大学物理A习题答案 下载本文

班级 学号 姓名

第1章 质点运动学

t?tr?ei?3ej?6k。(1)求:自t=0至t=1质点1-1 已知质点的运动方程为

的位移。(2)求质点的轨迹方程。

????????解:(1) r?0??i?3j?6k r?1??ei?3e-1j?6k ??3??? 质点的位移为?r??e?1?i???3?j

?e?(2) 由运动方程有x?et,y?3e?t, z?6 消t得 轨迹方程为 xy?3且z?6

1-2运动质点在某瞬时位于矢径r?x,y?的端点处,其速度的大小为 [ D ] drdr?dx??dy?dr(A) (B) (C) (D)?????

dtdtdtdtdt????221-3如图所示,堤岸距离湖面的竖直高度为h,有人用绳绕过岸边的定滑轮拉湖中的小船向岸边运动。设人以匀速率v0收绳,绳不可伸长且湖水静止。求:小船在离岸边的距离为s时,小船的速率为多大?(忽略滑轮及船的大小)

解:如图所示,在直角坐标系xOy中,t时刻船离岸边的距离为x?s,船的位置矢量可表示为

???r?xi???h?j

???drdx?船的速度为 v??i?vi

dtdt其中 x?r?h

dxdrdr所以 v? ?r2?h2?22dtdtdtr?h22v0yxrh??

s 1

因绳子的长度随时间变短,所以 ?则 船的速度为v??v0rdr??v0 dt??s2?h2i??v0i 22sr?hs2?h2v0 所以 船的速率为 v?s1-4已知质点的运动方程为r??Rcosωt?i??Rsinωt?j?5k(SI)。求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度。(2)质点的轨迹方程。

解:(1)由速度的定义得

????drv???ωRsin?ωt?i?ωRcos?ωt?j

dt 由加速度的定义得

????dv22a???ωRcos??t?i?ωRsin?ωt?j

dt(2) 由运动方程有 x?Rcosωt,y?Rsinωt,z?5 消t得 质点的轨迹方程为 x2?y2?R2且z?5

1-5 一质点在平面上运动,已知质点的运动方程为r?5t2i?3t2j,则该质点所作运动为 [ B ]

(A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动 (C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动

1-6 一质点沿Ox 轴运动,坐标与时间之间的关系为x?3t3?2t(SI)。则质点在4s末的瞬时速度为 142m·s-1 ,瞬时加速度为 72m·s-2 ;1s末到4s末的位移为 183m ,平均速度为 61m·s-1 ,平均加速度为 45m·s-2。

d2xdx解题提示:瞬时速度计算v?,瞬时加速度计算a?2;位移为

dtdt?x?x?4??x?1?,平均速度为v?x?4??x?1?v?4??v?1?,平均加速度为 a? 4?14?11-7 已知质点沿Ox 轴作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为

2

ax?3tm?s?2。在t=0时,vx?0,x?10m。求:(1)质点在时刻t的速度。(2)

质点的运动方程。

解:(1) 由ax?dvx得 dtdvx?axdt

两边同时积分,并将初始条件t=0时,vx?0带入积分方程,有

?vx0dvx??axdt??3tdt

00tt解得质点在时刻t的速度为 vx?32t 2(2) 由vx?dx得 dtdx?vxdt

两边同时积分,并将初始条件t=0时,x?10m带入积分方程,有

?x10dx??vxdt??0t32tdt 02t1解得质点的运动方程为 x?10?t3

2

1-8 一物体从空中由静止下落,已知物体下落的加速度与速率之间的关系为a?A?Bv(A,B为常数)。求:物体的速度和运动方程。

解:(1)设物体静止时的位置为坐标原点,向下为y轴正方向,则t=0时, v=0, y=0。

??dv由a?得

dtdv?adt??A?Bv?dt

整理得

1dv?dt A?Bv3

对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有

?v0t1dv??dt

0A?Bv解得物体的速率为 v?A1?e?Bt ,方向竖直向下 B??(2)由v?dy得 dtdy?A1?e?Btdt B??对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有

?y0dy??t0A1?e?Btdt B??解得物体的运动方程为 y?

AAt?2e?Bt?1 BB??1-9一质点作半径r=5m的圆周运动,其在自然坐标系中的运动方程为

s?2t?12t(SI),求:t为何值时,质点的切向加速度和法向加速度大小相等。 2解:由运动方程得

v?ds?2?t dtdv?1 dt2质点的切向加速度为 at?v2?2?t?质点的法向加速度为 an? ?r5当两者相等时,有

?2?t?25?1

解得时间t的值为 t?(5?2)s

4

1-10 质点做半径为1m的圆周运动,其角位置满足关系式θ?5?2t3(SI)。t=1s时,质点的切向加速度 12m·s-2 ,法向加速度 36m·s-2 ,总加速度 37.95m·s-2 。

解:由运动方程θ?5?2t3得 角速度为ω?dθdt?6t2s?1 , 角加速度为??dωdt?12ts?2 t时刻,质点的切向加速度的大小为at??R?12t?1?12tm?s?2 质点的法向加速度的大小为an?ω2R??6t2?2?1?36t4m?s?2 质点的总加速度的大小为 a?a2t?a22n??12t???36t4?2m?s?2

将t=1s代入上面方程,即可得到上面的答案。

5

班级 学号 姓名

第2章 质点动力学

2-1 质量为m的质点沿Ox轴方向运动,其运动方程为x?Asinωt。式中A、ω均为正的常数,t为时间变量,则该质点所受的合外力F为 [ C ]

(A) F?ω2x (B) F??mωx (C) F??mω2x (D) F?mω2x

d2x22??A?sin?t???x 解:因为 a?2dt所以 F?ma??mωx

2-2 质量为m的物体在水平面上作直线运动,当速度为v时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动,经过距离s后速度减为零。则物体加速度的大小为

2a? ,物体与水平面间的摩擦系数为?? 。

解:设运动方向为正方向,由vt?v0?2as得

22?v2a? (1)

2sv2所以 加速度的大小为 a?

2s因摩擦力是物体运动的合外力,所以

??N???mg?ma

将(1)式带入上式,得

v2??

2gs

6

2-3如图所示,两个物体A、B的质量均为m=3kg,物体A向下运动的加速度a?1m?s?2。求物体B与桌面间的摩擦力。(绳的质量不计,且不可伸长)

解:选地面为惯性参照系,采用隔离法对两物体进行受力分析,如图所示。因绳质量不计,所以绳中各点张力处处相等。根据牛顿第二定律,有

aBTTTNBfT?f?maB (1) PA?2T?maA (2)

其中,PA?PB?mg。

两个物体A、B间坐标的关系为

PBAaAPA

2yA?xB

对上式求时间t的二次导数,得

2aA?aB (3)

将3个方程联立,可得

f?7.2N

2-4 一根长为l=0.5m的轻绳,一端固定在天花板上,另一端系一质量为m的重物,如图所示。重物经推动后,在一水平面内作匀速圆周运动,转速n=1r?s?1。这种装置叫作圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。

解:选地面为惯性参照系,对重物进行受力分析,重物受到绳子的拉力T和重力P??mg?,如图所示。重物作匀速圆周运动,加速度为向心加速度。建立如图所示坐标系,根据牛顿第二定律,有 竖直方向: Tcos??mg (1) 水平方向: Tsin??mr?2 (2) 由图可知,圆的半径r?lsin?,重物在圆周上运动的角速度大小为

myθl?TxP ??2?n (3)

将上面三个方程联立,可得

7

cos??g?0.497 224?nl查表得

??60?13?

由此题可知,物体的转速n越大,? 越大,与重物的质量无关。

2-5 A、B两质点的质量关系为mA?mB,同时受到相等的冲量作用,则[ D ]

(A) A比B的动量增量少 (B) A与B的动能增量相等 (C) A比B的动量增量大 (D) A与B的动量增量相等

提示:动量定理:合外力的冲量等于动量的增量。

2-6如图所示,一质量为0.05kg、速率为10m?s?1的小球,以与竖直墙面法线成45?角的方向撞击在墙上,并以相同的速率和角度弹回。已知球与墙面的碰撞时间为0.05s。求在此碰撞时间内墙面受到的平均冲力。

解:按照图中所选坐标,v1和v2均在x、y平面内,由动量定理,小球在碰撞过程中所受的冲量为

xvθθFx?t?mv2x?mv1x

vy Fy?t?mv2y?mv1y

其中,v1x??vcosθ,v2x?vcosθ,v1y?vsinθ,v2y?vsinθ。 即 Fx?t?2mvcosθ,Fy?0 所以,小球受到的平均冲力为

F?Fx?2mvcos? ?t2mvcos?= ?14.1N ?t设F?为小球对墙面的平均冲力,根据牛顿第三定律,可知

F???F??即 墙面受到的平均冲力大小为14.1N,方向沿x轴负向。

8

2-7 质量为2kg的物体,在变力F(x)的作用下,从x?0处由静止开始沿x方向运动,已知变力F(x)与x之间的关系为

?0?x?5??2x?F?x???10 ?5?x?10?

?30?2x?10?x?15??式中,x的单位为m,F(x)的单位为N。求:(1) 物体由x?0处分别运动到x?5,10,15m的过程中,力F(x)所做的功各是多少?(2) 物体在x?5,10,15m处的速率各是多少?

r2??W?F?dr,得 解:(1) 根据功的定义?r1x=5时,有 W5??2xdx?25J

05x=10时,有 W10??2xdx??10dx?25?50?75J

05510x=15时,有W15?W5?W10???30?2x?dx?75?25?100J

10r2??(2)根据动能定理W??F?dr??Ek,得

r115W5?12mv5?0 2-1所以,物体在x=5m处的速率 v5?5m?s

W10?12mv10?0 2-1所以,物体在x=10m处的速率 v10?8.66m?s

W15?12mv15?0 2所以,物体在x=15m处的速率 v15?10m?s-1

9

2-8 如图所示,劲度系数k?1000N?m?1的轻质弹簧一端固定在天花板上,另一端悬挂一质量为m = 2 kg的物体,并用手托着物体使弹簧无伸长。现突然撒手,取g?10m?s?2,则弹簧的最大伸长量为[ C ] (A) 0.01 m (B) 0.02 m (C) 0.04 m (D) 0.08 m

解:应用动能定理求解此题。设弹簧原长处为坐标原点,竖直向下为x轴正方向。物体在运动后,受到竖直向上的弹力F?-kx和竖直向下的重力P?mg作用。

设 物体运动到l位置时,速度为0,此时弹簧达到最大伸长量,则此过程中,外力做功为

ll1W?WF?WP???kxdx??mgdx??kl2?mgl

002m

根据动能定理 有

1W??kl2?mgl??Ek?0

2可得 弹簧的最大伸长量为l?0.04m。

2-9关于保守力, 下面说法正确的是 [ D ] (A) 只有保守力作用的系统动能和势能之和保持不变 (B) 只有合外力为零的保守内力作用系统机械能守恒 (C) 保守力总是内力

(D) 物体沿任一闭合路径运动一周, 作用于它的某种力所做之功为零, 则该

力称为保守力

2-10 在光滑的水平面内有两个物体A和B,已知mA?2mB。(1) 物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为 ;(2) 物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为 。

解:(1) 因两物体发生完全弹性碰撞,故满足动能守恒。所以Ek2?Ek1?Ek

10

(2) 由动量守恒定律有

mAvA?0??mA?mB?v?

所以 碰后两物体的速度为 v??mA2vA?vA

mA?mB3则 碰后两物体的总动能为Ek2?1?mA?mB?v?2?2?1mAvA2?2Ek 2323班级 学号 姓名

第3章 刚体力学

3-1当飞轮作加速转动时,对于飞轮上到轮心距离不等的两点的切向加速度at和法向加速度an有[ D ]

(A) at相同,an相同 (B) at相同,an不同 (C) at不同,an相同 (D) at不同,an不同 解题提示:可从at?rα和an??2r来讨论,转动的刚体上半径不同的质点均具有相同的角位移,角速度和角加速度。

3-2一力F?3i?5jN,其作用点的矢径为r?4i?3jm,则该力对坐标原点的力矩为M? 。

解: M?r?F??4i?3j???3i?5j? 其中,i?j??j?i?k,i?i?j?j?0,对上式计算得

M?29k

3-3两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为?A和?B(?A??B),且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA和JB, 则有[ ]

(A) JA>JB (B) JA<JB (C) JA=JB (D) 不能确定JA、JB哪个大?

解题提示:圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为

11

J?1mR2 2质量 m??V???R2h

因为?A??B,所以RA?RB,则有JA<JB。故选择(B)。

3-4如图所示,两长度均为L、质量分别为m1和m2的均匀细杆,首尾相连地连成一根长直细杆(其各自的质量保持分布不变)。试计算该长直细杆对过端点O(在m1上) 且垂直于长直细杆的轴的转动惯量。

解:左边直棒部分对O轴的转动惯量

JO1?

由平行轴定理,右边直棒部分对O轴转动惯量

??1m1L2 3LOLm2 m1JO21?3??m2L2?m2?L? 12?2?11?3??m1L2?m2L2?m2?L?312?2?22整个刚体对O轴的的转动惯量

JO?JO1?JO2?1(m1?7m2)L233-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法不正确的是[ ] (A) 这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零 (B) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零 (C) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零 (D) 只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩,才能改变刚体绕转轴转动的运动状态

解题提示:(C)不正确。因为力矩不仅与力有关,还与力的作用点有关。当转动

12

平面内两个大小相等的力方向相同时,如果这两个力对轴的位置矢量恰好大小相等,方向相反时,其合力矩为零,但合力为力的二倍。

3-6如图所示,质量均为m的物体A和B叠放在水平面上,由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。设定滑轮的质量为m,半径为R,且A与B之间、A与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦,绳与滑轮之间无相对滑动。物体A在力F的作用下运动后,求:

(1) 滑轮的角加速度。

(2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力。 (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力。 解:以滑轮,物体A和B为研究对象,分别受力分析,如图所示。物?、体A受重力PA、物体B的压力N1BFA地面的支持力N2、外力F和绳的拉力T2作用;物体B受重力PB、物体A的支持力N1和绳的拉力T1作用;滑轮受到重力P、轴的支持力N、上下两边绳子的拉力T1?和T2?的作用。 设滑轮转动方向为正方向,则根据刚体定轴转动定律有

T2?R?T1?R?J?

T2AN2FN'1PANT'1T'2PT1BN1PA

其中 滑轮的转动惯量J?根据牛顿第二定律有

1mR2 2物体A: F?T2?ma 其中, T1?T1?, T2?T2? 因绳与滑轮之间无相对滑动,所以 有

a?R?

13

将4个方程联立,可得滑轮的角加速度 ??F2F ?2mR?J/R5mR物体A与滑轮之间的绳中的张力

T2?T2??3F 52F 5物体B与滑轮之间的绳中的张力 T1?T1??3-7 如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B用一根质量不计的轻绳相连,此绳跨过一半径为R、质量为m的定滑轮。若物体A与水平面间是光滑接触,求:绳中的张力T1和T2各为多少?(忽略滑轮转动时与轴承间的摩擦力,且绳子相对滑轮没有滑动)

解:对滑轮、物体A和B分别进行受力分析,如图所示。因绳子不可伸长,故物体A和B的加速度大小相等。根据牛顿第二定律,有

T2aT1N1AT1?m1a (1)

P2?T2?m2g?T2?m2a (2)

滑轮作转动,受到重力P?、张力T1?和T2?以及轴对它的作用力N?等的作用。由于P?和N?通过滑轮的中

N?T1?aBP2?T2P?心轴,所以仅有张力T1?和T2?对它有力矩的作用。由刚体的定轴转动定律有

RT2??RT1??J? (3)

因绳子质量不计,所以有

T1??T1, T2??T2

因绳子相对滑轮没有滑动,在滑轮边缘上一点的切向加速度与绳子和物体的加速度大小相等,它与滑轮转动的角加速度的关系为

a?R? (4)

滑轮以其中心为轴的转动惯量为

14

J?将上面5个方程联立,得

1mR2 (5) 2T1?m1m2g1m1?m2?m2

1???m1?m?m2g2??T2?

1m1?m2?m23-8下面说法中正确的是[ A ] (A) 物体的动量不变, 动能也不变 (B) 物体的动量不变, 角动量也不变 (C) 物体的动量变化, 角动量也一定变化 (D) 物体的动能变化, 动量却不一定变化

3-9一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动,该曲线在直角坐标系下的定义式为r?acosωti?bsinωtj,其中a、b、ω皆为常数.则此质点所受的对原点的力矩M= ;该质点对原点的角动量L= 。

d2r2解:因为F?m2??m?r

dt所以 M?r?F?r??m?r?0 因为 P?mv?m?2?dr?m??a?sin?ti?b?cos?tj? dtL?r?P??acos?ti?bsin?tj????a?sin?ti?b?cos?tj?m

其中,i?j??j?i?k,i?i?j?j?0,对上式计算得

L=abmωk

15

3-10一人手拿两个哑铃,两臂平伸并绕右足尖旋转,转动惯量为J,角速度为ω。若此人突然将两臂收回,转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力,求:此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。

解:因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零,所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为

??,由L1?L2得

J??即

J?? 3???3?

所以,收臂后的动能与收臂前的动能之比为

1J2??23?Ek3?? 1Ek1J?22

3-11一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上,圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的,后来人沿着与圆盘同心,半径为r(r?R)的圆周走动。求:当人相对于地面的走动速率为v时,圆盘转动的角速度为多大?

解:对于转轴,人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为 J人?mr 圆盘的转动惯量为 J盘?21mR2 2选地面为惯性参照系,根据角动量守恒定律,有

J人?人?J盘?盘?0

其中 ?人?

v,代入上式得 r16

?盘??2rv 2R负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。

3-12一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为ω0,设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系为M??kω (k为正常数)。 则在它的角速度从ω0变为

1ω0过程中阻力矩所做的功为多少? 2解:根据刚体绕定轴转动的动能定理,阻力矩所做的功为

W??Md??将??1212J??J?0 221?0代入上式,得 232 W??J?083-13 一根质量为m、长为l的均匀细棒,可绕通过其一段的光滑轴O在竖直平面内转动。设t?0时刻,细棒从水平位置开始自由下摆,求:细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。

解:解法一:对细棒进行受力分析可知,在转动过程中,细棒受到重力P和轴对棒的支持力N的作用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中,支持力N通过轴O,所以对轴O的力矩始终为零。重力对轴O的力矩为变力矩,是

棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻,棒与水平方向成?角,则重力矩为

PO?CAlM?mgcos?

2

17

所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中,重力矩做的功为

W??Md?ll??2mgcos?d??mg022?

设棒在水平位置的角速度为?0?0,在竖直位置的角速度为?。根据刚体定轴转动的动能定理,有

W?mgl1?Ek?Ek0?J?2?0 22其中,棒的转动惯量为J?12ml,代入上式得 3??3g l根据速度和角速度的关系v??r,细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度分别为

vC??l1?3gl 22vA??l?3gl

解法二:由于棒在转动过程中只有重力矩做功,所以机械能守恒,有?Ep??Ek

mg12l12=J?,J?ml 223??vC??3g ll1?3gl 22vA??l?3gl

18

班级 学号 姓名

第4章 机械振动

4-1对同一简谐振动的研究, 两个人都选平衡位置为坐标原点,但其中一人选铅直向上的Ox轴为坐标系,而另一个人选铅直向下的OX轴为坐标系,则振动方程中不同的量是[ C ]

(A) 振幅; (B) 圆频率; (C) 初相位; (D) 振幅、圆频率。

4-2三个相同的弹簧(质量均忽略不计)都一端固

定, 另一端连接质量为m的物体, 但放置情况不同。如图所示,其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放置。如果忽略阻力影响,当它们振动起来时, 则三者的[ C ]

(A) 周期和平衡位置都不相同; (B) 周期和平衡位置都相同; (C) 周期相同, 平衡位置不同; (D 周期不同, 平衡位置相同。

O平衡位置x X

19

4-3 一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为m的重物,其自由振动的周期为T.今已知振子离开平衡位置为x时,其振动速度为v,加速度为a.则下列计算该振子劲度系数的公式中,错误的是[ ]

22/xmax(A) k?mvmax; (B) k?mg/x;

(C) k?4π2m/T2; (D) k?ma/x。 答: (B) 因为mg?kx?ma

4-4 某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为??/2, 则该物体振动的初始状态为[ A ]

(A) x0 = 0 , v0 ? 0; (B) x0 = 0 , v0 < 0; (C) x0 = 0 , v0 = 0; (D) x0 = ?A , v0 = 0。

4-5 一个质点作简谐振动,振幅为A,周期为T,在起始时刻 (1) 质点的位移为A/2,且向x轴的负方向运动; (2) 质点的位移为-A/2,且向x轴的正方向运动; (3) 质点在平衡位置,且其速度为负; (4) 质点在负的最大位移处;

写出简谐振动方程,并画出t=0时的旋转矢量图。 解:(1) x?Acos(2??2?2?t?) (2) x?Acos(t?) T3T3OAx?3O2?3xA(2)图(1)图

(3) x?Acos(2??2?t?) (4) x?Acos(t??) T2T 20

A?2OOAxx?(4)图(3)图

4-6 两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1?Acos(?t??)。当第一个质点从相对于其平衡位置负的位移处回到平衡位置时,第二个质点正处在正的最大位移处.则第二个质点的振动方程为 [ ]

(A)x2?Acos(?t???) ; (B)x2?Acos(?t???) ;

22(C)x2?Acos(?t?????3?); (D)x2?Acos(?t????)。 2解: (A) 利用旋转矢量法判断,如附图所示:

?2??1?所以

?2

Ox2?Acos(?t???)

2 即答案(A)

??A2x?A14-7 一简谐振动曲线如图所示,则由图确定质点的振动方程为 ,在t = 2s时质点的位移

为 ,速度为 ,加速度为 。

答: x?0.06cos(?t?

?2)m; 0;

-0.06?m?s–1; 0

21

x(cm)60-61234t(s)

4-8 一简谐振动的曲线如图所示,则该振动的周期为 ,简谐振动方程为 。

解:t?0,x0?A,v0?0,旋转矢量2图如附图所示,所以????3

t?5s,x5?A,v5?0,由旋转矢量图,得2?t????2

??? ,

6解周期

T=12s

简谐振动方程为 x?Acos(t?)m

63

4-9一质点沿x轴作简谐振动,其角频率ω = 10 rad/s。其初始位移x0 = 7.5 cm,初始速度v0 = 75.0 cm/s。试写出该质点的振动方程。

解: 振幅 A?x?202v0???2752?7.5?2=11cm=0.11m

102初相 ??arctan

?v0=arctan(-1) ?x022

得 ????4和??3? 4由初始条件可知 ????4;

质点的振动方程为 x?0.11cos(10t?)m

44-10 质量为2 kg的质点,按方程x?0.2cos(0.8?t?π/3)(SI)沿着x轴振动。求(1)振动的周期、初相位、最大速度和最大加速度;(2)t=1s时振动的相位和位移。

解: (1) 由振动方程得??0.8?,振动的周期T??2???2.5s

由振动方程得初相 ????3

速度为 v??0.2?0.8?sin(0.8?t?)m?s-1

3?

最大速度为 vm?0.2?0.8??0.5024m?s-1

加速度为 a??0.2?(0.8?)2cos(0.8?t?) m?s-2

3最大加速度 am??0.2?(0.8?)2?1.26 m?s-2

(2)t=1s时,振动的相位为0.8????3?0.47??0.5?

位移为 x=0.02m

4-11 一质点作简谐振动,振动方程为x?6cos(100?t?0.7?)cm ,在t (单位:s)时刻它在x?32cm处,且向x 轴负方向运动。求:它重新回到该位置所需要的最短时间。

?解由旋转矢量法可得,t时刻的相位为?t??? 4 再次回到x?32时,

?o?4?4x23

矢量转过的最小角度为???3? 2所用的最小时间?t,即?????t,??100? 所以有

?t???3???0.015s ?2?100?4-12 汽车相对地面上下作简谐振动,振动表达式为x1?0.04cos(2?t??/4) (SI);车内的物体相对于汽车也上下作简谐振动,振动表达式为

x2?0.03cos(2?t??/2)(SI)。问:在地面上的人看来,该物体如何运动?写出

合振动表达式。

解:因其振动方程为x?x1?x2,所以合振动为简谐振动,

A?42?32?2?4?3cos?4?6.5 cm=0.065m

4sintan??4cos??44?3sin?3cos?2?2.061

?2??64?

x?0.065cos(2?t?0.36?)

4-13 一弹簧振子作简谐振动,总能量为E1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的质量增为原来的四倍,则它的总能量E2变为[ ]

(A) E1/4; (B) E1/2; (C) 2E1; (D) 4E1。 解: 总能量E?12kA,与重物的质量无关。所以答案为(D) 24-14 一质点作简谐振动,其振动方程为 x?6.0?10?211cos(?t??)(SI)

34(1)当x值为多大时,系统的势能为总能量的一半? (2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少?

24

解: (1)

1212kx?kA 242解得 x=?A??4.2?10?2m; o?x2 (2) 由旋转矢量图可见,相当于求???2??4所

用时间,即

?t=

T?T12?2??4?8?8???0.75s

425

班级 学号 姓名

第5章 机械波

5-1 一平面简谐波的表达式为y?0.25cos(125t?0.37x)(SI),其角频率

? = ,波速u = ,波长? = 。

解:? =125rad?s?1 ;

?u?0.37,u =

125?338m?s?1 0.37??u??2?u??2??338?17.0m 1255-2频率为500Hz的波,其波速为350m/s,相位差为2π/3 的两点之间的距离为 _。

解: ???2??x?, ?x????=0.233m ?2?5-3 一平面简谐波沿x轴负方向传播。已知在x=-1m处质点的振动方程为y?Acos(?t??)(SI),若波速为u,则此波的表达式为 。

答: y?Acos[?(t?1x?)??](SI) uu5-4 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,t = 0 时刻的波形图如图所示,则P处介质质点的振动方程是[ ]。

y(m) (A) yP?0.10cos(4?t?1?) (SI); 31?) (SI); 31?) (SI); 3u=20m/s 0.1 0.05 O 5m P 4?t? (B) yP?0.10cos((C) yP?0.10cos(2?t?

x26

(D) yP?0.10cos(2?t?解:答案为 (A)

1?) (SI)。 6确定圆频率:由图知??10m,u=20m/s,得??2???2?u??4?

确定初相:原点处质元t=0时,yP0?0.05?-

A?、v0?0,所以?? 235-5已知波源的振动周期为4.00×102 s,波的传播速度为300 m·s-1,波沿x轴正方向传播,则位于x1 = 10.0 m和x2 = 16.0 m的两质点振动相位差的大小为 。

答:???2?x2?x1??2?x2?x1?? uT5-6 一列平面简谐波沿x轴正向无衰减地传播,波的振幅为 2×10-3 m,周期为0.01 s,波速为400 m?s-1。当t = 0时x轴原点处的质元正通过平衡位置向

y

为 。

答:波沿x轴正向无衰减地传播,所以简谐波的表达式为

xy?Acos[?(t?)??]的形式。

u其中??2???200?;由x0?0、v0?0,知???,代入上式,得 T2y?2?10?3cos[200?(t?x?)?]m 40025-7 如图,一平面波在介质中以波速u = 10 m·s-1沿x轴负方向传播,已知A点的振动方程为y?4?10?2cos(3πt??/3)[SI]。 (1)以A点为坐标原点,写出波函数;

(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波函数;

B A x u (3)A点左侧2m处质点的振动方程;该点超前于A点的相位。

27

解: (1)y?4?10?2cos[3π(t?x?)?]m 103(2)y?4?10?2cos[3π(t?x7?)?]m 106(3)y?4?10?2cos[3π(t?4?]m 15?x??2??x?0??9?3?3?,即比A点相位落后 ??15555-8图示一平面简谐波在t = 1.0 s时刻的波形图,波的振幅为0.20 m,周期为4.0 s,(1)画出t = 0 s时的波形图;(2)求坐标原点处质点的振动方程;(3)若OP=5.0m,写出波函数;(4)写出图中P点处质点的振动方程。

解: 如图所示为t=0时的波形图,可见t=0原点处质点在负的最大位移处,所以

yuy(m) A O P 传播方向 x(m) ???。

(1)坐标原点处质点的振动方程为 o P x

y?0.2cos(t??)m

2(2)波函数为 习题5-12解题用图

??x y?0.2cos[(t?)??]m

22.5(3)P点的坐标x=5.0m代入上式,得P点的振动方程为

y?0.2cos(t)m 2

28

?5-9 已知一列机械波的波速为u, 频率为?, 沿着x轴负方向传播.在x轴的正坐标上有两个点x1和x2.如果x1<x2 , 则x1和x2的相位差?1??2为[ B ]

(A) 0 (B)

2??(x1?x2) u?uo(C) ? (D)

2??(x2?x1)u

x1x2x5-10如图所示,一简谐波沿BP方向传播,它在B点引起的振动方程为

y1?A1cos2πt。另一简谐波沿CP方向传播,它在C点引起的振动方程为

y2?A2cos?2πt?π?。P点与B点相距0.40 m,与C点相距0.50 m。波速均为

u=0.20 m?s-1。则两波在P的相位差为 。

答: ????C??B?2?

5-11 如图所示,S1和S2为两相干波源,它们的振动方向均垂直于图面,发出波长为?的简谐波,P点是两列波相遇区域中的一点,已知S1P?2?,S2P?2.2?,两列波在P点发生相消干涉.若S1的振动方程为y1?Acos(t??/2),

CBPCP?BP________????2?CP?BP0.50?0.40???2??0 uT0.20________则S2的振动方程为 [ ]

(A) y2?Acos(t?); (B) y2?Acos(t??); S 1 2(C) y2?Acos(t???2); (D) y2?Acos(t?0.1?)。

S2 P 答: 答案为(D)。

t??2),在P点两波的相位差为 设S2的振动方成为y2?Acos(

29

????2??1?2?S2P?S1P???2??2?2?2.2??2????

解得?2?1.9?可记为?2??0.1?。

5-12 在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动[ B ] (A) 振幅相同,相位相同. (B) 振幅不同,相位相同.

(C) 振幅相同,相位不同. (D) 振幅不同,相位不同.

5-13在波长为?的驻波中,相对同一波节距离为?/8两点的振幅和相位分别为 [ B ]

(A) 相等和0; (B)??相等和?; (C) 不等和0; (D) 不等和?。

5-14如图所示,两列波长均为?的相干简谐波分别通过图中的O1和O2点,通过O1点的简谐波在M1 M2平面反射后,与通过O2点的简谐波在P点相遇。假定波在M1 M2平面反射时有由半波损失。O1和O2两点的振动方程为?8?,O2P?3?(?y10?Acos?t和y20?Acos?t,且 O1m?mP为波长),求:

(1) 两列波分别在P点引起的振动的方程; (2) 两列波在P点合振动的强度(假定两列波在传播或反射过程中均不衰减)。

解: (1)O1在P点引起的振动为

M1 O1 m M2 y1?Acos[πt?2??8????]=Acos(πt-15?)

O2 P O2在P点引起的振动为

y2?A[cosπt?2??3??]?Acos(?t?6?)

(2)在P点二振动反相,合振动的振幅为0,I?A2,所以P点合振动的强度为0。

30

5-15 一静止的报警器,其频率为1000 Hz,有一汽车以79.2 km的时速驶向和背离报警器时,坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是 和 (设空气中声速为340 m·s-1)。

解:汽车速度为vS?79200?3600?22m?s-1 驶向报警器接收的频率为:???u-vs??935.3Hz uu?vs??1064.7Hz背离报警器接收的频率u为:???班级 学号 姓名

第8章 气体动理论

8-1一瓶氦气和一瓶氮气密度相同,分子平均平动动能相同,而且它们都处于平衡状态,则下列几种情况正确的是 [ ]

(A)温度相同、压强相同; (B)温度、压强都不相同; (C)温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强;

(D)温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。 答案:(C)

解析:由理想气体状态方程pV?M?RT,得p?MRTRT ??V??因?t?3kT相同,所以温度T相同;又因密度ρ相同,氦气的摩尔质量小于氮2气,所以氦气的压强大于氮气的压强。

8-2三个容器A、B、C中装有同种理想气体,其分子数密度nV相同,而方均

31

2根速率之比为vA??:?v?:?v?1/22B1/22C1/2?1:2:4,则其压强之比pA:pB:pC为多少?

答案: 1:4:16 解析:?v2?3RT?1,p?nVmv2 3222:vB:vC?1:4:16 所以,pA:pB:pC=TA:TB:TC?vA

8-3温度相同的氦气和氧气,它们分子的平均动能为?,平均平动动能为?t,下列说法正确的是 [ C ]

(A) ?和?t都相等;

(B) ?相等,而?t不相等; (C) ?t相等,而?不相等; (D) ?和?t都不相等。

8-4如图所示的两条曲线分别表示氦、氧两种气体在相同温度T时分子按速率的分布,其中曲线 I 、II分别表示哪种气体分子的速率分布曲线?

答:曲线 I表示氧气分子的速率分布曲线 曲线 II表示氦种气分子的速率分布曲线

8-5若气体分子的速率分布函数为f(v),分子质量为m,说明下列各式的物理意义:

(1)?f(v)dv;

v1v2

(2)?vf(v)dv;

0? (3)

1?2m?vf(v)dv 2032

答:(1)?f(v)dv表示分子分布在速率区间为的概率或分子数的比率;

v1v2

(2)?vf(v)dv表示平均速率;

0?

1?2mvf(v)dv表示分子的平均平动动能 2?08-6两个容器中分别装有氮气和水蒸气,它们的温度相同,则下列各量中相同的是[ C ]

(3)

(A)分子平均动能; (B)分子平均速率; (C)分子平均平动动能; (D)最概然速率。

8-7在标准状态下,若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积相同,则其内能之比E1 / E2为 。

解:(1)由内能E?MiMRT,及pV?RT ?2?得E?E15? E33ipV 2因压强与体积相同,所以

8-8容器中储有1mol 的氮气,压强为1.33Pa,温度为7℃,则(1)1 m3

中氮气的分子数为多少? (2)容器中的氮气的密度为多少? 解:

(1)由p?nVkT得

nV?p20-3

?3.44×10 m kT (2)由理想气体状态方程pV?8-9有体积为2×10

M?RT,得??Mp? ?? 1.6 ×10-5 kg·m-3。

VRT m3的氧气,其内能为6.75×102 J。

(1)试求气体的压强;

(2)设分子总数为5.4×1022个,求分子的平均能量及气体的温度;

33

(3)分子的方均根速率为多少?

MiMRT,及pV?RT ?2?解:(1)由内能E?得E?5pV 2所以,p?2E?0.135 Pa 5V匀速运动,瓶子中充有

8-10容积为9.6×10-3m3的瓶子以速率v=200 m·s

质量为100g的氢气。设瓶子突然停止,且气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能,瓶子与外界没有热量交换,求热平衡后氢气的温度、压强各增加多少?

解: 设氢气的总质量为M,因氢气的定向运动动能全部转化为内能,即

1M5Mv2?R?T 2?2?T?由理想气体状态方程,得?p?V?M?v25R?1.925K

?R?T

?p?

MR?T?8.33?104Pa ?V8-11 1mol的氦气和氧气,在温度为27?C的平衡态下分子的平均平动动能和平均动能分别为多少?内能分别为多少?

解: 氧气:?t?

355kT?6.21?10-21J;??kT?1.035?10?20J;E?RT?6232J 22234

氦气:?t?333kT?6.21?10-21J;??kT?6.21?10?21J;E?RT?3740J 2228-12在相同的温度和压强下,单位体积的氢气(视为刚性双原子分子气体)与氦气的内能之比为多少?质量为1kg的氢气与氦气的内能之比为多少?

解:因温度和压强相同,由p?nVkT知nV相同 单位体积的内能之比为

5; 3E氢E氦?5410 ??323质量为1kg的氢气与氦气的内能之比为

8-13 温度为100?C的水蒸汽在常压下可视为理想气体,求分子的平均平动动能、分子的方均根速率和18g水蒸汽的内能?

解:?t?3kT?7.72?10-21J ; 2v2?3RT?6?718.8m/s;E?nRT?9298.9J

28-14 1 mol氮气,由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V),气体内能的增量为多少?

解:?E?n55R?T,由理想气体状态方程,得?E?V(p2?p1) 228-15 1摩尔温度为T1的氢气与2摩尔温度为T2的氦气混合后的温度为多少?设混合过程中没有能量损失。

解: 设混合后的温度为T,有

35352?RT2?RT1?2?RT?RT 2222T?6T2?5T111

35

8-16 图8-14的两条f(v)~v曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。由此可得氢气与氧气分子的最概然速率分别为多少?

f(v) Ⅰ Ⅱ O 2000 v(m /s)

解:由vp?1.41RT?知氢气的最概然速率大于氧气的最改燃速率,则曲线

Ⅱ为氢气速率分布曲线,曲线Ⅰ为氧气分子的速率分别曲线。

氢气的最概然速率为2000m/s; 因

vp氢vp氧??氧?4 ?氢所以,氧气分子的最概然速率为500m/s

8-17 已知某理想气体分子的方均根速率为400m·s-1。当其压强为1atm时,求气体的密度。

解:由v2?3RT?,得

?RT?3v2 ??Mp?3p3

???1.9 kg/m VRTv28-18 一真空管真空度为1.33×10-2Pa,设空气分子的有效直径为3×10-10m,空气的摩尔质量为2.9×10-2kg·mol-1。求在温度为300K时分子的平均自由程。

解: ??

36

kT2?dp2?1.38?10-23?3002???3?10?1.33?102-2=41.4m

班级 学号 姓名

第9章 热力学基础

9-1如图所示,一定量的理想气体经历ab过程时气体对外做功为1000 J。则气体在ab与abca过程中,吸热分别为多少?

解:由热力学第一定律, Qab?Aab??E?Aab?(Eb?Ea)

由图知paVa?pbVb,

又由pV?nRT,知Ta?Tb,即Ea?Eb

?Qab?Aab?1000J

Qabca?Aabca?Aab?Abca?1000?pc(Vc?Vb)?1000?300?700J

9-2 2mol的氦气开始时处在压强p1=2 atm、温度T1 =400 K的平衡态,经过一个等温过程,压强变为p2 =1atm。该气体在此过程中内能增量和吸收的热量各为多少?若气体经历的是等容过程,上述气体在此过程中吸收的热量与内能增量各为多少?

解:(1)气体在等温过程中吸收的热量与内能增量分别为

Q?A?nRT1lnp1?4608J, ?E?0 p2 (2)气体在等容过程中吸收的热量与内能增量为

Q??E?nCV,m(T2?T1)

因为T2?p23T1?200K,CV,m?R,n=2所以 p123Q?nR(T2?T1)?2?1.5?8.31?(400?200)?4986J

29-3 温度为27℃、压强为1atm的1mol刚性双原子分子理想气体,分别经历等温过程过程与等压过程体积膨胀至原来的2倍。分别计算这两个过程中

37

气体对外所做的功和吸收的热量。

解:等温过程吸收的热量与功为 Q?A?nRTlnV2?8.31?(27?273)?ln2?1728J V1等压过程T2?V2T1?2T1?600K,所以,等压过程气体吸收的热量与功分别为 V1Q?nCp,m(T2?T1)?7R?300?8725.5 J 2A?p(V2?V1)?pV1?nRT1?8.31?300?2493J

9-4 温度为0℃、压强为1atm的1mol刚性双原子分子理想气体,经历绝热过程体积膨胀为原来的3倍,那么气体对外做的功是多少?内能增量又是多少?

解:由绝热过程方程V1T1?V2??1??1T2;??1.4,得

T2?(V1??1)T1?176K V25A???E??nCV,m(T2?T1)??R(T2?T1) 2??2.5?8.31?(176?273)?2015.2J?E?nCV,m(T2?T1)?-2015.2J

9-5 1mol氦气从状态(p1,V1)沿如图所示直线变化到状态(p2,V2),试求: (1)气体的内能增量; (2)气体对外界所做的功; (3)气体吸收的热量; (4)此过程的摩尔热容。

(摩尔热容Cm??Q/?T,其中?Q表示1mol物质在过程中升高温度?T时所吸收的热量。)

38

解:

33(1)?E?nCV,m(T2?T1)?nR(T2?T1)?(p2V2?p1V1)

221(2)A?(p2?p1)(V2?V1)

2(3)由过程曲线,得

p2V2,即p2V1?p1V2 ?p1V11所以 A?(p2V2?p1V1)

2Q?A??E?2(p2V2?p1V1)

(4)因为Q?2(p2V2?p1V1)?2nR(T2?T1) 所以

Cm?Q?2R

n(T2?T1)

9-6 一定量的刚性双原子分子理想气体装在封闭的汽缸里,此汽缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气)。已知气体的初压强为p1,体积为V1,现将该气体在等体积下加热直到压强为原来的2倍,然后在等压下加热

直到体积为原来的两倍,最后作绝热膨胀,直到温度下降到初温为止。

(1)在p-V图上将整个过程表示出来; (2)试求在整个过程中气体内能的改变; (3)试求在整个过程中气体所吸收的热量;

(4)试求在整个过程中气体所作的功。 解:(1)略

(2)因为始末态温度相同,所以?E?0(3)整个过程中气体所吸收的热量为

39

Q?QV?Qp?0?nCp,m(T2?T1)?nCp,m(T3?T2)57 nR(T2?T1)?nR(T3?T2)2257?(p2V2?p1V1)?(p3V3?p2V2)22? 因等体过程1-2中: p2?2p1,;

等压过程2-3中:V3?2V2?2V1, 代入上式得

Q?19p1V1 2所以由热力学第一定律,有

A?Q?19p1V1 29-7标准状况下,2mol氧气,在等温过程与绝热过程中体积膨胀为原来的两倍,试计算在两种过程中(1)压强分别变为多少?(2)气体对外做功分别为多少?

解:由等温过程方程p2V2?p1V1,有p2?V11p1?p1?0.5065?105Pa,所以 V22A?nRTlnV2?2RTln2?3144J V1V???由绝热过程p2V2?p1V1,??1.4,有p2?(1)p1?0.379p1?0.384?105Pa

V2p1V1?p2V2p1V1?0.379p1?2V1???10.40.242nRT1 ??2745J0.4A?

40

9-8 气体经历如图所示的一个循环过程,在这个循环中,外界传给气体的净热量是多少?

解:外界传给气体的净热量也是气体从外界吸收的净热量

Q?A?-?p?V?-900J

9-9 如图所示,1mol氮气所经历的循环过程,其中ab为等温线,求效率。

p a 解:

Qab?A?nRTalnVb?RTaln2?0 Va7T7Qbc?nCp,m(Tc?Tb)?R(a?Ta)??RTa?0224

c b O 3 6 V(10-3m3)

Qca?nCV,m(Ta?Tc)?515R(Ta?Ta)?RTa>0 224Qbc?9.94%

Qab?Qca??1?Q放Q吸?1?9-10 1mol的双原子理想气体作如图所示的循环abcd,b→a为绝热过程。已知a态的压强为P1、体积为V1,设V2=2V1,求:

(1)该循环过程气体对外所作的总功;(2)循环效率。

解:(1)设a态的温度为T1,由等温过程方程得 pa?Vcpb?2pb。 Va由绝热过程方程

41

Vapa?Vbpb,??得

??Cp,mCV,m?i?27??1.4 i5Vp11pb?a?a?()0.4pa?()0.4p1

22VbQac?nCp,m(Tc?Ta)?77nR?(Tc?Ta)?(pcVc?paVa)22

777?(pa?2Va?paVa)?paVa?p1V1222?55Qcb?nCV,m(Tb?Tc)?nR?(Tb?Tc)?(pbVb?pcVc) 22Qcb?3.105p1V1

Qba?0

Q?Qba?Qac?Qcb?0.395p1V1?A

??1?QcbA??11.3% QacQac9-11 一卡诺热机(可逆的),低温热源的温度为27℃,热机效率为40%,其高温热源温度为多少?今欲将该热机效率提高到50%,若低温热源保持不变,则高温热源的温度应为多少?

解: T2=27+273=300K 由??1-效率升高后??1-T2,得T1=500K T1T2?0.5,高温热源的温度为T1’=600K ?T1 9-12 氮气经历如图所示循环,求循环效率。

解:循环过程气体的总功为

1A?(pa?pc)(Vb?Va)

2 42

由过程曲线,得

pbVb,所以, Vb?2Vc,Vc?Va,则 ?pcVcA?11pcVc?p1V1 2257Q1?Qca?Qab?nCV,m(Ta?Tc)?nCp,m(Tb?Ta)?nR(Ta?Tc)?nR(Tb?Ta)22

c-a过程中:pa?2pc,Ta?paTc?2Tc; pcb-c过程中:由pbVc?pcVb 得 Vb?pbVc?2Vc?2V1, pcVbTa?2Ta Vaa-b过程中:Tb?5719Q1?nR(2Tc?Tc)?nR(4Tc?2Tc)?nRTc

222再由状态方程得nRTc?p1V1

Q1?19p1V1 2??A?5.3%Q1

9-13 一热机在温度为400K和300K两个热源之间工作,若它在每一循环中从高温热源吸收2×105J的热量,试计算此热机每次循环中对外所做的净功及效率。

解: 热机的效率为

??1-每次循环对外做的净功为

T2?25.5% T1A??Q1?5?104J

43

班级 学号 姓名

第10章 静电场

10-1关于点电荷的电场有下列说法,其中正确的是[D ]

?qr中的q也是试探电荷; 34π?0r??qr(B)由E?知r? 0时E??; 34π?0r??qr(C)对正点电荷由E?知,r越小电场越强,对负点电荷由34π?0r??qrE?知, r越小电场越弱; 34π?0r?(A)公式E?(D) 利用点电荷的场强公式与叠加原理,原则上可求各种带电体的场强。

10-2在空间有一非均匀电场,其电场线分布如图所示.在电场中作一半径为R的闭合球面S,已知通过球面上某一面元?S的电场强度通量为?Φe,则通过该球面其余部分的电场强度通量为 -?Φe .

10-3一个点电荷放在球形高斯面的中心, 如图所示.下列哪种情况通过该高斯面的电通量有变化? [ B ]

(A) 将另一点电荷放在高斯面外; (B) 将另一点电荷放在高斯面内; (C) 将中心处的点电荷在高斯面内移动; (D) 缩小高斯面的半径。

?EOR?S

Sq

10-4 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)

44

在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?

解: 如图示

(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:

q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3

解得 q???3q 310-5 一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为?,求环心处O点的场强。

解: 如图,在圆环上取微元dl?Rd?,其带电dq??dl?R?d?, 它在O点产生场强大小为

dE??Rd?方向沿半径向外 24π?0R则 dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0R dEy?dEcos(???)?积分Ex???0??sin?d??

4π?0R2π?0R??cos?d??0

4π?0REy???0∴ E?Ex?

?,方向沿x轴正向.

2π?0R45

10-6 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m

-1

的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a=5.0cm处P点的场强; (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d=5.0cm 处Q点的场强。

解:(1) 设杆的左端为坐标原点O,x轴沿直杆方向.

在x处取一电荷元dq = ?dx ,它在P点的场强:

q P dq?dx dE??224π?0?l?a?x?4π?0?l?a?x?l a 总场强为

l?dx?lE? ?24??0???(l?a-x)4??al?a00x (L+d-x) dq dE ?9?1C?m, O 用l?15cm,??5.0?10P x a?5cm代入得 l a ?1EP?6.75N?C,方向沿x轴,即

杆的延长线方向. (2)

dEQ?1?dx 224π?0x?d2方向如图所示 由于对称性dEQxl???0,即EQ只有

1?dx?4π?0x2?d22d??24π?2y分量,∵ dEQyd2x?dl2l?2222

EQy??dEQyl?dx(x2?d22)32??l2π?0l?4d222

以??5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1,方向沿y轴正向。

46

10-7 一个点电荷q位于一边长为a的立方体中心,在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量是多少?

解: (1)由高斯定理E?dS?s???q?0

立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q. 6?0??10-8一电场强度为E的均匀电场,E的方向与沿x轴正向,如图所示.则

通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为 [ D ]

(A) ?R2E. (B) ?R2E / 2. ?

E 2

(C) 2?RE. (D) 0.

10-9两个无限大的平行平面都均匀带

电,电荷的面密度分别为?1和?2,试求空间各处场强。

O x

解: 如图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为?1与?2, 两面间, E??1?(?1??2)n 2?0?11??(?1??2)n ?2面外, E?(?1??2)n 2?02?0?1面外, E????n:垂直于两平面由?1面指为?2面.

10-10静电力作功的特点是 与路径无关,只于起点和终点有关____,因而静电力属于____保守______力。

47

10-11 半径为R1和R2(R2 >R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r<R1;(2) R1<r<R2;(3) r>R2处各点的场强。

解: 因场强分布具有轴对称性,取高为h、半径为op?r的同轴直圆柱面为高斯面,由高斯定理?E??dS???qs?可得

0则 ?SE??dS??E2πrh

(1) r?R1

?SE?dS?E2πrh?0?

?E?0

0(2) Rh?1?r?R2 E2πrh??

0 ∴ E??2π?r 方向沿矢径向向外

0(3) r?R2

?q?0

∴ E?0

RR21

RR21

RR21

48

10-12 在半径为R的球体内,电荷分布是球对称的,电荷体密度为r为球心导球内任一点的距离,求此带电体在空间产生的电场强度。

?=Ar,

解:因场强分布具有球对称性,取半径为op?r的同心球面为高斯面,由

???q高斯定理?E?dS?可得

s?0(1) r≤R 由高斯定理有 E1?4?r?

(2) r >R E2?4?r?221?0?V?dV?1?0?r04?Ar3dr??Ar4/?0

?E1?Ar/?4?0?, (r≤R)

2

方向沿径向,A>0时向外, A<0时向里.

1?0?V?dV?1?0?R04?Ar3dr??AR4/?0

?E2?AR4/4?0r2, (r >R)

方向沿径向,A>0时向外,A<0时向里.

(注)在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳,该壳内所包含的电荷为

??dq??dV?Ar?4?r2dr在半径为r的球面内包含的总电荷为

q???dV??4?Ar3dr??Ar4

V0r10-13一电偶极子由q=1.0×10C

-6

d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×10N·C偶极子上的最大力矩。

5-1

解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩M?p?E

?6?35?4∴ Mmax?pE?qlE?1.0?10?2?10?1.0?10?2.0?10N?m

?????

10-14静电场中某点电势的数值等于 [ C ]

(A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能. (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能. (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能.

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功.

49

10-15一半径为R的均匀带电球面,带有电荷Q.若规定该球面上的电势值为零,则无限远处的电势将等于 [ C ] (A)

(C)

Q4π?0R. (B) 0.

?Q. (D) ∞.

4π?0R10-16 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两端直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势。

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和

CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,在圆环上

?取dl?Rd?,其带电dq??Rd?在O点产生dE如

图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向

E??dEy??2?????Rd??[] sin(?)?sincos??4π?R24π?0R2202???

2π?0R?(2) 设U??0,AB电荷在O点产生电势,

U1??AB2R?dx?dx????ln2 R4π?0x4π?0x4π?0同理CD产生 U2?半圆环产生 U3??ln2 4π?0?R0??dlπR????

4π?0R4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3?图微元不应带箭头

??ln2? 2π?04?050