专题3导__数(Ⅰ)
导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查?运用导数求三角函数的最值?；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.
预测在2013年的高考题中： ?1?导数的几何意义；
?2?利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.
1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：y′＝3x－10＝2?x＝±2，又点P在第二象限内，故x＝－2.点P的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)
2．(2010·江苏高考)函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
解析：在点(ak，ak)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak＋1＝.则a1
22＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
答案：21
3．若函数f(x)＝e－2x－a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：当直线y＝2x＋a和y＝e相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y＝2x＋2－2ln 2，将直线y＝2x＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．
答案：(2－2ln 2，＋∞)
xx2
2
2
2
2
3
akak4．(2010·江苏高考)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块?梯形的周长?
是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
梯形的面积
解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则
?3－x?
S＝＝·(0 1－x133 ?x＋1?·?1－x?22 4 法一：利用导数求函数最小值． ?3－x?S(x)＝·， 2 1－x3 4 ?2x－6?·?1－x?－?3－x?·?－2x? S′(x)＝· 22?1－x?3 4 ＝4 －2?3x－1??x－3? ·. 22 ?1－x?3 2 2 2 2 ?3－x? 22 1 令S′(x)＝0，又0 3 ?1??1?当x∈?0，?时，S′(x)<0，函数单调递减；当x∈?，1?时，S′(x)>0，函数单调递增； ?3??3? 132 3故当x＝时，S取最小值为. 33法二：利用函数的方法求最小值． 1?11? 令3－x＝t，t∈(2,3)，∈?，?，则 t?32? S＝4 3 · 4＝·－t＋6t－8 3 2 t2 . 6－2＋－18 1 tt13132 3故当＝，x＝时，S取最小值为. t83332 3答案： 3 5．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝e(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则 xt的最大值是________． 解析：设P(x0，e0)，则l：y－e0＝e0 (x－x0)， 所以M(0，(1－x0)e0)．过点P作l的垂线其方程为 xx x xy－e x0＝－e－x0 (x－x0)，N(0，e x0＋x0e－x0)， 1 x xx所以t＝[(1－x0)e0＋e0＋x0e－0] 2 1 xx x＝e0＋x0(e－0－e0)． 2 t′＝(ex0＋e－x0)(1－x0)，所以t在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x0＝1时，t取 1?1?最大值tmax＝?e＋?. 2?e? 1?1?答案：?e＋? e?2? 12 [典例1] (2012·扬州调研)已知函数f(x)＝e＋ax，g(x)＝e ln x(e是自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y＝4(x－1)的切线，求a的值； (2)若对于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围； (3)当a＝－1时，是否存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由． [解] (1)f′(x)＝e＋a，f′(1)＝e＋a，所以在x＝1处的切线为y－(e＋a)＝(e＋a)(x－1)， 即y＝(e＋a)x. 与y＝4(x－1)联立，消去y得 (e＋a)x－4x＋4＝0， 由Δ＝0知，a＝1－e或a＝－1－e. (2)f′(x)＝e＋a， ①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，且当x→－∞时，e→0，ax→－∞， 所以f(x)→－∞，故f(x)>0不恒成立， 所以a>0不合题意； ②当a＝0时，f(x)＝e>0对x∈R恒成立， 所以a＝0符合题意； ③当a<0时，令f′(x)＝e＋a＝0，得x＝ln(－a)，当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－ xxxx222 2 xxxa)，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(ln(－a))＝－a＋a ln(－a)>0，所以a>－e.又a<0，所以a∈(－e,0)． 综上a的取值范围为(－e,0]． (3)当a＝－1时，由(2)知f(x)min＝f(ln(－a))＝ －a＋a ln(－a)＝1. 设h(x)＝g(x)－f(x)＝e ln x－e＋x， 1xxx则h′(x)＝eln x＋e·－e＋1 xxx 1?x?＝e?ln x＋－1?＋1， ? x? 假设存在实数x0∈(0，＋∞)，使曲线C∶y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等，x0即为方程的解， 1?x?令h′(x)＝1得，e?ln x＋－1?＝0， ? x? 1x因为e>0，所以ln x＋－1＝0. x111x－1 令φ(x)＝ln x＋－1，则φ′(x)＝－2＝2， xxxx1 当0 x1?x?＋∞)上单调递增．所以φ(x)>φ(1)＝0，故方程e?ln x＋－1?＝0有惟一解为1. ? x? 所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0＝1. 第一问考查导数的几何意义；第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法，不过也要进行讨论；第三问先求f(x)的最小值，然后再研究函数h(x)＝g(x)－f(x)＝eln x－e＋x在x＝x0处的切线斜率，最后利用函数与方程思想，把方程实根的问题转化为函数的零点问题． [演练1] 已知抛物线C1：y＝x＋2x和C2：y＝－x＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． (1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分． 解：(1)函数y＝x＋2x的导数y′＝2x＋2曲线C1在点P(x1，x1＋2x1)的切线方程是 2 2 2 2 xxy－(x21＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)， 即y＝(2x1＋2)x－x1.① 函数y＝－x＋a的导数y′＝－2x， 曲线C2在点Q(x2，－x2＋a)的切线方程是 2 2 2 y－(－x22＋a)＝－2x2(x－x2)， 即y＝－2x2x＋x2＋a.② 如果直线l是过P和Q的公切线， 则①式和②式都是l的方程． ??x1＋1＝－x2，所以?22 ?－x1＝x2＋a.? 22 消去x2得方程2x1＋2x1＋1＋a＝0.