第四章 习题
?4-1、 电量为500nC的点电荷，在磁场B?1.2z?(T)中运动，经过点(3,4,5)速度为
??2000y?m/s 。求电荷在该点所受的磁场力。 500x解：根据洛仑兹力公式
??2000y?)?z?3?10?4?x?12?10?4N F?qv?B?500?10?9?(500x?1.2??y??y?)3?10?4N ?(4x???4-2、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为
??0I B1?z ?2?a因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为
??4?0I B?4B1?z ?2?a
题4-2图 题4-3图
4-3、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场.
解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为
??I?0 B1?z?bab2a2?()2
??I?7.88?0 B?z?a
4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。
IIIa(a)a(b)ba
(c)
题4-4 图
解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为
??I B1?z?0
4a（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此
??I?0 B?z4a（2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为
??I?0 B2?z4?a因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和
??I?0(??2) B??z4?a（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即
??I11?0(?) B?z4ab
4-5、 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，
求半圆弧心处的磁场。
解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和
??I??y?) B?0(x4a?、yx?分别为两半圆环平面的法向单位矢。
4-6、 在氢原子中，电子绕半径为5.3?10?11m的圆轨道运动，速度为2200m/s，求圆
轨道的圆心点的磁场。
解：分子电流 I?e?vL?e?v2?a?1.6?10?1922006.28?5.3?10?11?1.06?10?6A
式中e为电子的电量，v为电子运动速度，L为圆轨道运动的周长。半径为a，电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为
? B??0Ia2223/22(a?z)? z在圆心点的磁场为 B??0I2aa5.3?10?????4-7、对于以速度v运动的点电荷，证明B??0?0v?E，其中E为此点电荷产生的电场强
?2??10?7?I?2??10?71.06?10?6?11?1.256?10?2T
度。
?解：以速度v运动的点电荷q，可以看成一电流元 Idl?JdV??vdV?qv 电流元的磁场为
??????0Idl?R???1RB(r)???v?q???v?E 000224?4?RR???4-8、.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为?0，圆盘绕其轴以角速度?旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。
???。在带电圆盘上解：带电圆盘绕其轴以角速度?旋转，其上电流密度为Js??sv??sr??取宽度为dr的小环，电流为dI??s?rdr，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为
?? dB?z?0rdI2(r22?z)23/2??z?0?s?rdr2(r23?z)23/2
旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为 a3??0?s?rdr?0?s?a2?2z2??? B?z?z[?2z] 223/22222(r?z)a?z0
??，如图所示，求磁感应强度。 4-9、宽度为w的导电平板上电流面密度为Js?J0yZwJYX
题4-9图
解：在空间取场点(x,z)，在导电平板上x'位置取宽度为dx'的细长电流，在场点产生的磁场为
??dI?0J0dx'0???????[(x?x')x??zz?] yy dB?222??2?[(x?x')?z]导电平板上的电流产生的总场为 ?B???J00dB??2?W/2??W/2???zx(x'?x)z(x'?x)?z?ln{z22dx'
222 ??0J02?(x?W/2)?z(x?W/2)?z2?2(arctg?xx?W/2z?arctgx?W/2z)}
4-10、 计算半径为a、电流为I的电流圆环在其轴线z轴上产生的磁感应强度的线积分???dz。 ?B?z??
解：半径为a，电流强度为I的圆环电流在轴线上的磁场为
? B???0Ia2223/22(a?z)?? z223/2
2(a?z)?????25yy??czz?；求：c 4-11、如果B?12xx?解： ??B?12?25?c?0， c??36
?????dz?B?z??0Ia2dz
4-12、真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为Js，沿轴向流动。求圆筒内外的磁场。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场
为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?l??B?dl??0I
??相等，I?2?aJs，因此 在圆环上磁场B?B?? B???0I2????0aJ?s
4-13、如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。
解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则
?l??B?dl?BzL
I?JsL 因此 Bz??0Js
题4-13图
2???02，4-14、真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为J?zJa求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?l??B?dl??0I
左边
?l??B?dl?B?2??
右边 I???S??J0?4;??a????2a2J?dS?? 2?Ja0?;??a??2因此有 B???0J0?3;??a??4a2?? 2?0J0a?;??a?4??
4-15、在真空中，电流分布为
? 0???a J?0 a???b J???b?? ??b Js?J0z? ??b J?0
? z求磁感应强度。
解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计
算。围绕z轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?l??B?dl??0I
左边
?l??B?dl?B?2??
??0;0???a?2?(?3?a3)?;a???b 右边 I??3b?33?2?(b?a)?2?bJ;??b0?3b?因此有
??0;0???a?23??0(??a) ??;a???b3b??33b?a??bJ0)/?;??b??0(3b? B?
4-16、 在真空中，有一无限长、半径为10cm的圆柱导体内电流沿轴向流动，电流密度轴
??200e?0.5?A/m2，计算空间任意点的磁感应强度。 对称分布为J?z解：解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律
?l??B?dl??0I
左边
?l??B?dl?B?2??
右边 I???S??J?dS???200e0?0.5?2??d?=
I???S??J0?4;??a????2a2 J?dS??2??J0a;??a??2??0J0?3;??a??4a2?? 2?0J0a?;??a??4?因此有 B?
4-17、已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与腔中的磁感应强度。
Y??，试求空圆柱形空腔的轴线相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为J?J0zabcXJ
习题图4-17
解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B为
???? B?B1?B2 ??B1为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；B2为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱
的电流密度相反的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律
??J?J??1?00z???1 B1?00?1?22??0J0?J??2??00z???2 B2???2?22??式中?1、?2分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此
??J?J???00??(?1??2)?00z??c z B?22?c为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。
??，求磁感应强度。 4-18、已知真空中位于xy平面的表面电流为Js?J0x解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩形回路，利用安培环路定律得
B2L??0LJ0 因此 B??0J02
写成矢量形式为
?0J0??y;z?0??2 B?? ?0J0??y?;z?02? 题4-18 图
4-19、一长螺线管，每毫米绕两圈，在螺线管内部的磁感应强度为0.5T，求线圈上的电流强度。
解：Bz??0Js JS?NI?2000I I??02000B?4??10?7?0.5/2000?3.14?10?10 A
4-20、壁很薄的、半径为10cm的导体圆筒导体圆筒上的电流面密度上的电流在圆筒外产生
?10?0?A/m，求导体圆筒上的电流面密度。 的磁场为B?????，由安培环路定律 解：当导体圆筒上的电流面密度为JS?JS0z
?l??B?dl??0I
当l为以导体圆筒上的电流面密度的轴线为中心，半径为?的圆时 2??B???02?JS0 B???0JS0??10?0?
因此 JS0?10A/m
4-21、真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。
解：首先计算载电流为I、长度为L1?L2的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为l?，如图所示。
题4-21图
矢量磁位为 ??I0 A?4???dl?0I?l?R4?L1??L2dz'z'?d22L1?L1?d?0I??lln
224??L2?L2?d22当L1?L2?d?a/2时，
??I1?2 A??l?0ln
4??1?2正方形导线回路的回路中心的矢量磁位为
????? A?A1?A2?A3?A4?0
4-22、真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的矢量磁位。. 解：由上题可知，三角形导线的回路中心的矢量磁位也为0。
4-23、 两根长直导线，平行放置，每个长度为10m，携载相等的电流10A，方向相反，间
距为2m。取坐标系，使两根长直导线在yz面，且平行于z轴，原点在两根长直导
线之间的中点。右侧的导线电流为z向，左侧的导线电流为?z向。计算在点(3,4,0)m的（1）矢量磁位；（2）磁感应强度。
解：长度为L的电(?,0,z)处的磁感应强度和矢量磁位分别为
??Iz?L/2z?L/2?0[ B???]
22224???(z?L/2)??(z?L/2)22?(L/2?z)?(L/2?z)???IA?l?0ln
224??(L/2?z)?(L/2?z)??在(3,4,0)点
??I?10[???B1?z4???I?20[???B2??z4???IL?1??[?B?0z4?L/2?1?(L/2)L/22?2L/2?1?(L/2)?222?1???]?z4??2???]??z?0IL?1?()22L
2L/2?0IL4??2?(L/2)12?2?(L/2)122?2?()22L
2?1?()22L?2??2?2?()22L]?[?0.036x??0.4y?]?Ts
2
22?(L/2)?(L/2???I1A1?l?0ln
224??(L/2)?(L/2)??122?(L/2)?(L/2???I2A2??l?0ln
224??(L/2)?(L/2)??222?(L/2)?(L/2??1?0I?A?z[ln224??(L/2)?(L/2)??16?5.86?10 ??z?ln(L/2)??(L/2)?(L/2??2222(L/2)??22]?1?(3?0)?(4?1)(3?0)?(4?1)222??2?2???3y? 18，?1?3x???5y? ?34， ?2?3xL?10m，I?10A
4．24 电流强度为10A的导线紧绕50圈，形成面积为20cm2的线圈，线圈中心在坐标原点，
?。求此线圈的磁矩。 线圈面的法向为z??4??50?10?20?10z??z? 解 此线圈的磁矩为M?NISz??，求磁4-25、一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为M?M0z化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。
解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流密
????M0?? 度为J's?M?n在圆柱形导磁体表面取一宽度为dz'的电流环带，先计算此电流环带在轴线上的磁场，然后对dz'积分
d??? B?z0?0aM0dz'2[a22?(z?z')]z23/2 ?z?d(z?d)?a22??M?00[积分得 B?z2z?a22]
4-26、一段截面为a?a长为d的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为
??，求磁化电流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。 M?M0z解：由于均匀磁化，圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形导磁体侧面的磁化面电流密????Ml?，l?为方柱形回路的方向。 度为J'?M?ns0??Ia??[B?0x4???IaB?0[4????yyzz?1?1?()2??az2a?2???yyzz1?1?1?()22a]
2?1a2a22z?()?()22
4-27、在某种媒质中，当H?300A/m时，B?1.2T；当H增加到1500A/m时，B增加到1.5T；求对应的磁化强度的变化值。
???解：B??0(H?M)
???B M??H
?0?M?M2?M1?1?0(B2?B1)?(H2?H1)
?14??10?7(1.5?1.2)?(1500?300)?23885.35?1200?23765.35A
4-28、一铁磁芯环，内半径为30cm，外半径为40cm，截面为矩形，高为5cm，相对磁导率为500。均匀绕线圈500匝，电流强度为1A。分别计算磁芯中的最大和最小磁感应强度，以及穿过磁芯截面的磁通量。
解：在铁磁芯环中取半径为R的同心圆环，对于该圆环回路利用安培环路定律，得 2?RH??NI H?????B??NI2?RNI
2?R当R?30cm，磁感应强度最大
?7?NI4??10?500?500?1??? B??=??0.1667T ?22?R2??30?10当R?40cm，磁感应强度最小
?7?NI4??10?500?500?1??? B??=??0.125T ?22?R2??40?10穿过磁芯截面的磁通量为 ?m???S??B?dS?0.4?0.3?NIh2?RdR??NI2?ln43?2?10?7?500?500?0.05?0.2877?7.2?10?4Wb
4-29、z?0是两种媒质的分界面。在z?0，?r???0.8y??0.6z?mT，求（1）?1，B?1.5x在z?0，?r?100的磁感应强度；（2）每个区域的磁化强度和界面磁化面电流密度。
???0.8y??0.6z?mT， 解：（1）?r1?1， B1?1.5x???B2yy??B2zz? ?r2?100，B2?B2xx有边界条件
B1n?B2n，B2z?B1z?0.6mT H1t?H2t，
B2tB1t?2??1，B2t??2?1B1t?100B1t
B2x?100B1x?150mT B2y?100B1y?80mT
???80y??0.6z? B2?150x????????0??r?1?BBB?H???B?B （2）M??0?0???0???r1?1?M1?B1?0
?1? M2??r2?1??2B2?99100?0??80y??0.6z?) (150x界面磁化面电流密度
??9999??80x?) ???= J'S?M?n??80y??0.6z?)?z(?150y(150x100?0100?0??kA/m。在z?0，4-30、z?0的两种媒质的分界面上有面电流，其电流面密度为Js?12y?r???50y??12z?kA/m，求在z?0，?r?1000中的磁场强度。 ?200，H?40x解：根据边界条件
??????(H1?H2)?JS （1） n
???H1yy??H1zz??H2yy??H2zz??[(H1xx?)?(H2xx?)]?J z??H2yx??12ky??H1xy??H1yx? ?H2xy H2x?H1x?12k?(40?12)k?28k H2y?H1y?50k （2）B1n?B2n
H2z??1?25???50y??12/5z?)kA/m H2?(28xH1z?1?12k
4-31、.在磁导率为?1的媒质1及磁导率为?2的媒质2中，距边界面为h处，分别平行于边界平面放置相互平行的电流I1、I2，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。
I112hhI2
题4-31图
解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流I'2；在计算媒
B1n?B2n，质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流I'1。利用边界条件H1t?H2t、
可得方程
I1?I'2?I'1?I2
?1(I1?I'2)??2(I'1?I2) 解此方程得 I1'? I2'?2?1?1??2I1?I1??2??1?1??22?2I2
I2
?1??2???1I1I'2??) (?h电流I1所受的力为 F1?I1l?B2?4?h?2??1?1??2???I'I??) 电流I2所受的力为 F2?I2l?B1?212(?h4?h?为引力方向。 ?h
????4-32、证明在两种媒质界面上的磁化电流面密度为J's?n?(B1?B2)/?0 解：跨两种均匀媒质的分界面取矩形回路l，如图所示，对矩形回路
当?h?0时，得
B1t?l?B2t?l??0J'S?l
由此得 J'S??1?0(B1t?B2t) ??写成矢量形式就是
??(B1?B2)/?0 J's?n4-33、如图所示的磁路，图中所标尺寸为厘米，厚度均为2厘米，?r?2000。线圈为1000匝，导线电流为0.2A。求磁路中的磁通。
题4-33图
m解：根据磁路的欧姆定律
m??i?1miRmi?Vm
或 得 ?m?i?1?iLim?iSi?nI
??NIL1S1?L2S2?L3S3?L4S4?4??100.4?0.08?7?2000?1000?0.20.6?0.4?0.08?1.96?10?4Wb
0.02?0.020.04?0.020.06?0.024-34、紧绕的矩形线圈有N匝，如图所示，在匀强磁场B中以角速度?旋转。求感应电动
?2?势。
题4-34图
解：与回路电流交链的磁链为 ?m?NSB?2NBDRcos? 感应电动势为 ???d?m
dt4-35、N匝矩形线圈放在一对平行传输线之间，如图所示，求线圈中的感应电动势。
??2NBDRsin?
题4-35图
解：矩形线圈放在一对平行传输线之间距两导线距离相等，可以看出，两导线上的电流在矩形线圈中产生的磁链相同，但方向相反，因此总磁链为零，那么线圈中的感应电动势也就为零。
4-36、一宽度为w、厚度为d的矩形导体条放在匀强磁场B中，磁场垂直穿过导体宽度为w的导体面，如果流过导体条的电流强度为I，导体条中的载流子密度为n，每个载流子电量为e，证明矩形导体条宽边两侧的霍耳电压为V?BIned。
解：
电子垂直于磁场运动，单位正电荷受到磁场力为
??? E?v?B?vBx I?JS?Jwd?envwd v?Ienwd?IB??? E?vBxxenwd
矩形导体条宽边两侧的电压为
w?IB?dx?V??E?x
end04-37、计算方形截面的环形螺线管上绕N匝线圈的自感。螺线管的内半径为R1，外半径为
R2，相对磁导率为?r。
解：在环形螺线管中取半径为R的圆环，根据安培环路定律
2?RH?NI H?NI2?R ?NI2?R B??H? 磁链为 ?m
?N??SR2??R?NI12B?dS?N(R2?R1)?dR??NIln2
2?R2?R1R1自感为 L??Im??N2?2lnR2R1
4-38、计算真空中放置的一对平行传输线单位长度的外自感。导线半径为a，中心间距为D。 解：设平行传输线电流为I，那么在一根导线上的电流在平行传输线之间的磁场为
??I? B?0?2??在平行传输线之间的磁通为
??m ??2???B?dS?2?SD?a?a?0I2??d???0I?lnD?aa
平行传输线单位长度的外自感为 L?
I?a4-39、在截面为正方形a?a半径为R(R??a)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m
?ln?m?0D?a匝，另一个线圈为n匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。 解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，及磁环中磁场相等。用安培环路定律
???H?dl?NI
N为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中
?NINI H? 即 B?
2?R2?R由于R??a，穿过磁环截面的磁通近似为 ?m?BS?Ba?m?m12?2?aNI2?R22
?11I1?22I2mm因此 ? ? ?
m11??amI12?R L1? L2? M???am2?R22
2m22?n?m2??anI22?R22??an2?R22
m21?n?m1??amnI12?R2?21I1m??amn2?R
4-40、在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为?，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。 解：长直导线到线框两边的距离分别为 r1? r2?(a/2)?d(a/2)?d222?adcos? ?adcos?
2长直导线通过线框中的磁场为
??I?0 B??2?x长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为r1、r2的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算
r2 ?m??r1?0Ibdx2?x??0Ib2?lnr2r1 互感为M??Im??0b2?lnr2r1
题4-40图 题4-41图
baD?Da
题4-40图 题4-41图
4-41、在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。
解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为
??I?0 B??z2?x穿过三角形导线框中的磁通为
d?a/2a?d?a?I??0Iyym0ydx?[?dx??dx] ????B?dS??2?x2?xxSddd?a/2 ??0I2?d?a/2?1.732[?dx?dxd?adx??d?a/2d?ad?a?xx(d?ax] d?adx]
??0I2?3?0I2?d?a/2?1.732[?d(1?dx)dx??d?a/2?1)dx]
?互感为 M?[dlnd(d?a)(d?a/2)[dln2?alnd?ad?a/2?aln?Im?3?02?d(d?a)(d?a/2)2d?a/2]
4-42、.在4-41题中如果两导线回路的电流分别为I1、I2，求等边三角形载流导线框所受的磁场力。
解：系统的磁场能量为 Wm?12L1I1?12L2I2?MI1I2
对于常电流系统，磁场力为
?Wm?M?I1I2 F? ?d?dF?3?02?[lnd(d?a)(d?a/2)2?1]
4-43、在4-40题中如果两导线回路的电流分别为I1、I2，求矩形载流导线框所受的磁场力矩。
解：系统的磁场能量为
Wm?12L1I1?12L2I2?MI1I2
对于常电流系统，磁场力矩为 ??M?T??Wm?Im???0br2 ?ln2?r14?[2?I1I2?M??
?0bI1I2adsin?1r22?21r12]
式中 r1? r2?(a/2)?d2?adcos?
2(a/2)?d?adcos?