刷题增分练 36 计数原理、排列组合、二项式定理

36 小题基础练提分快 刷题增分练○一、选择题

1．[2019·河北唐山模拟]用两个1，一个2，一个0，可组成不同

四位数的个数是( )

A．18 B．16 C．12 D．9 答案：D

3

解析：当1在最高位时，可以组成的四位数的个数是A3＝6；当

2

2在最高位时，可以组成的四位数的个数为C3＝3，故可以组成不同的四位数的个数为9.故选D.

2．[2019·石家庄模拟]教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )

A．10种 B．25种 C．52种 D．24种 答案：D

解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．

3．[2019·开封月考]某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )

A．6 B．12 C．18 D．19 答案：D

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解析：通解 在物理、政治、历史中选一科的选法有C13C3＝9(种)；

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在物理、政治、历史中选两科的选法有C3C3＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.

3

优解 从六科中选考三科的选法有C6种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C36－1＝19(种)，故选D. 4．[2019·合肥调研]用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )

A．250个 B．249个 C．48个 D．24个

答案：C 解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝324(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A4＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C. 1?9?5．[2019·广州调研]?x－2x?的展开式中x3的系数为( ) ??219A．－2 B．－2 921C.2 D.2 答案：A ?1?r?1?rr9－2rr9－r?解析：二项展开式的通项Tr＋1＝C9x－2x?＝?－2?C9x，令?????1?3319×8×739－2r＝3，得r＝3，展开式中x的系数为?－2?C9＝－8×＝??3×2×121－2，选A. 6．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为( ) A．－10 B．－5 C．5 D．10 答案：B 5－rr解析：(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr·x·y，令5－r5＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3， 3∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C45×1＋(－1)×C5＝－5.故选B. 7．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝( ) A．－180 B．180 C．45 D．－45 答案：B 解析：令t＝1－x，则x＝1－t，所以有(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…10－r10－r＋a10t10，则Tr＋1＝Cr(－t)r＝Cr(－1)rtr，令r＝8，则a8＝C810210210×22＝180. 1?n?8．[2019·山西太原五中等六校联考]在二项式?x－x?的展开式中??第5项是二项式系数最大的唯一项，则展开式中含有x2项的系数是( ) A．35 B．－35

C．－56 D．56 答案：C 1?n??解析：∵在二项式x－x?的展开式中第5项是二项式系数最大的??唯一项， ∴展开式中第5项是正中间项，展开式共有9项． ?1?rr8－r?8－2r∴n＝8，展开式的通项为Tr＋1＝C8x－x?＝(－1)rCr， 8x??令8－2r＝2，得r＝3， ∴展开式中含x2项的系数是(－1)3C38＝－56.故选C. 二、非选择题 9．[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案) 答案：16 解析：解法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)． 解法二 间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)． 10．[2019·湖南长沙雅礼月考]给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有________种不同的染色方案． 答案：96 解析：先染A，B，C有A34种方案，若A，F不相同，则F，E，D唯一；若A，F相同，讨论E，C，若E，C相同，D有2种，则有3A4×1×2种，若E，C不相同，D有1种，则有A3所4×1×1种方案．33以一共有A4＋A34×1×2＋A4×1×1＝96种方案． 11．[2019·石家庄质检]设(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值为________． 答案：－1 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0

＝1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1. 1?n??12．[2019·贵州凯里月考]多项式2x－x＋1?展开式中所有项的系??数之和为64，则该展开式中的常数项为________． 答案：141 解析：令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为2n＝64，故n1?n??1??61?61?5???0?1????????＝6，则2x－x＋1＝2x－x＋1＝C62x－x＋C62x－x?＋…＋??????????032246C6C3C4(－2)2＋C6·C16，常数项为C6·6(－2)＋C6·2×(－2)＋C6＝141. 36 综合提能力 课时练 赢高分 刷题课时增分练○一、选择题 ?22?51．[2018·全国卷Ⅲ]?x＋x?的展开式中x4的系数为( ) ??A．10 B．20 C．40 D．80 答案：C ?22?5?2?r25－r??r??解析：x＋x的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(x)·x＝????－Cr5·2r·x103r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.故选C. 2．[2019·成都诊断](x＋2y)5的展开式中含x3y2项的系数为( ) A．5 B．10 C．20 D．40 答案：D 5－r解析：(x＋2y)5的展开式的通项Tr＋1＝Crx(2y)r，所以含x3y2项52的系数即r＝2时的系数，即C5×22＝40. 3．[2019·日照模拟]甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每一级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为( ) A．336 B．84 C．343 D．210 答案：A 解析：由题意知需要分2类解决，(1)若每一个台阶上只站1人，3站法有A7＝210(种)；(2)若1个台阶有2人，另1个台阶有1人，站22法有C3A7＝126(种)．根据分类加法计数原理可得，不同的站法种数为210＋126＝336.