北京工业大学2017--2018学年第一学期考试试卷A答案
课程名称： 高等数学 A 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：
1. 2. 3. 4. 5. 6.
本次考试为闭卷考试。本试卷共计 页，共 大部分，请勿漏答； 考试时间为 １２０ 分钟，请掌握好答题时间；
答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 本试卷全部答案都写在试卷上；
答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！
一、填空题（每题3分，共30分） 1．limx?25x?1?2x?51?
x?22?ln(1?x),?2. 设f(x)??sinx?x2?b,?x?0x?0n??在x?0处连续，则b? 1
3．f(a)?0,f?(a)?1,则极限limnf(a?)? -1 4．已知y?sin3x, n为自然数，则y(n)1n?3nsin(3x?n)
2??dy?x?tet, 则5． 设?dx??y?sint?cost?? 1
t?06．
?2?2?(cosx?2?xcosx )dx?21?cos2x7． 设f?(x)连续，则sinxf??cosx?dx??f(cosx)?c
?8.已知g(x)??x0?0）= 0 arcsintdt, 则g（9. 微分方程y??1y?x的通解是y?x(c?x) x1 x10. 微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是y?
二、单项选择题（每小题2分，共8分） 1. 函数的定义域y?ln(x?2)是（ C ） 3?xA. (?2,3] B. (??,3) C. (?2,3) D. [?2,3] 2. 设f?(0)?2，则当x?0时，f(x)?f(0)是x的 （ B ）
A．低阶无穷小量 B．同阶无穷小量 C．高阶无穷小量 D．等价无穷小量
?xsin2x???3. 设f(x)????，则?f(x)dx?（ A ）
24??x2cos2xx2cos2x1cos2xxsin2x?C D．??C A． ??C B． ??C C． ?48442224ax?1ax?1)??tetdt，则a?（ D ）
??x??x15 A. 1 B. C. D. 2
224. 已知lim(
三、求解下列各题（每小题5分，满分30分）
1dy1??121. 求极限lim?2?及dy ? 2. y?1?xarctan,求
x?0?xxtanx?xdx??11?tanx?x1?12x2 ??lim解： lim?2? （1分） 解：y?2xarctan?(1?x)?x?0x1xtanx?x?0x2tanxx?1?2x?tanx?xsec2x?11?lim?2xarctan?1 （4分） ?lim （3分） 32x?0x?0x3xxtan2x11?lim?dy?(2xarctan?1)dx （5分） （5分） x?03x23x3. 设y?arcsinx?1?xe，求
xydydx 4.
x?01?1?3x dx
解：y??11?x2?exy?xexy(y?xy?) （4分） 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2 （1分）
13t23 dx? dt?(3t?3?)dt 当 x?0时，y?1，代人上式得 ?（3分） ??31?t1?t1?x3y?(0)?0 （5分） ?t2?3t?3ln(1?t)?c
21132 ?x3?3x3?3ln(1?x3)?c （5分）
2 5.
?112解：?xarctanxdx??arctanxdx （1分） 解：?1?cos2xdx
00201?01xarctanxdx 6.
?2?01?cos2xdx
?11x2???dx ?2?|cosx|dx （2分）
08201?x2???1112???(1?)dx （4分） ?2(?cosxdx???cosxdx) （4分）
08201?x22?1? （5分） ?22 （5分） 42112四、（6分）已知曲线y?f(x)于任意点处的切线斜率为ax?3x?6，且当x??1时，y?为
2?其极大值，试求曲线y?f(x)，且求函数f(x)的极小值.
2解：由于f?(x)?ax?3x?6，所以f(x)??a332x?x?6x?c （1分） 32由当x??1时，y??a?31111为其极大值可得f(?1)?,f?(?1)?0，即? （4分） 22?c?23f(x)?x3?x2?6x?2
22由于f?(x)?3x?3x?6?3(x?2)(x?1)，当x?2时，f?(2)?0,f??(2)?9?0
故x?2时，函数f(x)取得极小值?8. （6分）
1x2?1?x． 五、 (6分) 证明：当x?0时，1?x?281x21111??x?0， （1分） 证明：令f(x)?1?x?1?x?，则f?(x)?2821?x24由于f??(x)??11111??(1?)?0 (x?0)，因此f?(x)在[0,??)上单调334(1?x)44(1?x)增加，（4分）当x?0时，f?(x)?f?(0)?0，从而f(x)在[0,??)上单调增加，当x?0时，
f(x)?f(0)?0，
因此f(x)在[0,??)上单调增加，由于f(0)?0，故当x?0时，有f(x)?f(0)?0，即
1x21?x??1?x （6分）
28六、（6分）设函数y?f(x)满足微分方程y???3y??2y?2e，且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x?x?1在该点的切线重合，求f(x).
2解：解特征方程r?3r?2?0得：r1?1,r2?2 （2分）
2x设微分方程的一特解为y?Axe，代入原方程比较系数得：A??2 （4分）
x2xxx微分方程y???3y??2y?2e的通解为：y?c1e?c2e?2xe （5分）
*x由y(0)?1,y?(0)??1得：c1?c2?1,c1?2c2?1，解得c2?0,c1?1 故f(x)?e?2xe （6分） 七、（6分）求由抛物线y?转一周所得旋转体的体积.
解 抛物线y?xxx与直线y?x所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x轴旋
x与直线y?x的交点为?0,0?，?1,1? （1分）
故抛物线和直线所围城的平面图形的面积S??x?x?dx?1 （3分） ?0??61平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V= π(x)dx?π(x)dx
00?12?12 =
π （6分） 6?八、（5分）设连续函数f(x)满足f(x)?f(?x)?sinx，求积分
??2??2?f(x)sin6xdx
2证明：
??2??2f(x)sinxdx??2?f(?t)sin6tdt （2分）
?26故
??2?2??1?168f(x)sinxdx??2?(f(x)?f(?x))sinxdx??2?sinxdx??2sin8xdx
02?22?26?7531?35?? （5分）
86422256九、（3分）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f(1)?k内至少存在一点?，使f?(?)?(1?)f(?).
?1k0证明在(0,1) xe1?xf(x)dx (k?1)，
1?证明：设F(x)?xf(x)e则F(x)?f(x)e因为
?x?x，（1分）
?xf?(x)e?x?xf(x)e?x?(1?x)f(x)e?x?xf?(x)e?x，F(1)?f(1)e?1，
1k?xe1?xf(x)dx??e1??f(?)?F(?)e (0???)， （2分）
k所以有F(1)e?F(?)e，即F(1)?F(?). 又因为F(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，根据罗尔定理可知：在(0,1)内至少存在一点?，使F?(?)?0，即f?(?)?(1?)f(?) （3分）
1k01?