实验6 弦线上的驻波
[实验目的]
1． 了解弦线上的驻波。
2． 通过弦线振动测定弦振动的频率。 3． 测量弦线上横波的传播速度。 [实验仪器]
XZDY-B型固定均匀弦振动仪、砝码等。 [仪器介绍]
XZDY-B型固定均匀弦振动仪是一种自带数字显示频率的高精确度仪器。调节面板上的频率旋钮，移动支撑弦线的劈尖的位置，能明显观察到驻波。实验装置如图象1所示。其中①、⑥香蕉插头座(接弦线)，②频率显示，③电源开关，④频率调节旋钮，⑤磁钢 ，⑦砝码盘，⑧米尺，⑨弦线，⑩滑轮及托架，A、B两劈尖(滑块)。 B8 9 A B
10
1
2
开
7 6 5 4 3
图1 XZDY-B型固定均匀弦振动仪示意图
将电源接通。这样，在磁场的作用下，通有正弦交变电流的弦线就会振动。根据需要，可以调节频率调节旋钮，从显示器上读出所需频率。移动磁铁的位置，使弦振动调整到最佳状态(使弦振动的振动面与磁场方向完全垂直)。移动劈尖的位置，可以改变弦线的长度。 注意：⑴、改变挂在弦线一端的砝码后，要使砝码稳定后再测量。
⑵、在移动劈尖调节驻波时用力要轻，磁铁应在两劈尖之间，且不能处于波节位置，
不要将磁铁在槽外移动。 [实验原理]
设一均匀弦线，一端由劈尖A支住，另一端由劈尖B支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动，于是波动就由A端朝B端方向传播，称为入射波，再由B端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖B到适合位置，弦线上将形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称
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为波腹。驻波的形成如图2所示。
下面用筒谐表达式对驻波进行定量描述。设有两列筒谐波沿X轴方向传播，它们的振幅相等，传播方向相反。其中沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在X=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的振动方程为：
y1?Acos2?(ft?x)
?（1）
y2?Acos2?(ft?x)
?（2）
式中A为筒谐波的振幅，f为频率，?为波长，x为弦线上质点的坐标位置。
Y
A O
A O
? ? 22
图2 入射波、反射波叠加及驻波
这两列波叠加后有
O v B X
X v B X
Y A O X 2?xy?2Acos()cos2?ft
?（3）
（3）式中的第一个因子2Acos2?x?与时间无关，只是位置x的余弦函数，第二个因子
cos2?ft与位置x无关，只是时间t的余弦函数,这就是驻波的波动方程。从（3）式可以看
出驻波不是波动，而是振幅随位置x作余弦变化的振动。
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当x?(2k?1)?4时，振幅的绝对值为零，即
2Acos2?x??0 （k=0、1、2、……）
（4） 这些点始终静止，它们就是波节。
当
x?k?时，振幅的绝对值最大，等于2A，即
22Acos2?x??2A （k=0、1、2、……） （5）
这些点振幅最大，它们就是波腹。其余各点的振幅在零和最大值之间。相邻两节点或相邻
两波腹之间的距离都是半个波长。
在实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点应为波节，所以，只有当弦线的两端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为
L?n? （n?1、2、3、……） （6） 2n为半波长的个数，即半波数。由（6）式可得沿均匀弦线传播的横波波长为
2L ??n（7）
根据波动理论，弦线中横波的传播速度为
v?（8）
T?
式中T为弦线中的张力，?为弦线单位长度的质量，即线密度。又根据波速、频率及波长的普遍关系式有
v?f?
（10）
将（7）式代入（10）式可得
v?2fL n（11）
再由式（7）和式（10）可得
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f?nT （n?1、2、3、……） （12）
2L?由（12）式可知，当给定T、?、L，频率f只有满足该式关系才能在弦线上形成驻波。同理，当用外力（例如流过金属弦线上的交变电流在磁场中受到交变安培力的作用）去驱动弦振动时，外力的频率必须与这些频率一致，才会促使弦振动的传播形成驻波。 [内容与步骤]
1．频率f不变，改变张力T，测量弦线上横波传播的速度v
选取频率f =75Hz，首先在砝码盘内加入20g砝码，以后逐次增加10g直到50g砝码为止在各张力的作用下调节弦长L，使弦上出现一个波腹，两个波腹，记录相应的T、n、L，由（11）式求出弦线上横波的传播速度。
2．张力T不变，改变频率f，测量弦线上横波传播的速度v
在砝码盘内加40g砝码，改变频率，是频率从60Hz以后逐次增加20Hz直到140Hz
为止在各频率下调节弦长L，使弦上出现一个波腹，两个波腹，记录相应的T、n、L，由（11）式求出弦线上横波的传播速度。
3．线密度一定，改变张力T，测量弦振动的频率f
在75Hz～100Hz范围内任意选定一个频率，并在砝码盘内加入20g砝码，以后逐次增加10g直到50g砝码为止，调节弦线长度L，使弦上出现n=1，n=2个半波，记录相应的
T、n、L，求出频率的平均值，并与选取的频率进行比较。
[实验数据]
砝码盘质量m=10g
表1测定弦线上横波波速 项 目 弦线张力(N) 75Hz 频率（Hz） 2个驻波长度（m） 波速 （m·s-1） 3个驻波长度（m） 波速 （m·s-1） 第2步和第3步请同学们自己设计表格。
[思考题]
1． 驻波的形成与A、B两劈尖间的振动源的位置是否有关，若有应怎样调节在最佳位置？
2． 弦线的粗细和弹性对实验有什么影响？应如何选择？
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