概率论与数理统计教程(第二版) 魏宗舒 第一章 下载本文

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球。

(3) 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止,甲先取到白球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2,?,正9,记不合格为次,则

(正2,正4),?,(正2,正9),(正2,次), ??{(正1,正2),(正1,正3),?,(正1,正9),(正1,次),(正2,正3),(正3,正4),?,(正3,正9),(正3,次),?,(正8,正9),(正8,次),(正9,次)}

A?{(正1,次),(正2,次),?,(正9,次)}

(2)记2个白球分别为?1,?2,3个黑球分别为b1,b2,b3,4个红球分别为r1,r2,r3,r4。则??{?1,?2,b1,b2,b3,r1,r2,r3,r4}

(ⅰ) A?{?1,?2} (ⅱ) B?{r1,r2,r3,r4}

b个???(3)?1表示白,?2表示黑白,?3表示黑黑白,…?b?1表示黑?黑白,

则样本空间??{?1,?2,…,?b?1}, 当b被奇数时:A1?{?1,?3,?5,当b为偶数时:A2?{?1,?3,?5,,?b} ,?b?1}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示被选学生是三年级学生,事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立? (3)什么时候关系式C?B是正确的?(4) 什么时候A?B成立? 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生,但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB,表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件,以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品(1?i?n)。用Ai表示下列事件:

(1)没有一个零件是不合格品;(2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品;(4)至少有两个零件是合格品。 解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];

i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为?AiAj;

i,j?1i?jn1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以

11?A5?2?3?6个样本点。于是 事件A“所得分数为既约分数”包含A32?2A3P(A)?2?3?69?。 8?7141.5 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词

的概率为多大?

解 显然样本点总数为13!,事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含

3!2!2!2!48 ?13!13!1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所

3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。所以包含A97个样本点,于是

A97P(A)?7。

91.7 某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”,显然P(A)????,所以

10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???

10000?10?441.8 有5双不同的鞋子,从中任取4只,问没有一双配对的概率。

4解:鞋子都不同,所以样本点总数为C10.A表示“没有一双配对”,则有利样本空

间为CCCCC4512121212.所以

1111C2C2C28有利样本数C54C2P(A)?== 4样本总数C10211.9 袋中装有a个黑球与b个白球,把球随机一只一只地摸出来(不放回),

求第k次(1?k?a?b)摸出黑球的概率。

策略一:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,将所有的球一一摸出来依次放在排成一直线的(a?b)个位置上,则所有不同的排法有(a?b)!,作为基本事件全体;而其中第k个位置

1Ca(a?b?1)!a?排黑球的方法有C(a?b?1)!,故所求概率为P(A)?

(a?b)!a?b1a策略二:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,前k次摸出球的所有不同可能为Aa?b,

1k?1将其作为基本事件全体;而第k个位置排黑球的方法有CaAa?b?1,故所求概率为

k1k?1CaAa?b?1a P(A)??kAaa?b?b1.10 任取一个正数,求下列事件的概率:(1)该数的平方的末位数字是1; (2)该数的四次方的末位数字是1;(3)该数的立方的最后两位数字都是1; 解 (1)考虑一个数的平方的末位数字,只与这个数的末位数字有关,即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、9之一时,事件A“该数平方的末位数是1”。即P(A)?有利样本数21==。

样本总数105(2) 考虑一个数的四次方的末位数字,只与这个数的末位数字有关,即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、3、7、9之一时,事件B“该数四次方的末位数是1”。即P(B)?有利样本数42==。

样本总数105 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含102个样本点。用事件C表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为a,则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数,要使3a的个位数是1,必须a?7,因此C所包含的样本点只有71这一点,于是P(C)?有利样本数1=.

样本总数1001.11 一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有5?3?1种接法,同样对尾也有5?3?1种接法,所以样本点总数为

(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有5?3?1种

连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2),于是

P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解:以x,y分别表示汽车和乘客到达车站的时间,则事件A“若乘客在候车

?0?x,y?5?时间不超过三分钟能坐上车”时,满足以下条件?y?x?3,

?2?x?y?在平面上建立直角坐标系,则(x,y)的所有可能结果是边长为5的正方形,而满足事件A的情况由阴影部分所表示,这是一个几何概率问题,由等可能性知

S阴影? 所求概率为P(A)S?3=。51.13 在?ABC中任取一点P,证明?ABP与?ABC的面积之比大于率为

n?1的概n

1。 2n1CD,当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面n2解 截取CD??21CD?A?B?C的面积CD?n?11n2??积之比大于,因此所求概率为P(A)?。 ?222?ABC的面积CDnnCD