1

(2)tan 70°－tan 10°－3tan 70°tan 10°.

tan 17°＋tan 28°【解】 (1)因为tan(17°＋28°)＝，

1－tan 17°tan 28°所以tan 17°＋tan 28°＝tan 45°(1－tan 17°tan 28°) ＝1－tan 17°tan 28°，

所以tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1. (2)因为tan 60°＝tan(70°－10°) tan 70°－tan 10°

＝， 1＋tan 70°tan 10°

所以tan 70°－tan 10°＝3＋3tan 10°tan 70°， 所以tan 70°－tan 10°－3tan 10°tan 70°＝3. 10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan Atan C＝2＋3，求角A，B，C的大小．

??A＋B＋C＝180°【解】 由题意知：?

??2B＝A＋C解之得：B＝60°且A＋C＝120°， ∴tan(A＋C)＝tan 120° ＝－3＝

tan A＋tan C1－tan Atan C

又∵tan Atan C＝2＋3，

∴tan A＋tan C＝tan(A＋C)·(1－tan Atan C) ＝tan 120°(1－2－3) ＝－3(－1－3)＝3＋3. ∵tan A，tan C可作为一元二次方程

2

1

x2－(3＋3)x＋(2＋3)＝0的两根， 又∵0＜A＜B＜C＜π， ∴tan A＝1，tan C＝2＋3. 即A＝45°，C＝75°.

所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.

[能力提升]

1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________． tan 10°＋tan 20°3【解析】 ∵tan 30°＝tan(10°＋20°)＝＝3.

1－tan 10°tan 20°3

∴tan 10°＋tan 20°＝3(1－tan 10°tan 20°) ∴tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10° ＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 10°＋tan 20°) 3＝tan 10°tan 20°＋3×3(1－tan 10°tan 20°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20° ＝1. 【答案】 1

2．已知tan α，tan β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，sin?α＋β?则＝________. cos?α－β?

【解析】 ∵tan α，tan β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－6，tan α·tan β＝2.

则sin?α＋β?cos?α－β?

＝

sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β

2

1

＝tan α＋tan β1＋tan αtan β

＝

－61＋2

＝－2. 【答案】 －2

3．已知α、β均为锐角，且tan β＝

1－tan α1＋tan α

，

cos α－sin α

，则tan(α＋β)＝________.

cos α＋sin α

【解析】 ∵tan β＝∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β ∴tan(α＋β)＝

tan α＋tan β1－tan αtan β

＝1.

【答案】 1

4．如图3-1-2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，225它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为10，5.

图3-1-2

求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．

22

【解】 由已知得cos α＝10，cos β＝55，又α，β是锐角． 则sin α＝

7

1－cos2α＝102，sin β＝

5

1－cos2β＝5.

sin αsin β1

所以tan α＝cos α＝7，tan β＝cos β＝2.

tan α＋tan β1－tan αtan β

17＋2

(1)tan(α＋β)＝

＝1＝－3. 1－7×2

2

1

(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，

11－tan?α＋β?tan β1＋3×23π3π

又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜2，所以α＋2β＝4.

tan?α＋β?＋tan β

1－3＋2

2