第一章 质点运动学

教学要求

一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量。理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性。

二 理解运动方程的物理意义及作用。掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法。

三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。

四 理解伽利略速度变换式，并会用它求简单的质点相对运动问题。

内容提要

一、位置矢量 运动方程 1.质点

当研究物体运动时,如果物体的大小和形状可以忽略时,就可以把物体当作一个有一定质量的点,这样的点称为质点. 2.参考系

为描述运动而选的参考物体或物体组,称为参考系. 3.位置矢量：r?xi?yj?zk

4.运动方程：r?x?t?i?y?t?j?z?t?k 二、速度 加速度

1.位移：?r??xi??yj??zk 2.路程：实际走过轨迹的长度。

注意：位移?r是矢量,路程?s是标量。在一般情况下,位移的大小?r和路程?s并不相等,只有在时间?t趋近于零时,才有ds?dr。 3. 速度

?r ?tdrdxdydzds?i?j?k；v=et 速度：v=dtdtdtdtdt平均速度：v?4. 速率

1

平均速率：v??s ?t速率：v?dx2dy2dz2ds；v=()?()() dtdtdtdt5. 加速度 平均加速度：a??v ?tdvydvzdvd2rdvxd2xd2yd2z??i?j?k?2i?2j?2k 加速度：a?dtdt2dtdtdtdtdtdt三、圆周运动

1. 圆周运动的切向加速度和法向加速度

v2en，方向指向圆心 法向加速度：an?r切向加速度：at?dvet，沿切线方向 dtdvv2et?en 圆周运动加速度：a?at?an?dtr2. 曲线运动的加速度

dvv2a?at?an?et?en

dt?3.圆周运动的角量描述 角速度：??d? dtd? dt角加速度：??24. 角量和线量的关系：v?r?，at?r?，an?r?

四、相对运动

伽利略速度变换：v?v'?u 其中绝对速度：v?

drdr'；相对速度：v'?；牵连速度：u。 dtdt习题精选

一、选择题

1.一质点在Oxy平面内运动，则作直线运动的质点是( )

2

A、x?t,y?19?2 B、x?2t,y?18?3t t2C、x?3t,y?17?4t D、x?4sin5t,y?4cos5t

2.一质点沿x轴运动的规律是x?t?4t?5，其中x以m计，t以s计。前3s内它的 ( )

A、位移和路程都是3m B、位移和路程都是?3m C、位移是?3im，路程是3m D、位移是?3im，路程是5m

3.如图1-1所示，质点作匀速率圆周运动，其半径为R，从A点出发，经半圆到达B点，下列叙述中不正确的是（ ）

A、速度增量?v?0 B、速率增量?v?0 C、位移大小?r?2R D、路程s?πR

2vBROv图1-1

A 4.一作直线运动的物体的运动规律是x?t?40t,从时刻t1到t2间的平均速度是 ( )

222?(3t?40)i A、? B、 (t?tt?t)?40i12121??2C、 [3(t2?t1)?40]i D、 [(t2?t1)?40]i

35.一质点在Oxy平面内运动，其运动方程为x?at，y?b?ct，式中a、b、c均为常数。当运动质点的运动方向与x轴成45角时，它的速率为（ ） A、a B、2a C、2c D、a2?4c2

6.一质点沿y轴运动，其运动方程为y?4t?2t(SI)，则当质点返回原点时，其速度和加速度分别为（ ）

A、8jm?s,16jm?s B、?8jm?s,16jm?s C、8jm?s,?16jm?s D、?8jm?s,?16jm?s

7.一质点沿x轴作直线运动，在t?0时质点位于x0?2m处。该质点的速度随时间变化规律为v?(12?3t)i（t以s计）。当质点瞬时静止时，其所在位置和加速度为( )

2?1?2?1?2?1?2?1?2232? 3

A、 x?16m,a??12im?s B、 x?16m,a?12im?s C、 x?18m,a??12im?s D、 x?18m,a?12im?s

8.一质点沿x轴运动的加速度与时间关系如图1-2所示，由图可求出质点（ ） A、第6秒末的速度 B、前6秒内的速度增量 C、第6秒末的位置 D、第6秒末的位移

?2?2?2?2a(m/s2)2 2 3 4 5 6 0 -1 1 图1-2

t(s)

9.一质点在t?0时刻从原点出发，以速率v0沿x轴运动，其加速度与速度的关系为

a??kv2，k为正常数，这质点的速率v与所经路程x的关系是 ( )

A、 v?v0e?kx B、v?v0(1?x) 22v0x) 2v02C、 v?v01?x2

D、 v?v0(1?210.质点作直线运动，加速度为a?(?Asin?t)i。已知t?0时，质点的初始状态为

x0?0,v0???Ai，该质点的运动方程为( )

A、 r?(?Asin?t)i B、 r?(Asin?t)i C、 r?(?Acos?t)i D、 r?(Acos?t)i

11.质点作曲线运动，r表示位置矢量，s表示路程，at表示切向加速度，则下列表达式中（ ） （１）

dvdvdrds?at ?a （２）?v （３）?v （４）dtdtdtdtA、只有（１）、（４）是对的 B、只有（２）、（４）是对的

C、只有（２）是对的 D、只有（3）是对的 12.质点在xOy平面内作曲线运动,质点速率为( )

(1) v?drdrdr (2) v? (3) v?

dtdtdt 4

(4) v?dx2dy2ds (5)v?()?() dtdtdtA、 (1)(2)(3) B、(3)(4)(5) C、 (2)(3)(4) D、 (1)(3)(5)

13.一质点沿半径为R的圆周运动，其角速度随时间的变化规律为??2bt，式中b为正常量。如果t?0时，?0?0，那么当质点的加速度与半径成45角时，?角为( )

o

1brad C、brad D、rad 2214.一质点从静止开始沿半径为R的圆周作匀加速率运动。当切向加速度和法向加速度相等

A、1rad B、

时，质点走过的路程是 ( ) A、

πRR B、R C、 D、πR

2215.一质点从静止开始作匀加速率圆周运动，当切向加速度和法向加速度相等时，质点走过

的圈数与半径和加速度的关系是( ) A、与半径和加速度都有关 B、与半径和加速度都无关

C、与半径无关，而与加速度有关 D、与半径有关，而与加速度无关

16.以初速v0，抛射角?斜向上抛出一物体。不计空气阻力，当它到达与抛出点在同一水平位置点时的切向加速度和法向加速度的大小分别为( ) A、at?0,an?0 B、at?0,an?g C、at?gcos?,an?gsin? D、at?gsin?,an?gcos?

17.以初速v0平抛一小球，不计空气阻力，t时刻小球的切向加速度和法向加速度的大小分别是( )

(1) 0 (2) g (3) gv0/22v0?g2t2 (4) g2t/v0?g2t2 A、 (4)和(3) B、 (2)和(4) C、 (1)和(3) D、 (1)和(2) 18.一质点沿半径为R的圆周按规律s?bt?12ct运动，其中b、c是正的常量。在切向加2速度与法向加速度的大小第一次相等前，质点运动经历的时间为 ( ) A、

RbRbbb2

+ B、? C、?cRD、?cRcccccc19.以初速v0将一物体斜向上拋，拋射角为?，忽略空气阻力，则物体飞行轨道最高点处的曲率半径是 ( )

2A、v0sin?/g B、v0g 22C、v0cos?g D、v0cos?g

5

20.某人骑摩托车以15m/s的速度向东行驶，觉得风以20m/s的速度从正南吹来。实际上风速和风向是 ( )

A、25m/s，向东偏北 B、25m/s，向西偏北 C、13.2m/s，向东偏南 D、13.2m/s，向西偏南 二、填空题

1.质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈。在2t时间间隔中，其平均速度大小为_____________，平均速率为________________ 。

232.一质点沿x轴方向运动,其运动方程为x?10?9t?6t?t(SI),则质点的速度

v? ；其加速度a? ；质点沿x轴正方向的最大速度值vmax= ；

质点前2s的位移?x? ；前2s的路程s= 。

3.已知质点位置矢量随时间变化的函数形式为r?4ti?(2t?3)j，则t?1s时的速度为 ，t?1s时的加速度为 。

4.一质点的运动方程为 x?6t?t(SI)，则在由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为 , 在由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为 。 5.一质点运动方程为x?2t,y?19?2t,其中，x,y以m计，t以s计。则质点的轨道方程

为_____________________；t?2s时的位置矢量r?____________________；t?2s的瞬时速度v?________________；前2s内的平均速度v=_______________。

6.如图1-3所示,质点作半径为R,速率为v的匀速率圆周运动。由A点运动到B点，则

位移?r?_______________；路程s=______________；速度增量?v=_______________； 速度增量的大小?v?_______________；速率增量?v? ________________。

222

图1-3

7.某物体的运动规律为dv/dt??kvt，式中的k为大于零的常数．当t?0时，初速率为v0，则速率v与时间t的函数关系是___________________。 8.一质点沿半径为R的圆周运动，其角坐标与时间的函数关系为??10πt?212πt(SI)。则2质点的角速度?=________________；角加速度?=________；切向加速度分量

at=_______________；法向加速度分量an=_______________。

9.一质点作半径为R?2m的圆周运动，其路程为s?πt(SI)。则质点的速率v? ；

2 6

切向加速度大小at= ；法向加速度大小an= ；总加速度a? 。

v与水平面的夹角为?。10.如图1-4所示，一质点作抛体运动，在轨道的P点处，速度为v，

则在该时刻，质点的

dv= ；轨道在P点处的曲率半径?= 。 dtuv lhv P ? 图1-4 图1-5

11.一飞机相对空气的速度大小为 200km/h．风速为56km/h，方向从西向东。地面雷达测得飞机速度大小为192km/h，方向是__________________。

12.如图1-5所示，一辆货车的驾驶室后壁高度为h，车厢长为l。竖直下落的雨点速度为u，要使车厢中的货物不致淋雨，则车的速度v的大小必须满足的条件是 。 三、计算题

1.一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，其角位置变化关系为：??2?4t (SI)。求：⑴在t?2s时的法向加速度大小和切向加速度大小；

⑵当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，?的值； ⑶切向加速度与法向加速度的值相等时，t的值。

2.如图1-6所示，一质点沿半径为R的圆周轨道运动，初速为v0，其加速度方向与速度方向之间的夹角?恒定。求速率与时间的关系。

y3Pa??xO 图1-6 图1-7

3.已知一质点静止由坐标原点出发，它的加速度在x轴和y轴上的分量分别为ax?10t和

ay?15t2 (SI)。求5s时质点的速度和位置。

4.将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，如图1-7所示，质点可以沿光滑钢丝向下滑动。已知切向加速度的大小为gsin?，g为重力加速度，?是切向与水平方向的夹角。现质点从距水平位置h高度处以v0的初速度开始下滑，求质点在钢丝上滑动过程中的速度大小的表达式。

7

第二章 牛顿定律

教学要求

一 掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件。 二 熟练掌握用隔离体法分析物体的受力情况，能用微积分方法求解变力作用下的简单质点动力学问题。

内容提要

一、牛顿第一定律 二、牛顿第二定律：F?dpd?mv??，p?mv dtdt物体的运动速度v远小于真空中的光速c(v??c)时，F?m牛顿第二定律的分量式：

（1）直角坐标系

dv即F?ma。 dtFx?max?mFy?may?mdvx dtdvydt

（2）自然坐标系

Ft?mat?mdv?mr? dtv2Fn?man?m?mr?2

r三、牛顿第三定律：F??F? 四、 惯性参考系

适用于牛顿运动定律的参考系称为惯性参考系,简称惯性系. 注意：运用牛顿运动定律求解力学问题的步骤：①弄清题意，②隔离物体，③分析受力，④选定坐标，⑤列出方程，⑥求解方程。

习题精选

8

一、选择题

1.如图2-3所示，一根长为l的轻绳，一端固定在O端，另一端系一小球，把绳拉成水平使小球静止在M处，然后放手让它下落，不计空气阻力。若绳能承受的最大张力为T0，则小球的质量最大可为（ ）

A、T0/g B、T0/2g C、T0/3g D、T0/5g

O M

?F

m1m2 图2-3 图2-4

2.如图2-4所示，一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且

m1?m2（滑轮质量及一切摩擦不计），此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒

力F?m1g代替m1，系统的加速度大小为a1，则有 ( )

A、a1?a B、a1?a C、a1?a D、条件不足不能确定 3.如图2-5所示，质量均为m的球1和球2用轻弹簧相连接，球1用细绳吊在天花板上。球1和球2原先铅垂地处于静止状态。若细绳被烧断，则在断开的瞬时，球1和球2的加速度大小a1和a2分别为（ ） A、a1?0,a2?g B、a1?2g,a2?g C、a1?2g,a2?0 D、a1?0,a2?2g

球1

球2

图2-5

4.质量为0.1kg的质点，其运动方程为x?4.5t?4t，式中x以米、t以秒计。在1s末，该质点受力为 ( ) A、 0 B、 0.45N C、 0.70N D、 0.90N

5.一质量为10kg的物体在力F?(120t?40)i(F以N计，t以s计)作用下沿一直线运动，

?1在t?0时，其速度v0?6im?s，则t?3s时，它的速度为（ ）

2 9

A、10im?s B、66im?s C、72im?s D、4im?s

6.一质量为M的气球用绳系着质量为m的物体，以大小为a的加速度匀加速上升。当绳突然断开瞬间，气球的加速度大小为( ) A、 a B、

?1?1?1?1M?mmM?mma C、 a?g D、 a?g MMMM7.质量为0.25kg的质点，受力F?ti的作用，t?0时该质点以v?2jm/s的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是 ( )

23ti?2tj)m 3342323C、(ti?tj)m D、(ti?2tj)m

433A、(2ti?2j)m B、(2二、填空题

1.在电梯中用弹簧秤称物体的重量。当电梯静止时，称得一个物体重量为500Ｎ。当电梯作匀变速运动时，称得其重量为400Ｎ，则该电梯的加速度大小是 ，方向 。 2.质量为m的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用．比例系数为k，k为正常数。该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）将是 。

3.一质量为M的质点沿x轴正向运动，假设该质点通过坐标为x时的速度大小为kx (k为正常量)，则此时作用于该质点上的力F＝ ,该质点从x?x0 点出发运动到

x?x1处所经历的时间Δt＝ 。

4.一质量为10kg的物体在力F?(120t?40)i(F以N计，t以s计)作用下沿一直线运动，

?1在t?0时，其速度v0?6im?s，则t?3s时，它的速度为 。

三、计算题

1.质量为m，速率为的v0摩托车，在关闭发动机以后沿直线滑行，它所受到的阻力

f??cv， 式中c为常数。求：

（1）关闭发动机后t时刻的速率；

（2）关闭发动机后t时间内所走的路程。

2.一根均匀的轻质细绳，一端拴一质量为m的小球，在铅直平面内绕定点O做半径为R的圆周运动，已知t?0时，小球在最低点，初速率为v0。求： （1）小球速率与位置的关系；

（2）小球在任一点所受的绳子张力与速率的关系。

10

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

教学要求

一 理解动量、冲量概念，掌握动量定理和动量守恒定律。

二 掌握功的概念，能计算变力的功，理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能。

三 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。

内容提要

一、动量定理 1.冲量

力的冲量：I?t2?t2t1Fdt

I??Fdt?F?t，F为平均冲力

t12.质点的动量定理：I??t2t1Fdt?mv2?mv1

物体作Oxy平面运动：

Fx?t??Fxdt?mv2x?mv1xt1t2Fy?t??Fydt?mv2y?mv1yt1t2

二、动量守恒定律

?Fi?1nie?0，则?mivi?恒矢量

i?1n在平面直角坐标系Oxy中的分量式：

?Fi?1niex?0，则?mivix?恒量

i?1nn?Fi?1niey?0，则?miviy?恒量

i?1 11

注意：(1) 守恒条件：合外力为零，或外力三、变力的功 动能定理 1.变力的功：W?内力；(2) 只适用于惯性系。

?ABF?dr??Fcos?ds

AB质点在Oxy平面上运动：W?2. 功率

平均功率：P?功率：P??ABFxdx?Fydy

?W ?tdW?Fvcos? dt3.质点的动能定理

12p2动能：Ek?mv?

22m动能定理：W?Ek2?Ek1??Ek

四.保守力 非保守力 势能

1.重力、弹性力、万有引力做功的特点：

只与起始和终了位置有关,而与路径无关。 2. 保守力与非保守力

保守力：做功只与受力物体的起始和终了位置有关,而与路径无关的力。 非保守力：力所作的功与路径有关. 3. 势能

重力势能:Ep?mgh

12kx 2m?m万有引力势能:Ep??G2

r弹簧的弹性势能:Ep?Wic???Ep2?Ep1?，系统中保守内力所作的功,等于相应势能增量的负值.

注意：（1）势能是状态函数；（2）势能具有相对性, 势能大小与势能零点的选取有关；（3）势能是属于系统的.

五、功能原理 机械能守恒定律 1. 功能原理：

We?Win??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?

2.机械能守恒定律：

We?Win?0,则?Ek2?Ep2???Ek1?Ep1??恒量

3.能量守恒定律

能量既不能消灭,也不能创生，只能从一个物体传递给其他物体，或者从一种形式转化为其他形式。这一规律称为能量守恒定律。

12

习题精选

一、选择题

1.某物体在水平方向的变力作用下，由静止开始作无摩擦的直线运动，若力的大小随时间的变化规律如图3-1所示，则在410s内，此力的冲量为( )

A、 0 B、20iN?s C、10iN?s D、?10iN?s

F(N)5 0 －5 图3-1

2 4 6 810 t(s)

2.一个恒力作用与质量为2.0kg的静止物体上，使他在2.0s内移动4.0m，则作用与物体上的冲量大小为( )

A、4.0N?s B、 6.0N?s C、 8.0N?s D、 10.0N?s 3.质量为20g的子弹以500m/s的速度击入一木块后随木块一起以50m/s的速度前进，（以子弹的速度方向为x正方向）在此过程中木块所受冲量为( ) A、9iN?s B、 ?9iN?s C、 10iN?s D、?10iN?s

4.质量为m的铁锤，从某一高度自由下落，与桩发生完全非弹性碰撞。设碰撞前锤速为v，打击时间为?t，锤的质量不能忽略，则铁锤所受的平均冲力为( )

A、

mvmvmv2mv D、 ?mg B、 ?mg C、

?t?t?t?t5.一电动小车从静止开始在光滑的直线轨道上行驶。若小车的电动机的功率恒定，那么它所走的路程s与时间t的关系如何( )

A、s?t B、s?t C、s?t D、s?t 6.一个质点在几个力同时作用下得位移为?r?(4i?5j?6k)m，其中一个力为恒力

2223F?(?3i?5j?9k)N，则这个力在该位移过程中所做的功为( )

A、?67J B、91J C、17J D、67J

7.一质点在力的作用下作直线运动，力F=3x,式中F以牛顿、x以米计。质点从x1?1m运动到x2?2m的过程中，该力做功为( )

13

2A、3J B、7J C、21J D、42J 8.质量为2kg的质点在F?6tN的外力作用下从静止开始运动，则在0质点所作的功为( )

A、6J B、 8J C、 16J D、 36J

9.物体在恒力F作用下作直线运动，在时间?t1内速率由０增加到v，在时间?t2内速率由

2s内，外力F对

v增加到2v，设F在?t1内作的功是W1，冲量的大小是I1，F在?t2内作的功是W2，冲

量的大小是I2．则( )

A、W2?W1,I2?I1 B、W2?W1,I2?I1 C、W2?W1,I2?I1 D、W2?W1,I2?I1 10.下列表述正确的是( )。 (1)内力作用对系统的动量没有影响 (2)内力不能改变系统的总动量 (3)内力不能改变系统的总动能

(4)内力对系统做功的总和不一定为零

A、(1)(4) B、(2)(3) C、(2)(4) D、(1)(3)

11.如图3-2所示，倔强系数为k、原长为l0轻质弹簧，上端固定在天花板上，下端受一竖直方向的力F作用。在力F作用下，弹簧被缓慢地向下拉长为l。在这过程中，力F作功的计算式可采用 ( ) (1)F(l?l0) (2)

?l?l00kxdx (3)?kxdx (4)?k(x?l0)dx

l0l0llA、(1) 和(4) B、(2)和(4) C、(1)和(3) D、(2)和(3)

l0 k k1

l F k2

m

图3-2 图3-3

12.如图3-3所示，将倔强系数分别为k1、k2的两根轻质弹簧串连并竖直悬挂起来，弹簧下端悬吊质量为m的物体。若设弹簧无伸长的弹性势能为0，系统处于静止状态时，这两根弹簧的弹性势能之比E1:E2为( )

14

A、 k1:k2 B、 k2:k1 C、 k1:k2 D、 k2:k1

13.质量为m的物体在力F的作用下沿直线运动，其速度与时间的关系曲线如图3-4所示。力F在4t0时间内作的功为( )。 A、?222212123252 C、mv0 D、mv0 mv0 B、mv02222v0O 3t0 4t0 t0 2t0t

?v0

图3-4 图3-5

14.质量为10kg的物体受一变力作用沿直线运动，力随位置变化如图3-5所示。若物体以

1m?s?1从原点出发，那么物体运动到16m处的速率为( )

?1?1?1?1A、22m?s B、3m?s C、4 m?s D、17m?s

15.一质量为20g的子弹以300m?s速率打入一固定墙内，设子弹所受阻力与其进入深度

?1x关系如图3-6所示，则该子弹能进入墙壁的深度为( )

A、3cm B、5.5cm C、22cm D、7.5cm

y2Ro?

16.一质点在如图3-7所示的坐标系中作圆周运动，有一力F上。已知t?0时该质点以v0中( )

A、动能变为2F0R B、 动能增加2F0R C、F对它作功3F0R D、F对它作功2F0R

2222R0 x

图3-6 图3-7

?F0(xi?yj)作用在该质点

?2i过坐标原点。则该质点从坐标系原点到(0,2R)位置过程

15

二、填空题

1.机枪每分钟可射出质量为20g的子弹900颗，子弹射出的速率为800m/s，则射击时的平均反冲力大小为__________________。

2.一吊车底板上放一质量为10kg的物体，若吊车底板由静止加速上升，加速度大小为，则2秒内物体动量的增量大小?P= 。 a?3?5t（SI）

3.力F?12ti(SI)作用在质量m?2kg的物体上，使物体从原点静止开始运动，则它在３

秒末的动量应为______________。

4.一质量为m的物体作斜抛运动，初速率为v0，仰角为?。如果忽略空气阻力，物体从抛出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小为 ，冲量的方向 。

5.质量为m?0.01kg的子弹在枪管内所受到的合力为F?40?80t(SI)。假定子弹到达枪口时所受的力为零，则子弹行经枪管长度所需要的时间t?___________；在此过程中，合力冲量为I?_______________；子弹由枪口射出时的速度大小为v=_______________。 6.质量为m?0.5kg的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运动方程为x?5t，

y?0.5t2(SI)，从t?2s到t?4s这段时间内，外力对质点作的功为________________。

7.一物体在几个力共同作用下运动，其运动方程为r?ti?tj，其中一力为F?5ti，则该力在前2s内所作的功W=________________。

8.如图3-8所示，木块m沿固定的光滑斜面下滑，当下降h高度时，重力的瞬时功率是______________。

2m h ? 图3-8

9.作直线运动的甲、乙、丙三物体，质量之比是 1∶2∶3．若它们的动能相等，并且作用于每一个物体上的制动力的大小都相同，方向与各自的速度方向相反，则它们制动距离之比是___________________。

10.质量m?1kg的物体，在坐标原点处从静止出发沿x轴运动。其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F?3?2x(SI)，那么，物体在开始运动的3m内，合力所做功W＝________；且x?3m时，其速率v＝___________ 。

11.质量为m?2kg的物体，所受之力为Fx?4?6x(SI)，己知t?0时，x0?0,v0?0，则物体在由x?0运动到x?4m的过程中，该力对物体所作功W=_________；在x?4m处，物体的速度大小v=__________； 在此过程中，该力冲量的大小为I=__________。

16

三、计算题

1.一力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点位置与时间的函数关系为：

x?3t?4t2?t3(SI)。求：

（1）力在最初2.0s内所作的功；

（2）在t?1.0s时，力对质点的瞬时功率。

2.质量为2kg的物体在力F的作用下，从某位置以0.3m/s的速度开始作直线运动，如果以该处为坐标原点，则力F可表示为F?0.18(x?1)（SI）式中x为位置坐标。求： （1）2m时物体的动量； （2）前2m内物体受到的冲量。

3.如图3-9所示，质量为M?1.5kg的物体，用一根长为l?1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m?10g的子弹以v0?500m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v?30m/s，设穿透时间极短，求： (1)子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2)子弹在穿透过程中所受的冲量。

m1 lv0mk vm2 M 图3-9 图3-10

4.质量为m的质点在外力F的作用下沿x轴运动，已知t?0时质点位于原点，且初始速度为零。力F随距离线性地减小，x?0时，F?F0；x?L时，F?0。求质点在x?L处的速率。

5.如图3-10所示，质量为m2的木块平放在地面上，通过劲度系数为k的竖直弹簧与质量为

m1的木块相连，今有一竖直向下的恒力F作用在m1上使系统达到平衡。当撤去外力F时，

为使m1向上反弹时能带动m2刚好离开地面，求力F至少应为多大？

17

第四章 刚体的转动

教学要求

一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系。 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理。 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题。

四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。

五 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。

内容提要

一、刚体的基本运动 1.刚体

在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体,称为刚体。 2.角速度、角加速度

??d? ??t?0?tdt2πnπn角速度与转速的关系：?? （转速n的单位为转每分） ?6030??d?角加速度：??lim ??t?0?tdt角速度：??lim3、刚体的匀变速转动

???0??t

???0??0t??t2

?2??02?2?(???0)

4、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度

12v?r?，at?r?，an?r?2

二、力矩 转动定律 转动惯量 1.力对轴的力矩：M?rFsin??Fd 2.转动定律：M?J?

18

3.转动惯量：J???miri2；质量连续分布时J??rdm

224.平行轴定理：J?Jc?md

应用转动定律必须注意：在转动定律表达式中,力矩M应理解为刚体所受的对转轴的合外力矩,即M??Mi?1ni。转动惯量也应理解为对同一轴的转动惯量。

三、刚体定轴转动的动能定理 1.力矩的功

力矩的功：W????21Md?

力矩的功率：P?2.刚体的转动动能

转动动能：Ek?dWd??M?M? dtdt1J?2 2112J?2?J?12 22刚体定轴转动的动能定理：W?重力势能：Ep?mghc

四、角动量 角动量定理 角动量守恒 1.质点对轴的角动量：L?rmvsin? 2.刚体定轴转动的角动量：L?J?

3.刚体定轴转动的角动量定理：

?t2t1Mdt??dL?L2?L1?J?2?J?1

L1L24.角动量守恒定律：M?0，L?J??常量 五、经典力学的适用范围

1、经典力学只适用于解决物体低速运动(v??c)问题,而不能用于高速(v接近于光速

c)运动问题.

2、经典力学适用于宏观物体,而一般不适用于微观粒子.

习题精选

一、选择题

1.某刚体绕定轴作匀变速转动时，对于刚体上距转轴为r处的任一质元?m来说，它的法向加速度和切相加速度分别用an和at来表示，则下列表述中正确的是（ ） A、an,at的大小均随时间变化 B、an和at的大小均保持不变

19

C、an的大小变化，at的大小恒定不变 D、an的大小保持恒定，at的大小变化

2.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，在下列说法中， ( ) （１）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 （２）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 （３）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 （４）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零 A、只有（１）是正确的 B、（１）、（２）正确，（３）、（４）错误 C、（１）、（２）、（３）都正确，（４）错误 D、（１）、（２）、（３）、（４）都正确 3.已知一力F?(3i?5j)N，其作用点的矢径为r?(4i?3j)m，则该力对坐标原点的力矩为 ( ) A、?3kN?m B、?29kN?m C、19kN?m D、3kN?m

4.下列关于刚体对轴的转动惯量说法中，正确的是 ( ) A、只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 B、取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 C、取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 D、只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关

5.一匀质杆质量为m，长为l，绕通过一端并与杆成?角的轴的转动惯量为( A、ml2)

3 B、ml212 C、ml2sin2?3

D、mlsin?2

226.均匀细杆OM能绕O轴在竖直平面内自由转动，如图4-1所示。今使细杆OM从水平位置开始摆下，在细杆摆动到竖直位置的过程中，其角速度、角加速度的变化是( ) A、角速度增大，角加速度减小 B、角速度增大，角加速度增大 C、角速度减小，角加速度减小 D、角速度减小，角加速度增大

O MO ?

F ?F

图4-1 图4-2

7.如图4-2所示，一圆盘绕通过圆心且与盘面垂直的轴O以角速度?作逆时针转动。今将两个大小相等、方向相反、但不在同一直线的力F和?F沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度( )

A、必然减少 B、必然增大

C、不会变化 D、如何变化，不能确定

8.如图4-3所示，一轻绳跨过两个质量均为m，半径均为R的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计一切摩擦。将系统由静止释放，绳与两滑轮间无相对滑动，则两滑轮之间绳内的张力为( )

A、mg B、3mg2 C、2mg D、11mg8

20

Z?m,Rm,RωR m m2m Z 图4-3 图4-4

9.如图4-4所示，一质量为m、半径为R的均匀圆柱体，平放在桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为?，在t?0时，使圆柱体获得一个绕ZZ?轴旋转的角速度?，则到圆柱体

停止转动时所需时间为 （ ）

A、 ?R/2g? B、 3?R4g? C、 ?R/g? D、 2?R/g? 10.如图4-5所示，在一根穿过竖直管内的轻绳一端系一小球，开始时物体在水平面内沿半径为r1 的圆周上运动，然后向下拉绳子，使小球的运动轨道半径缩小到r2，则此时小球具有的动能与小球原有的动能之比为( )

?r2A、 ??r?1??r1r1r2?? B、 C、 D、 ??rrr21??22??? ?2

图4-5

11.一质量为60kg的人站在一质量为60kg、半径为1m的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为２m/s时，圆盘角速度为（ ） A、 1rad/s B、 2rad/s C、

24rad/s D、 rad/s 3312.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道的运动，卫星的轨道远地点和近地点分别为A和B。用

L和Ek 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 ( )

A、LA?LB,EkA?EkB B、 LA?LB,EkA?EkB C、 LA?LB,EkA?EkB D、LA?LB,EkA?EkB

13.如图4-6所示，光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕通过其

中点O，且与杆垂直的竖直轴自由转动。开始时，细杆静止，有一个质量为m的小球沿桌

21

面正对着杆的一端A，在垂直于杆长的方向上以速度v运动，并与杆的A端碰撞后与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度为( ) A、

v3v2v4v B、 C、 D、 2L4L3L5L

图4-6

14.圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对轴的转动惯量为4kg?m。由于恒力矩的作用，在10s内它的角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和力矩的大小分别为（ ）

A、80J,80N?m B、800J,40N?m C、 4000J,32N?m D、9600J,16N?m 15.如图4-7所示，一长为l，质量为M的均匀棒自由悬挂于其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v02的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90?，则v0的大小为(

)

24MA、

mglgl2M B、 C、 32m16M2gl gl D、 23mR2 R1 m2

图4-7 图4-8

m1

16.如图4-8所示，一个组合轮是由两个匀质圆盘固结而成。两圆盘的边缘上均绕有细绳，细绳的下端各系着质量为m1、m2的物体，这一系统由静止开始运动，当物体m1下落h时，该系统的总动能为（ ）

A、m1gh B、m2gh C、(m1?m2)gh D、(m1?R2m2)gh R117.如图4-9所示，一均匀细杆可绕通过其一端的水平轴在竖直平面内自由转动，杆长

25m。3今使杆与竖直方向成60?角由静止释放（g取10m/s），则杆的最大角速度为（ ）

22

A、 3rad/s B、 πrad/s C、 0.3rad/s D、 23m/s

图4-9 图4-10

二、填空题

1.半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速转动，在4s 内被动轮的角速度达到8πrad/s, 则主动轮在这段时间内转过了 圈。

2.一刚体以每分钟60转绕Z轴做匀速转动（?沿Z轴正方向）．设某时刻刚体上一点P的位置矢量为r?3i?4j?5k，其单位为“10m”，若以“10m?s”为速度单位，则该时刻P点的速度为 。

3.如图4-10所示，一根长l，质量为m的匀质细棒可绕通过点O的水平光滑轴在竖直平面内转动，则棒的转动惯量J? ；当棒由水平位置转到图示的位置时，则其角加速度?? 。

4.如图4-11所示，转动惯量为J、半径为R的飞轮绕其中心轴以角速度?转动，为了使其减速，在制动闸杆上加制动力F，已知闸瓦与飞轮间的摩擦系数?及有关几何尺寸b和l，则飞轮所受到的制动力矩大小M? _________。 ?2?2?1l b N F

R RR? 图4-11

5.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为?0。设它所受阻力矩M阻??k?（k为正常数），求圆盘的角速度从?0变为?0时所需要的时间t= 。

6.哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。它离太阳最近的距离是

12r1?8.57?1010m，此时它的速率是v1?5.46?104m/s，它离太阳最远的速率是v2?9.08?102m/s，这时它离太阳的距离是r2? 。

7.质量m?4kg的小球，任一时刻的矢径r?(t?1)i?2tj，则t?3s时，小球对原点的

23

2角动量为L= 。又从t?0s到t?3s的过程中，小球角动量的增量?L? 。 8.如图4-12所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为ML/3。一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为时棒的角速度应为_________________。

2v，则此21v 2俯视图 图4-12

v

9.如图4-13所示，在一水平放置的质量为m、长度为l的均匀细杆上，套着一质量也为m的套管B（可看作质点），套管用细线拉住， 它到竖直的光滑固定轴OO?的距离为l/2，杆和套管所组成的系统以角速度?0绕OO?轴转动，如图所示。若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动。在套管滑动过程中，该系统的角速度?与套管离轴的距离x的函数关系为 。 O?lmmO1l2

图4-13 图4-14

10.半径为R的圆盘绕通过其中心且与圆盘垂直的水平轴以角速度?转动，若一质量为m的小碎块从盘的边缘裂开，恰好沿铅直方向上抛，小碎块所能达到的最大高度h= 。

11.如图4-14所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕通过其一端O的水平轴转动，杆的另一端与一质量也是m的小球固连。当该系统从水平位置由静止转过角度?时，则系统的动能为Ek? 。此过程中力矩所作的功W? 。

三、计算题

1.如图4-15所示，一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳的另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r， 整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s，试求整个轮轴的转动惯量（用m、r、

。 t和s表示）

2.如图4-16示，一个质量为6.0kg的物体放在倾角为30的斜面上，斜面顶端装一滑轮，跨过滑轮的轻绳，一端系于该物体上，并于斜面平行，另一端悬挂一个质量为18kg的砝码。滑轮质量2.0kg，其半径为0.1m，物体与斜面间的摩擦系数为0.1。求：

? 24

（1）砝码运动的加速度；

（2）滑轮两边绳子所受的张力。（假定滑轮是均匀圆盘式的，重力加速度g取10m/s）

2

图4-15 图4-16

3．质量为M=15 kg、半径为R=0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动( 转动惯量 J?1MR2)。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量2m?8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：

(1) 物体自静止下落，5 s内下降的距离； (2) 绳中的张力。

4.如图4-17所示，一根细棒长为L，总质量为m，其质量分布与离O点的距离成正比。现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒可绕过其端点O的竖直轴转动。已知棒与桌面间的摩擦系数为?，棒的初始角度为?0。求： （1）细棒对给定轴的转动惯量；

（2）细棒绕轴转动时所受的摩擦力矩；

（3）细棒从角速度?0开始到停止转动所经过的时间。

5.如图4-18所示，质量为M，长为l直杆，可绕水平轴O无摩擦地转动。设一质量为m的子弹沿水平方向飞来，恰好射入杆的下端，若直杆（连同射入的子弹）的最大摆角为??60?，证明子弹的速度为：

v0?(2m?M)(3m?M)gl 6m2O M l ?m

v0 图4-17 图4-18

25

第五章 静电场

教学要求

一 掌握描述静电场的两个物理量——电场强度和电势的概念，理解电场强度是矢量点函数，而电势是标量点函数。

二 理解高斯定理及静电场的环路定理是静电场的两个重要定理，它们表明静电场是有源场和保守场。

三 掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度。

四 掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定义式求解带电系统电势的方法。 五 了解电偶极子概念，能计算电偶极子在均匀电场中的受力和运动。

内容提要

一、库仑定律 1. 电荷守恒定律

在一个与外界没有电荷交换的系统中,不论发生什么过程,系统内正负电荷的代数和保持不变.这一规律称为电荷守恒定律. 2. 库仑定律：F?二、电场强度 1.电场强度：E?q1q2e 2r4π?0rF q0q4π?0r22.点电荷电场的电场强度：E?3.电场强度叠加原理

er

①点电荷系的电场强度：E?E1?E2??En??i?1nqier

4π?0ri2i②连续带电体的电场强度：E?dE?三、高斯定理 1.电场线

?dq?4π?0r2er

26

静电场的电场线有两个特点:

①电场线总是起于正电荷,终止于负电荷,不会形成闭合曲线;

②任何两条电场线都不能相交.这是因为电场中的每一点的电场强度只能有一个确定的方向

2.电场强度通量

①在匀强电场中,通过平面S的电场强度通量：?e?E?S ②电场不是匀强的,并且面S是任意曲面：?e?3、高斯定理：

?SE?dS??Ecos?dS

S?SE?dS?1?0?q

ii?1n在理解高斯定理时,应当注意:

①高斯定理表示式中的E为闭合曲面上的电场强度,它是整个空间的所有电荷产生的。 ②穿过闭合曲面的总的电场强度通量,只由闭合曲面所包围的电荷决定,即高斯定理表示式右边的

?q是高斯面S内的电荷的代数和.

ii?1n四、静电场的环路定理 电势 1.静电场力的功

检验电荷在静电场中移动时,电场力对它所作的功,仅与检验电荷的始末位置有关,而与路径无关.

2.静电场的环路定理：3.电势能：Epa?q04.电势：VP??LE?dl?0

?baE?dl ?Wb?0?

bEP??E?dl (Vb?0) Pq0选择无限远处的电势为零,即VP??E?dl

P?电势差：Uab?Va?Vb?bEPa?EPb??E?dl aq0电场力所做功：Wab?q?Va?Vb??qUab 5.点电荷电场的电势：VP?6.电势叠加原理

①点电荷系的电场中某点的电势：V???rq4π?0r2dr?q（取V??0） 4π?0rqi ?i?14π?0rin 27

②电荷连续分布的带电体：VP?dq?4π?0r

使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点. 7.等势面

等势面的性质:

①电荷在等势面上任意两点之间移动时,电场力所作的功为零； ②等势面与电场线处处正交；

③电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面.

习题精选

一、选择题

1.设有带负电的点电荷A、B、C，它们的电量的比为1：3：5，三者均在同一直线上。把A、C固定不动，当B也不动时，BA与BC间的比值为( ) A、1:5 B、5:1 C、1:5 D、 1:25

2.下列几个说法中正确的是( )

A、电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 B、在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。 C、场强方向可由E?F/qq为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验

电荷所受的电场力 D、以上说法都不正确

3.一个带有负电荷的均匀带电球，在其外部放置一电偶极子，其电矩P的方向如图5-1所示。当电偶极子被释放后，该电偶极子将 ( ) A、沿逆时针方向旋转直到电矩P沿径向指向球面而停止

B、沿逆时针方向旋转至P沿径向指向球面，同时沿电力线方向向着球面移动 C、沿逆时针方向旋转至P沿径向指向球面，同时逆电力线方向远离球面移动 D、沿顺时针方向旋转至P沿径向朝外，同时沿电力线方向向着球面移动

r P

图5-1

4．在二维直角坐标系中，坐标(a,0)处放置一点电荷?q，坐标(?a,0)处放置另一点电荷

?q,P点是x轴上的任一点，坐标为(x,0)，当x??a时，P点场强E的大小为

（ ）

28

A、

qqaqaq B、 C、 D、 3324π?0xπ?0x2π?0x4π?0x5.有人从高斯定理得出了如下的结论。其中正确的结论是 ( ) A、当闭合曲面内的电荷代数和为0时，闭合曲面上任一点的场强一定为0 B、当闭合曲面上任一点的场强均为0时，闭合曲面内的电荷的代数和一定为0 C、当闭合曲面内的点电荷的位置变动，闭合曲面上任一点的场强一定会改变 D、当闭合曲面内任一点的场强改变时，闭合曲面内的电荷的位置一定发生了变动 6.高斯定理

??SE?dS?1?0?q，说明了静电场的哪些性质( )

(1) 电力线不是闭合曲线 (2) 库仑力是保守力 (3) 静电场是有源场 (4) 静电场是保守场

A、(1)(3) B、(2)(3) C、(1)(2) D、(1)(4)

7.电量Q均匀分布在半径为R1和R2之间的球壳内，则距球心为r处(R1?r?R2)的电场强度大小为( ) A、

Q4π?0R22 B、

Q 224π?0(R2?r)QQ(r3?R3)C、 D、 222334π?0(r?R1)4π?0r(R2?R1)8.如图5-2所示，一点电荷q位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量为 ( ) A、

qqqq B、 C、 D、 32?0?06?024?0ad b

qA c

图5-2 图5-3

9.有两个相距为2a，电量都是?q的点电荷，今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图5-3所示，设通过

S1和S2的电场强度通量分别为Φ1和Φ2，通过整个球面的电场强度通量为ΦS，则 ( ) A、Φ1?Φ2,ΦS?q/?0 B、Φ1?Φ2,ΦS?2q/?0

C、Φ1?Φ2,ΦS?q/?0 D、Φ1?Φ2,ΦS?q/?0

29

10.如图5-4所示，在A、O两点各放一等量同号电荷q，S是一个以O点为球心，半径为

R的封闭球面，球面上的P点是AO连线的中点，则 ( )

A、EP?0,C、EP?0,??SSE?dS?0 B、EP?0,??SSE?dS?0

E?dS?0 D、EP?0,E?dS?0

qR R A P 图5-4

q OS

11.两块平行板，相距d，板面积均为S，分别均匀带电?q、?q，若两板的线度远大于d，则它们的相互作用力的大小为（ ）

q2q2q2A、 B、 C、 D、 ? 24π?od2?oS?oS12.有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在气球表面上，在气球被吹大的过程中，若球心位置保持不变，则( ) A、 原来在气球内部的点的场强变小 B、 始终在气球外部的点的场强不变 C、 被气体表面掠过的点的场强变大 D、 以上说法都不对

13.如图5-5所示，一轴对称性静电场的E?r关系曲线，则产生该电场的（E表示电场强度的大小，r表示离对称轴的距离）是( ) A、“无限长”均匀带电直线 B、“无限长”均匀带电圆柱体（半径为R） C、“无限长”均匀带电圆柱面（半径为R） D、有限长均匀带电圆柱面（半径为R）

E E?1/r r S O R r

A ?q B

?q

图5-5 图5-6

14.如图5-6所示，A和B为两个均匀带电球体，A带电量?q，B带电量?q，作与A同心的球面S为高斯面，则 ( )

A、通过S面的电场强度通量为零，S面上各点的场强为零 B、通过S面的电场强度通量为q/?0，S面上场强的大小为E?q4π?0r2

30

C、通过S面的电场强度通量为?q/?0，S面上场强的大小为E??q4π?0r2

D、通过S面的电场强度通量为q/?0，但S面上的场强不能直接由高斯定理求出 15.电场的环流定理

?E?dl?0，说明了静电场的性质有（ ）

（1）静电场的电力线不是闭合曲线 （2）静电力是保守力 （3）静电场是有源场 （4）静电场是保守场

A、(1)(4) B、(2)(3) C、(1)(3) (D (2)(4)

16.将点电荷?Q从无限远处移到相距为2l的点电荷?q与?q的中点处，那么电势能的增量为（ ） A、 0 B、

qQqQqQ C、 D、?

2π?0l4π?0l2π?0l17.下列关于静电场中某点电势值的正负的说法中正确的是( )

A、电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 B、电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 C、电势值的正负取决于电势零点的选取 D、电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负

18.真空中两块互相平行的无限大均匀带电平板，其中一块的面电荷密度为??，另一块的面电荷密度为?2?，两板间的距离为d，两板间的电势差为 ( ) A、 0 B、

3???d C、d D、d 2?0?02?019.如图5-7所示的等边三角形的三个顶点上放置着均为正的点电荷q、2q、3q。三角形的边长为a，若将正点荷Q从无穷远处移至三角形的中心O处，所需做的功为（ ） A、23qQ4π?0a B、 43qQ4π?0a C、63qQ4π?0a D、83qQ4π?0a

图5-7

20.两块“无限大”均匀带电的平行平板的电荷面密度分别为??和??，放在与平面相垂

直的x轴上的?a和?a位置上，如图5-8所示．设坐标原点O处电势为零，则在?a?x??a区域的电势分布曲线为 ( )

31

x

?aO ?a

图5-8

? ?a?a0 ? ? ?a0 ?a?? A

x ?a0 ?ax B C

x

?a0 ?a?? x

?? D

21.有一半径为b的圆环状带电导线，在环平面的轴线上有两点P1和P2，它们到环心的距离

P1和 P2的电势分别为 V1和 V2，如图5-9所示，设无限远处电势为零，则 V1V2为( )

A、3 B、

55 C、2 D、

22z Py

Ox

图5-9 图5-10

22.如图5-10所示，有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布．比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面

的z轴上任一点P的场强与电势，则有 ( )

A、场强相等，电势相等 B、场强不等，电势不等

C、场强分量EZ相等，电势相等 D、场强分量EZ相等，电势不等 23.如图5-11所示，在边长为l的正方形的四个顶点上各放有等量的点电荷。若正方形中心O处的场强值和电势值都等于零，则( )

A、顶点a,b,c,d处都是正电荷 B、顶点a,b处是正电荷，c,d处是负电荷 C、顶点a,c处是正电荷，b,d处是负电荷 D、顶点a,b,c,d处都是负电荷

图5-11

32

24.下列说法正确的是( )

A、 场强大的地方，电势一定高 B、场强等于零的地方电势一定为零

C、等位面上各点的场强的大小一定相等 D、场强大小相等的地方，电势梯度一定相等 25.根据场强与电势的关系式El??dV，下列叙述中正确的是( ) dlA、场强为0处，电势一定为0 B、电势为0处，场强一定为0

C、场强处处为0的区域，电势一定处处相等 D、电势处处相等的区域，场强一定处处为0 二、填空题

1.正方形的两对角上，各置电荷Q，在其余两对角上各置电荷q，若Q所受合力为零，则Q与q的大小关系为____________。

2.在坐标(a,0)处放置一点电荷?q，在坐标(?a,0)处放置另一点电荷?q。P点是x轴上的一点，坐标为(x,0)。如图5-12所示，当x>>a时，该点场强的大小为_____________。

y

?q

?a

?q

a

P(x,0) x

x

图5-12 图5-13

3.如图5-13所示，一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为

??(x?0)和??(x?0)，则Oxy坐标平面上点(0,a)处的场强E?_______________。

4. 如图5-14所示，一均匀带正电细圆环，半径为R，总电量为q，环上有一极小的缺口，

缺口长度为b(b<

b???2?qRO ABC

图5-14 图5-15

5.如图5-15所示，两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为??和?2?EA＝____________，EB＝___________，EC则A、B、C三个区域的电场强度大小分别为：

＝__________(设方向向右为正)。

6.如图5-16所示，两个无限长的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方

33

向单位长度上的带电量分别为?1和?2，则在两圆柱面里面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小E为__________________。

?E R2 R1 O ?1 ?2 P r O R ?S 图5-16 图5-17

7.在空间有一非均匀电场，其电场线分布如图5-17所示。在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元?S的电场强度通量为ΔΦe，则通过该球面其余部分的电场强度通量为 ______________。

8.边长为 0.3m的正三角形abc，在顶点a处有一电量为10C的正点电荷，顶点b处有一电量为10C的负点电荷，则顶点c处的电场强度的大小为_______________；电势V为______________ 。

?99.如图5-18所示，一点电荷带电量q?10C，A﹑B﹑C三点分别距离点电荷10cm﹑

?8?820cm﹑30cm。若选B点的电势为零，则A点的电势为 ，C点的

电势为 。

q A B C

图5-18

10.如图5-19所示，真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的点电荷。设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O距离为r的P点处的电势为 _______________。

P r OqR Q

图5-19 图5-20

11.如图5-20所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量Q2。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为r处的P点的电势V为__________________。

12.两个半径分别为R和2R的同心均匀带电球面，内球面带电?q，外球面带电Q，选无穷远处为电势零点，则内球面电势为V? ；欲使内球电势为零，则外球面上的电量Q=______ 。

34

13.如图5-21所示，CDEF为一矩形，边长分别为l和2l。在DC延长线上CA?l处的A点有点电荷?q，在CF的中点B点有点电荷?q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于______________。 ?q ?3q Q R 2R 图5-21 图5-22

14.如图5-22所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量?q和?3q。今将一电量为?Q的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为_______________。 三、计算题

1.如图5-23所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为??，其上挖去一半径为R的圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于平面的x轴上有一点P，OP?x。求P点处的场强。

ROPxORx?? 图5-23 图5-24

2.如图5-24所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为?，求球心处的电场强度。

3.如图5-25所示，一半径为R的无限长半圆柱薄筒，其上均匀带电，单位长度上的带电量为?。求半圆柱面轴线上一点O的电场强度E的大小。

?OR1aR2O?? O 图5-25 图5-26

35

4.半径为R的无限长圆柱，柱内电荷体密度??ar?br，r为某点到圆柱轴线的距离，

2a、b为常量。求带电圆柱内外电场分布。

5.如图5-26所示，一半径为R1的球体均匀带电，电荷体密度为?，球内有一半径为R2的球形空腔，空腔中心O?与球心O相距为a。求空腔中心点O?处的电势。

6.电荷以相同的面密度?分布在半径为r1?10cm和r2?20cm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V0?300V。求：

（1）求电荷的面密度?。

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

7.均匀带电细线ABCD弯成如图所示的形状，电荷线密度为?，坐标选取如图5-27所示，证明：

（1）圆心O处的场强E??j；

2π?0a（2）圆心O处的电势V??(2ln2?π)。 4π?oa B O C a A a D x

y 图5-27

8.半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的直线上一点P到盘心的距离为L。求： (1)P点的电势； (2)P点的场强大小。

36

第六章 静电场中的导体与电介质

教学要求

一 理解静电场中导体处于静电平衡时的条件，并能从静电平衡条件来分析带电导体在静电场中的电荷分布。

二 了解电介质的极化及其微观机理，了解电位移矢量的概念，以及在各向同性介质中， 电位移矢量和电场强度的关系。了解电介质中的高斯定理，并会用它来计算对称电场的电场强度。

三 理解电容的定义，并能计算几何形状简单的电容器的电容。 四 了解静电场是电场能量的携带者，了解电场能量密度的概念，能用能量密度计算电场能量。

内容提要

一、静电场中的导体 1.导体静电平衡条件：

①导体内部任一点的电场强度为零；

②导体表面处的电场强度方向都与导体表面垂直。

导体的静电平衡条件也可以用电势来表述,即当导体处于静电平衡状态时,导体是等 势体,导体表面是电势面。

2. 静电平衡时导体表面附近的电场：E?? ?03. 静电屏蔽

空腔导体(无论接地与否)将使腔内空间不受外电场的影响,而接地的空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响.这种现象称为静电屏蔽。 二、电容

电容:C?Q U平行板电容器的电容:C??0Sd

三、静电场中的电介质

电介质对电容的影响：在真空电容器的两极板之间,充满各向同性的均匀电介质,电容器的电容

C??r?1,?r称为电介质的相对电容率,又称为相对介电常数。 C0四、 静电场的能量

37

1.电容器储存的能量:

11Q22We?QU?CU?

222C2.电场的能量和能量密度

电场能量密度：we?电场能量：We?

12?E 2?VwedV

习题精选

一、选择题

1.在静电场中，下列说法正确的是（ ） A、带正电荷的导体，其电势一定是正值 B、等势面上各点的场强一定相等

C、在导体表面附近处的场强，是由该表面上的电荷?产生的，与空间其它地方的电荷无关 D、一个孤立的带电导体 ，表面的曲率半径愈大处，电荷密度愈小

2.真空中有两块面积相同的金属板，甲板带电荷?q1，乙板带电荷?q2。现将两板相距很近地平行放置，并使乙板接地，则乙板带电荷为 ( ) A、 0 B、?q1 C、?1?q1?q2? D、?1?q1?q2? 223.如图6-1所示，一无限大均匀带电平面附近放置一与之平行的无限大导体平板。已知带电

平面的电荷面密度为? ，导体板两表面1和2的感应电荷面密度为（ ） A、?1???，?2??? B、?1??C、?1???，?2??? D、?1???2,?2??2

?2,?2???

8cm ab3cm c图6-1 图6-2

4.三板面积相同的平行金属板，板间距离如图6-2所示。其中a、c板相连后接电源正极，b板接负极，b板上总电荷量为110 C，b板上相对a板的一面的带电量为（ ） A、80 C B、30 C C、40 C D、15 C

5.如图6-3所示，三个正方形的平行导体板，面积为A，厚度为d，相互间距均为d，板1上的总电荷为Q1，板2上的总电荷为Q2，第三块的总电荷为零，已知d<

38

??(Q1?A、 ?3111??(?Q1?Q2)/A Q2)/A B、 ?3232??(Q1?Q2)/A D、 ?3??(Q1?Q2)/(2A) C、 ?3?1d1 ?1?2 ?2??2dq1 ?33 O ??3 图6-3 图6-4

6.在一个不带电的导体球壳的球心处放入一点电荷q，当q由球心处移开，但仍在球壳内时，下列说法中正确的是（ ）

A、球壳内、外表面的感应电荷均不再均匀分布

B、球壳内表面感应电荷分布不均匀，外表面感应电荷分布均匀 C、球壳内表面感应电荷分布均匀，外表面感应电荷分布不均匀 D、球壳内、外表面感应电荷仍保持均匀分布

7.带电体外套一导体球壳，则下列说法中正确的是（ ） (1)壳外电场不影响壳内电场，但壳内电场要影响壳外电场 (2)壳内电场不影响壳外电场，但壳外电场要影响壳内电场 (3)壳内、外电场互不影响 (4)壳内、外电场仍相互影响

(5)若将外球壳接地，则壳内、外电场互不影响。

A、(2)(3) B、(3)(5) C、(1)(4) D、(1)(5)

8.如图6-4所示，金属球内有一球形空腔，金属球整体不带电，而在球形空腔中心处有一点电荷q1。下列说法正确的是 ( ) (1) 空腔内场强大小E?q1 (2) 导体内部场强大小E?0

4π?0r2q1? (4) 导体球外场强大小 E? 2?04π?0r(3) 导体球外表面附近的场强大小E?A、 (1)(2)(4) B、(2)(3)(4) C、(1)(3)(4) D、(1)(2)(3) 9.如图6-5所示，在金属块中有一半径为3cm的球形空腔，空腔的中心点O处有一点电荷

q?1.0?10?7C，空腔中a点(Oa?1.5cm)处的场强大小Ea和金属块中b点(Ob?4cm)

处的场强大小Eb各为( )

233A、Ea?4.0?10N/C,Eb?3.6?10N/C B、Ea?0,Eb?3.6?10N/C

39

62C、 Ea?4.0?10N/C,Eb?0 D 、Ea?4.0?10N/C,Eb?0

R1 R3 R2 R RR 图6-5 图6-7

10.带电量不相等的两个球形导体相隔很远，现用一根导线将它们连接起来。若大球半径为

R，小球半径为r。当静电平衡后，二球表面电荷面密度比

?R为 ( ) ?rR2r2RrA、 B、 C、2 D、2

rRrR11.如图6-7所示，半径为R1的金属球带电?q，同心的金属壳的内半径为R2，外半径为R3，现用细导线将金属球和球壳连接起来，待静电平衡后，金属球的电势是 ( ) A、

q4π?0R1 B、

q4π?0R2 C、

q4π?0R3 D、

q?R3?R2?

4π?0R2R312.在一静电场中，作一闭合曲面S，若有

?S，则S面D?dS?0（式中D为电位移矢量）

内必定 （ ）

A、既无自由电荷，也无束缚电 B、没有自由电 C、自由电荷和束缚电荷的代数和为 D、自由电荷的代数和为零

13.在一点电荷q激发的静电场中，一块电介质如图6-9放置，以点电荷所在处为球心作一球面，则对此球形闭合面( ) A、高斯定理成立，且可由它求出闭合面上各点的电场强度 B、高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的电场强度 C、由于电介质不对称分布，高斯定理不成立

D、即使电介质对称分布，高斯定理也不成立

电介质

q

图6-9

14.一半径为R的球面均匀带有电量?q，球面内为真空，球面外充满介电常数为?的各向同性的均匀电介质。电介质内距离球心为d处（d?R）的电极化强度为( )

40

222A、q(???0)/4π?0R B、q(???0)/4π?d C、 q(???0)/4π?0d

15.一为空心，一为实心的两个金属球，其半径相同，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则 ( )

A、空心球电容值大 B、实心球电容值大 C、两球电容值相等 D、大小关系无法确定

16.空气平行板电容器接通电源后，将相对介电常数为?r的介质板插入电容器两极板之间。比较插入介质板前后，电容C，场强E和极板上的电荷面密度?的变化情况( ) A、C不变，E不变，?不变 B、C增大，E不变，?增大 C、C增大，E增大，?增大 D、C不变，E增大，?不变

17.平行板电容器的极板面积为S，二极板内表面的间距为d，极板间为真空。现使其中一个极板带上电荷+Q，那么二极板间的电势差为 ( )

A、0 B、

QdQdQd C、 D、 4?0S2?0S?0S18.如图6-12所示，球形电容器由导体球和它同心的导体球壳组成，其中一半充满均匀电介质。若导体球半径为R，导体球壳内半径为2R，介质的相对介电常数为?r，那么这个电容器的电容为( )。

A、4π(?r?1)?0R B、4π?0?rR/(?r?1) C、 8π?0?rR D、16π?0?rR/(?r?1)

2RR?r

图6-12 图6-13

19.如图6-13所示，一个水平放置的大平行板电容器，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m、带电量为?q的质点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若把电介质抽去，则该质点（ ） A、保持不动 B、向上运动 C、向下运动 D、是否运动不能确定

20.将一空气平行板电容器接到电源上充电，到一定电压后断开电源。再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为（ ）

A、储能减少，但与金属板相对极板的位置无关 B、储能减少，且与金属板相对极板的位置有关 C、储能增加，但与金属板相对极板的位置无关 D、储能增加，且与金属板相对极板的位置有关

41

21.有一平板电容器，充电后断开电源，这时在电容器中储存的能量为W0。然后在两极板之间充满相对介电常数为?r的电介质，则电容器内储存的能量W为( ) A、W??rW0 B、W?W0?r C、W?(1??r)W0 D、W0 二、填空题

1.如图6-15所示，一均匀带电球体，总电量为?Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为

r1、r2的金属球壳．设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强为

________________，电势为____________________。

图6-14

2.如图6-16所示，A、B为两导体大平板，面积均为S，平行放置。A板带电荷?Q1，B板带电荷?Q2，如果使Ｂ板接地，则AB间电场强度的大小E为_______________。

?1 ?2 d1 d2 图6-16 图6-17 3.如图6-17所示，互相平行的三块导体板，相互之间的距离d1和d2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接。中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为?1和?2，则比值

?1/?2为 ______________。

4.如图6-18所示，把一块原来不带电的金属板B，移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B板不接地时，两板间电势差UAB?____________；当B板接地时，两板间电势差U'AB?____________。

A????????BSSd

图6-18 图6-19

42

5.一半径为R的薄金属球壳，内部充满相对介电常量为?r的均匀电介质，则其电容C＝_______________。若金属球带电量Q，则电场能量为_________________。

6.一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d。充电后，两极板间相互作用力大小为F。则两极板间电势差为 ，极板上的电荷量大小为 。

7.如图6-19所示，一空气平行板电容器，极板间距为d，电容为C。若在两板中间平行地插入一块厚度为d/3的金属板，则其电容值变为 _______________。

8.一平行板电容器中充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为±??，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为 _______________。 9.一个平行板电容器两板间充以相对介电常数为?r?6的云母片，电容值C?100pF，面

2积S?100cm。现将当把它接到50V的电源上时，云母中电场强度的大小E＝

__________，金属板上的自由电荷电量q＝__________。

10.一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电量是原来的 倍；电场强度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍。 三、计算题

1.如图6-22所示，3块面积均为S，且靠的很近的导体平板A、B、C，分别带电Q1、Q2、

Q3。求：

(1)6个导体表面的电荷密度?1,?2,?，?6； (2)图中a,b,c三点的场强。

Q1Q2Q3ABCabc?1?2?3?4?5?6

图6-22 图6-24

2.如图6-24所示，半径为R1的导体球带有电荷?q,球外有一个内、外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷?Q。求：

43

（1）用导线把球和球壳联接在一起后，两球的电势V1和V2及两球的电势差； （2）不把球与球壳相联，但将外球壳接地时，两球的电势V1，V2和两球的电势差。 3.如图6-25所示，A，B，C是三块平行金属板，面积均为S；C，B板相距为d；A，

C板相距为d/2；A，B两板都接地，C板带正点荷Q，不计边缘效应。求：

（1）A板和B板上的感应电荷QA，QB及C板的电势VC；

（2）若在C，B两板之间充以相对介电常数为?r的均匀电介质，再求A板和B板上的感应电荷QA?,QB?及C板的电势VC?。

图6-25

24.如图6-28所示，平行板电容器面积S?2m的两个平行导体板A、B组成。两板放在空气中，相距为d?1cm，充电到U?100V后与电源断开，再放入一平行等面积的导体板C，距A、B板分别为2 mm和6 mm，并将C板接地。求： (1)放入C板后，A、B板间的电势差；

(2)用一导线将A、B板连接，此时A、B板与C板间的电势差。

图6-28 图6-29

5.如图6-29所示，平行板电容器两极板面积均为S，间距为a，其间插有一厚度为b，相对介电常量是?r的电介质板。设两极板间的电势差为U，且忽略边缘效应。求： (1)介质中的电势移大小D，电场强度大小E，极板与介质间隙中的场强大小E0； (2)电容器的电容。

44