2020-2021备战中考数学相似综合经典题及答案解析

一、相似

1．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：

（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下， ①若tan∠APB

，求点P的坐标。________

②当点P的坐标为 ________ 时，∠APB最大 （3）若在直线y

x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标

【答案】（1）解：∠APB如图所示；

理解应用： （2）解：如图2中，

∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB= = P′，易知P（0，2），P′（0，6）．；（0，2 拓展延伸： （3）解：如图3中，

．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4， ）

BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和

当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y= x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA?MB，∴MP=3 K．∵ON∥PK，∴ =

= ，∴ =

=

，∴PK=

，MK=

，作PK⊥OA于 ，∴OK=

﹣

3，∴P（ ﹣3，

）．

【解析】【解答】解：（1）②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC= ）．

【分析】（1）因为CB⊥x轴于点B，所以∠ABC=作的点P；

（2）①由（1）知，∠APB=∠ACB，所以tan∠ACB=tan∠APB=径画圆，交y轴于P和P′，易得P（0，2），P′（0，6）；

②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC=以P（0，2

）；

=

,则C（6，

），K（4，2

），而P在y轴上，所=,已知A（2，0），B

。要使∠APB=∠ACB，只需这两个角

是同弧所对的圆周角。所以用尺规左三角形ABC的外接圆，与y轴相交，其交点即为所求

=4

，∴C（6，4

），∴K（4，2

），∴P（0，2

（6，0），所以AB=4，BC=8，则C（6，8），AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半

（3）由（2）知，当经过AB两点的圆与直线相切时，∠APB最大。设直线y=x+4交x轴于M交y轴于N，则可得M（﹣3，0），N（0，4），因为MP是切线，所以由切割线定理可得MP2=MA?MB，可求得MP=3判定定理可得比例式;OK=

-3，则P（

-3，

,即）。

，作PK⊥OA于K．所以ON∥PK，由相似三角形的

,解得PK=

，MK=

，所以可得

2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．

（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；

（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；

（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围． 【答案】（1）解：如图1中，

点F在AC上，点E在BD上时，①当 ∴ ∴t= ， ②当 ∴t=2，

当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似， 综上所述，t= s或2s时，△EFC和△ACD相似． （2）解：不存在．

理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．

时，即

= ，

= ，

时，△CFE∽△CDA，

∵CF=5t．BE=4t， ∴CH=CF?cosC=4t， ∴BE=CH， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴DE=DH， ∵DN∥FH， ∴

=1，

∴EN=FN， ∴S△END=S△FND ，

∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等，