2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文主要研究重金属对城市表层土壤污染的问题,我们根据题目所给定的一些数据和信息分析并建立了扩散传播模型、权重分配模型、对比模型和转换模型解决问题。
首先，我们利用Matlab软件拟出该城区地势图（图1），根据所给数据绘出该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图。之后将8种重金属的浓度等高线投影到该地区三维地形图曲面上，接着分别计算8种重金属在五个区域的平均值，立体图和平面图（图1附件）相结合便可得出8种重金属元素在该城区的空间分布。
其次，在确定该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们运用两种方法进行解答。先假设各重金属毒性及其它性质相同，运用公式Cij?jPij求出各区域各金属相对于背景P?平均值的比值作为金属污染程度，再运用Ci??Cij求出各区域重金属污染程度，并将
j?1各区进行比较。之后，我们加上各重金属的毒性，对各重金属求出权数，再结合国标重金属污染等级和已知的各组数据来确定金属的污染程度。由上述两种方法的对比，更准确地得出重金属对各区的影响程度。
即： 工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区 并根据第一个模型的数据来说明重金属污染的主要原因。
再次，对重金属污染物的传播特征进行了分析，判断出重金属污染物主要是通过大气、土壤和水流进行传播。在分析之中，我们得出这三种状态的传播并不是孤立存在的，而是可以相互影响和叠加的，因此，我们分别建立三个传播模型，再对这三个传播模型进行了时间和空间上的拟合，得出重金属浓度最高的区域图，并结合各重金属的分布图（图6）来确定各污染源的位置。
最后，本题中只给出了重金属对土壤的污染，对于研究城市地质环境的演变模式，还需要搜集一些信息（图7）。根据每种因素对地质环境的影响程度进行由定性到定量的转化。建立同一地质时期地质环境中各因素的正影响和负影响的权重分配模型，再对这些权重进行验算和修正。从而，根据这些权重再建立预测模型便可反向推出各重金属对不同时期地质环境的影响，得出随时间变化的地质环境的演变模式。
结论：在本次模型建立中，我们得出以下结论：
1.重金属在各个区域中的污染严重程度为：工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区 2.各重金属的污染源主要分布在工业区和交通区
关键词：重金属污染 三维地形图 时空结合 地质环境演变 影响因子权重
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一．问题重述
1.问题背景
目前，社会经济发展迅速，人口数量不断增加，环境污染现象日显突出，尤其重金属对土壤的污染更受广泛关注。土壤状况直接影响着动植物的生长和安全，甚至通过食物链进入人体，导致一些慢性疾病的发生。
对于具有独立的系统来说，人们的生活和生产将会给环境和土壤造成污染，而且，每一个区域的功能不同，如山区、生活区、工业区、主干道路区和绿地区等，对环境和土壤的污染程度也不同。所以，做好调查分析，控制污染源是现今的关键。
2.提出问题：
（1）.根据题中所给各区域点的坐标，绘制中该区的空间分布图，计算不同重金属对该区的影响。
（2）.分析数据，考虑浓度分布和客观因素，说明重金属的来源。 （3）.分析重金属产生后的传播特性，并建立模型确定污染源的位置。
（4）.考虑重金属浓度和客观因素优化模型并推广，以便对城市地质环境的演变做更准确的分析和预测。
二．问题分析
（1）.由于各种重金属在各个区域的浓度都不同，所以对不同区域的影响程度也不同，根据题中所给采样点的坐标和各重金属的浓度，用MATLAB软件绘制出重金属在该区的空间分布图及8种重金属的浓度等高线在该地区三维地形图曲面的投影图。利用平均数法求得各种金属在不同区域的影响。在考虑重金属毒性的情况下，利用加权平均数求出各种金属的污染程度。两种方案作对比，找出最优化方案。
（2）.在上题的结论基础上，依据各种重金属在不同区域的浓度大小，通过分析比较，并考虑各区域的特点，可以分析出重金属的主要来源。
（3）.由于重金属产生后的传播途径有很多，本题忽略其它因素，只考虑水体、大气和土壤传播，分别建立水体传播模型，大气沉降模型和固体传播模型，并结合三者在传播过程中在时间和空间上的相互影响和制约，对污染源的位置进行准确的定位。
（4）.在研究城市地质环境演变的过程中，除运用到重金属的浓度之外，还应搜集重金属的沉积和埋藏深度、生活污水，废气污染、地壳运动植物和微生物的净化。根据污染毒性的大小确定各项的权重，。由此建立模型推出不同时期地质环境的变化，即演变模式。
三．问题假设
1.假设重金属元素在土壤和水中化学反应均匀。 2.假设各区域成土母质中含重金属的浓度是相同的。 3.假设各地区重金属分布稳定，污染源排放量不变
4.假设各数据拟合的函数是光滑曲线，且各外在因素都忽略。
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5.计算重金属在空气中传播速度不考虑风速过大的影响。
四、 名词解释及符号说明
1．名词解释：1.地质环境：包括岩石、水、气和生物在内的互相关联的系统。 2.时空结合：将金属传播的三种模型进行拟合，找出污染源。 2．符号说明
Pij i区域中j重金属元素的浓度
Pij i 区域中j重金属元素的平均浓度
n i 区域中调查重金属的点数
Cij i 区域中j重金属元素污染程度
N 区域金属对评价等级的隶属度
R 各金属因子的权重构成的向量 D 各金属因子对评价等级的隶属度 m 土壤环境质量级别
Xjk 金属因子的隶属度
Sjk 某区域各金属因子j在k级指标
P 各金属因子的实测浓度
xjk 某地区第j个重金属污染物的实
测浓度;
fj 第j个重金属污染物的毒性级别
指数;
rj 某地区第j个重金属污染物的权
重值
F?(j) 土颗粒表面所吸附的溶质（j）
的质量分数
3 ?(j) 孔隙中的溶质的质量浓度（ｇ／Ｌ）；
ｅ 土壤孔隙比
?0 土样干密度（g/cm3）
? 土壤孔隙率
S 土壤容重
?g 气体密度 ?p 粒子密度 r 粒子半径 ｔ 时间
Rd 阻滞因子
D(?(j)） 扩散系数，v为孔隙流体的
流速
? 动力粘性系数
W 粒子垂直方向速度
F浮 粒子受到的浮力 F阻 粒子受到的流体阻力
?(t) 随机力及大气流动引起的
随机加速度
五、 模型的建立及求解
一、 重金属元素的空间分布及污染程度模型 1. 重金属元素的空间分布：
a、根据已知数据，我们运用MATLAB 软件将该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图绘制如下图（1）所示
在此图中，我们能清晰的分出生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区。 将生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区用i表示。i=(1、2、3、4、5)
b、对八种重金属元素的浓度进行处理：
设八种重金属元素的浓度用Pij表示，As (μg/g)、Cd (ng/g)、Cr (μg/g)、Cu (μg/g)、Hg (ng/g)、 Ni (μg/g)、 Pb (μg/g)、 Zn (μg/g)分别为j=(1、2、…、8)
对数据进行处理分别求出各地区各金属元素的平均浓度Pij，根据公式
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