所以P(BA)?P(AB)0.2??0.5 P(A)0.4而当P(BA)?0.5时，P(AB)?0.2，

则P(AB)?P(AB)?0.25. P(B)1.27 举例说明：对任意两个事件A,B，无条件概率P(A)与条件概率P(AB)之间没有固定的大小关系。

解：设P(A)?P(B)?0.5，则0?P(AB)?0.5且P(AB)?P(AB)?2P(AB)

P(B)所以当P(AB)?0.25时,P(AB)?P(A).

当0?P(AB)?0.25时,P(AB)?P(A). 当0.25?P(AB)?0.5时,P(AB)?P(A).

1.28 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?11?

n?(k?1)n?k?1n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.29 袋中装有1个黑球和n-1个白球，每次从中随机摸出一球，并放入白球，连续进行，问第k次摸到白球的概率是多少？

(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?解：设A为第k次摸到白球，则A表示第k次摸到的不是白球，即黑球，那么前

?n?1?k-1次摸到的全为白球。那么P(A)????n?(n?1)k?1P(A)?1?P(A)?1? knk?11(n?1)k?1 ?nnk1.30 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小

(?p)r??pe。鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为 r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?rk?r???ke??k!?Ckr?pr(1?p)k?r

(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???[?(1?p)]n?e??e?r!(k?r)!r!n!k?rn?0

(?p)r???(1?p)(?p)r??p?e?e?e

r!r! 1.31 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三

级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645

k?1420202020

1.32 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

解 设A1,A2,A3,A4分别表示车床、钻床、磨床、刨床，B表示有一个机床需要

9321， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? 151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9 修理，则 P(A1)?1?P(A)P(B|A)kkk?14221.33 设P(AB)?0.5,P(BA)?0.4，P(A)?0.6，求P(AB)，问事件A与事件B

是否独立，为什么？ 解：由P(BA)?P(AB)?0.4，P(A)?0.6，知P(AB)?0.24 P(A)P(AB)?P(AB)?0.5,知P(B)?0.48 P(B)P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.48?0.24?0.84

因为P(A)P(B)?0.288，P(AB)?0.24所以P(A)P(B)?P(AB) 即A与B不相互独立。

1.34 若A,B相互独立，证明: ?,A,A,?中的任何一个事件与?,B,B,?中的任何一个事件是相互独立的。

证明：因为P(?)?0,P(?)?1，对于任意的一个事件C，C??,A,A,B,B,?

①因为P(???????C)?P(?)?0,P(?)P(C)?0?P(C)?0,即P(?C)?P(?)P(C)?0

所以?与任何事件都独立；

②因为P(?C)?P(C)，P(?)P(C)?1?P(C)?P(C)，即P(?C)?P(?)P(C) 所以?与任何事件都独立；

③因为A,B独立，所以P(AB)?P(A)P(B)?P(A)(1?P(B))?P(A)?P(A)P(B)

?P(A)P(B)?P(A)?P(AB)?P(A?B)?P(AB),所以A与B相互独立。

AB相互独立，证毕. 同理A与B，与1.35 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。

证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)=P(A?B)P(C) （2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)

（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)?P(AC)?P(ABC)

=P(A?B)P(C)

1.36，设A,B为两个相互独立的随机事件，P(A)?P(B)?1,证明：P(AB)?证：因为P(A)?P(B)?1，所以P(A)P(B)?3。 411（当P(A)?P(B)?时，等号成立）， 421又因为A,B星湖独立，所以P(AB)?P(A)P(B)?，

43则P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)=1?P(AB)?.

41.37 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。

解：因为A,B相互独立，所以P(A)P(B)?P(AB)，A,B不相容，即AB??，

所以P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以

min(P(A),P(B))?0.

1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。

解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?P({?2})? P({?3})?P({?4})?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，B?{?1,?3}，C?{?1,?4} 641151则 P(A)?P(B)?P(C)???，

646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)

641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B).

641.39 设两两相互独立的三个事件A,B,C满足条件

19ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?，且已知P(ABC)?，求P(A)。

216解：由A,B,C相互独立且相等，有P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A) 由ABC??有P(ABC)?0，所以

2P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)=3P(A)?3P2(A)?931,解得P(A)?(舍去)或P(A)? 16441.40 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型；(3)没有一人为AB。

解 (1)从5个人任选2人为O型，共有C52种可能，在其余3人中任选一人为

A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：C52?3?2?0.462?0.40?0.11?0.13?0.0168

3?0.463?0.402?0.1557 (3) (1?0.03)5?0.8587 (2) C5