面体的骰子，?为出现么点的骰子数目，求?的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.
解 设?为4 颗骰子中出现么点的个数，则?~B(4,) ，即有分布律
161k14?kp(k)?p(??k)?C()()(k?0,1,2,3,4)
66k4其分布函数为
?0,x?0?i?F(x)? ??p(k),i?x?i?1(k?0,1,2,3)
?k?0??1,x?4?的最可能值为 [4??]?0
7．事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验，求（1）出现次数的平均值和标准差；（2）最可能出现的次数。
1616解 设?为19次试验中A出现的次数，则?~B(19,0.3)，故可求得 （1）E??19?0.3?5.7
D??19?0.3?0.7?3.99?1.997
(2）?的最可能值=[19?0.3?0.3]?6和5（因为19?0.3?0.3是整数） 8．已知随机变量?服从二项分布, E??12 , D?=8，求p和n 解 题设条件为?~B(n,p)，且 np?12,np(1?p)?8
由此解出
1p?,n?36
39．某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求在一天10小时内，平均有多少时间台秤不够用。
1解 按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以的概率使用台
4秤，设?为任何时刻要用台秤的售货员人数，则?~B(4,)，于是任何时刻台秤不够用的概率为
141133133p(??2)?C4()()?()4?4?0.05
4444这个结果也可以解释为营业时间内5%的时间台秤不够用，故10个小时内大约有半小时秤不够用。
10．已知试验的成功率为p，进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.
解 设?为4次试验中成功的次数，则?~B(4,p)，所求概率为
p(??1)1?(1?p)4?4p(1?p)34p(1?p)3p(??1|??0)???1?4p(??0)1?(1?p)1?(1?p)4
11．?服从参数为2，p的二项分布，已知p(??1) =5/9，那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？
51解 由题设条件?~B(2,p)和1?(1?p)?，可解出p?，再设
93212465?~B(4,)，则所求概率为 p{??1}?1?()?
338112．一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率。
解 设?为所取的4个废品的个数，则?服从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布，所求概率为
p(??2)?1?p(??3)?p(??4)
101938?1????0.968
32396996913．如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。试将下例用两个公式计算，并比较其结果。产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1个的概率。
解 记?为所取3个产品中的废品数。
(1)设?服从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为
12C100C90013485??0.24346 p(??1)?3C100055389(2)若?~B(3,0.1)，则所求概率为
2 p(??1)?3?0.1?0.9?0.243
两者的差异仅为0.00046.
14. 从一副扑克牌（52张）中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布 解 设?为5张中黑桃的张数，由题意知?服从N=52,M=13,n=5的超
k5?kC13C39(k?0,1,2,3,4,5) 几何分布，即 p{??k}?5C52由此分布律可列出分布表（见下） ? p 0 1 2 3 4 5 0.2215 0.4114 0.2745 0.0815 0.0107 0.0005 15. 从大批发芽率为0.8的种子中，任取10粒，求发芽数不少于8例的概率。
解 记?为10粒种子中发芽的种子数，则?~B(10,0.8)，所求概率为
89p(??8)?C10?0.88?0.22?C10?0.89?0.2?0.810
?0.3020+0.2684+0.1074=0.6778
16．一批产品的废品率为0.001，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率。
解 记?为800件产品中的废品数,则?~B(800,0.001)，由于n?800 很大，p?0.001很小，故可用普哇松公式计算本题概率
(??800?0.001?0.8)
0.82?0.8p{??2}?e?0.1438
2!0.82?0.8p{??2}?(1?0.8?)e?0.9526
2!17．某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大
于1而不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品。求产品为废品的概率以及产品的平均价值。 解 产品上的疵点数为?，则?~p(?)，且??E??0.8，产品为废品
0.820.830.84?0.8的概率为 p{??4}?1?(1?0.8???)e?0.0014
2!3!4!再设产品的价值为?，则?的分布律为
p{??10}?p{??1}?(1?0.8)e?0.8?0.8088
0.820.830.84?0.8p{??8}?p{1???1}?(??)e?0.1898
2!3!4!p{??0}?1?p{??10}?p{??8}?0.0014故产品的平均价值为
E??0.8088?10?0.1898?8?9.61(元)
18.一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率。
解 设?为每页上的印刷错误数，由题设条件知?~p(?) ，且
??E??2，则一页上印刷错误不超过4个的概率为
222324?0.8??)e?0.9473 p{??4}?(1?2?2!3!4!于是各页的错误都不超过4个的概率为
1000045 [p{??4}]?0. 19．某型号电子管的“寿命”?服从指数分布，如果它的平均寿命
E??1000小时，写出?的概率密度，并计算p(1000
解 因为E??1??1000，故?的概率密度为
x1?1000edx p(1000
1200
10001000 第五章习题解答（参考答案）
1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率:
(1)废品率为0.03,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率. (2)200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和女孩的概率均0.5）
E?=30, 0.03）解 （1）设?为1000个产品中的废品数，则?~B(1000，。
D?=1000?0.03?0.97=29.1，于是所求概率为
29.1 P{20???40}?P{|??30|?10}?1?2?0.709
10 （2）设?为200个新生婴儿中男孩的个数，则题设条件为
?=200?0.5?0.5=50 ，E?=200?0.5=100,D0.5） ?~B(200，于是所求概率为
50 P{80???120}?P{|??100|?20}?1?2?0.875
202．用定理5.5（2）计算上题的概率。
解 随机变量?的含义同上题，则由拉普拉斯定理可近似计算上题的 概率
（1）P{20???40}??0(
40?3020?30)??0() 29.129.1??0(1.8538)??0(?1.8538)?0.93622
|??100|20?} （2）P{80???120}?P{5050
?2?0(20)?1?0.9953 503．如果X1,???,Xn是n 个相互独立、同分布的随机变量，EXi??，
DXi?8(i?1,2,3)，对于X??i?1n等式，并估计p{|X??|?4}. 解 首先求X数学期望与方差：
nXi,写出X所满足的切贝谢夫不
n1n18 EX??i?1EXi??， DX?2?i?1DXi?
nnn则对任何??0， p{|X??|??}?88p{|X??|??}?1?, 22n?n?1取??4，就有 p{|X??|?4}?1? .
2n4.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为?,估计p{10???18}. 解 记?i为第i次掷出的点数，则
61712912E???k?,E(?)??k? i??i26i?16i?166
D?i?917235?()?(i?1,2,3,4) 62126i?14次的点数之和????i，由各?i相互独立可求得?的期望与方差:
35 E???E?i?14,D???D?i?
3i?1i?1再由切贝谢夫不等式，有
6635?0.2708 P{10???18}?P{|??14|?4}?1?23?4?0,x?0?n?x5．?~?(x)??xe，估计P{0???2(n?1)}.
,x?0??n!解 E??
???0n?1?x??xxne?xexdx?(n?1)?dx?(n?1)
0n!(n?1)!n?xn?2?x??xxeex2dx?(n?2)(n?1)?dx?(n?2)(n?1)
0n!(n?2)!E(?2)????0D??(n?2)(n?1)?(n?1)2?n?1 由切贝谢夫不等式得
n?1n? P{0???2(n?1)}?P{|??(n?1)|?n?1}?1?2(n?1)n?16．袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g，标准差为10g，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5kg的概率。
解 设?i为第i袋茶叶的重量(i?1,2,???,200),则由条件得E?i?100，
D?i?102，且?1,?2,???,?200相互独立，由李雅普诺夫定理，一盒茶叶净重????i大于20.5kg的概率为
i?1200p{??20500}?p{?-200?10020500-200?100200?100>200?100}?1-?0(5)?0.00022 27．用定理5.5(1)近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率。
解 设?为1000件中的废品数,则?~B(1000,0.05),由拉普拉斯定理得 P{??20}?1e2??1000?0.05?0.95(20?1000?0.05)2?2?1000?0.05?0.95?4.45?10?6
8．生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格灯泡数在5800
~6200的概率。
解 设?为10000个灯泡中合格灯泡数，则?~B(10000,0.6)，由拉普
拉斯定理得
p{5800???6200}?p{|?-10000?0.6|200<}
10000?0.6?0.42400
10?2?0()?1?0.99994
69．从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88的概率。
解 设?为1000粒种子中发芽的种子数，则?~B(1000,0.9)，由拉普拉斯定理得
880-1000?0.920)??0()?0.9825 p{??880}?1??0(1000?0.9?0.19010．某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7,假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产。
解 设?为200部机床中开动的机床数，则?~B(200,0.7)，按题意供应电能N个单位，使
N/15-200?0.7N-2100) ??0() 0.95?p{15??N}??0(200?0.7?0.342?15查正态分布表得
N-2100?1.645N,?42?152259. 91故供应这个车间2260个单位的电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。
11．一大批种蛋中，良种蛋占80%。从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81%的概率。
解 设?为500枚种蛋中良种蛋数，则?~B(500,0.8)，由拉普拉斯定理得 p{??500?0.81}??0(405-500?0.8)?0.71192
500?0.8?0.212．某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。 解 设?为购买这种商品的人数，则?~B(1000,0.6)，要求商店预备n7p?{?n?}?0件商品，使 0.99?查正态分布表得
n-100?00.6() 100?00.?60.4n-600?2.748, n?642.5 7240故预备643件可满足要求。
13．一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
解 设?为正常工作的部件数，则?~B(100,0.9)，故系统正常工作的概率为
p{??85}?1??0(14．删去
85-100?0.95)?1?[1??0()]?0.95254
3100?0.9?0.115．设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1,T2,???,T30服从参数为?=0.1的指数分布。其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用。令T为30个器件的总计时间，
求T超过350小时的概率。
解 显然这30个电子器件应该是相互独立的，即T1,T2,???,T30相互独
3011DT?D(T)?30??3000, ET?E(T)?30??300, 立,且?i?i20.10.1i?1i?130}?1?0由李雅普诺夫定理得 p{T?350?350-300(?)30000. 186516．上题中电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能有95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）。
解 设一年需n个电子器件保证够用，则总寿命T??Ti满足
i?1n
ET?10n,DT?100n,，于是有
2448-10n)?0.95
100n p{T?306?8}?1??0(2448-10n2448-10n)?0.05，即 ?0(??1.645
100n10n 10n?16.45
n?2448?0
16.45?16.452?4?10?2448n??16.49
2?10n?271.93
即一年需272个电子器件才能以95%的概率保证够用，因此至少需要272a元。