燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O， 那么，

S?ABO:S?ACO?BD:DC

AEOB

FDC

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4?BD:DC；

三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；

三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；

综上可得， S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在

BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AEBDFC

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFBDC

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，

AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AEBDFC

【巩固】如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几？

A

EOBDC11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

CQXAB

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分

的面积各是多少?

PAEFBDC

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

AEFBDC

【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC?2，CD?2，CB?3，AM?BM，那么三角形AMN(阴影

部分)的面积为多少？

AMNCDB

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少

平方厘米?

AFBGDECAxFyyxGDEC

【例 2】 如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边

形BODC的面积为________．

BAFEBOCD

【例 3】 ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形

AGCD的面积是_________平方厘米．

DCGFAEB

【例 4】 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

ADEGHBFC

【例 5】 如图所示，在△ABC中，BE:EC?3:1，D是AE的中点，那么AF:FC? ．

AFDBEC

【巩固】在?ABC中，BD:DC?3:2， AE:EC?3:1，求OB:OE?？

AOBDEC

【巩固】在?ABC中，BD:DC?2:1， AE:EC?1:3，求OB:OE?？

AEOCBD

【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且