（Ⅲ）若x??1,???，求证不等式ex?1?2lnx??x?1. 【答案】(1) g(x)的增区间?0,???1??1?，减区间??,???;(2) a?0;(3)见解析. ?a??a?【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为
F?x??ex?1?lnx?a?ax?1 ?0恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为
ex?1?lnx?a?ax?1?0在?1,???上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。
（Ⅱ）f?x??g?x??1 即ex?1?lnx?a?ax?1?0在1,???上恒成立 设F?x??ex?1??lnx?a?ax?1，考虑到F?1??0
11F??x??ex?1??a，在?1,???上为增函数， x?1,ex?1??0，
xx ?当a?0时， F??x??0， F?x?在1,???上为增函数， F?x??0恒成立 当a?0时， F??1??0， F??x?在1,???上为增函数
'???x0??1,???，在?1,x0?上， F??x??0， F?x?递减， F?x??0，这时不合题意， 综上所述， a?0
（Ⅲ）要证明在1,???上， ex?1?2lnx??x?1
只需证明ex?1?lnx?1??x?lnx??0 ，由（Ⅱ）当a =0时，在1,???上， e成立， 再令G?x??x?lnx， 在1,???上， G??x??1?????x?1?lnx?1?0恒
?1x?1??0， G?x?递增，所以xxex?1?lnx?1?0G?x??G?1??1?0 即{ ，相加，得?ex?1?lnx?1???x?lnx??0，所以原不等式成
x?lnx?0立.
29
点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。 31．【2018河南天一联考】已知函数f?x??lnx?x， g?x??ax?2x ?a?0?.
2（1）求函数f?x?在?,e?上的最值；
e（2）求函数h?x??f?x??g?x?的极值点.
【答案】（1）最大值为?1，最小值为1?e；（2）见解析.
?1???
试题解析：（1）依题意， f??x??11?1,令?1?0，解得x?1.因为f?1???1， xx1?1?f????1?，
e?e?1?1?f?e??1?e，且1?e??1???1，故函数f?x?在?,e?上的最大值为?1，最小值为1?e.
e?e?2ax2?x?11（2）依题意， h?x??f?x??g?x?? lnx?ax?x， h??x???2ax?1? ，当a?0时，
xx22a?x?x1??x?x2?2ax2?x?1??? 令h?x??0，则2ax?x?1?0.因为??1?8a?0，所以h?x??，
xx2其中x1??1?1?8a1?1?8a， x2??.因为a?0，所以x1?0， x2?0，所以当0?x?x2时，
4a4ah??x??0，当x?x2时， h??x??0，所以函数h?x?在?0,x2?上是增函数，在?x2,???上是减函数，故
x2??1?1?8a为函数h?x?的极大值点，函数h?x?无极小值点.
4a，
.
32．【2018江苏南宁联考】已知函数（l）求
的单调区间；
30
（2）若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.
，单调递减区间为
.(2)
或
.
【答案】(1)单调递增区间为
试题解析：（1）由已知得当由所以函数（2）因为则
由（1）可知，函数
在
上单调递增，在
时，由，得
，得.
，单调递减区间为
.
上单调递减.
.
，
，
，
.
的单调递增区间为
又因为所以又在在
在上上
，
，
上有且只有一个零点.
，
在在.
，
.
上单调递减； 上单调递增.
所以为极值点，此时又所以
在
，
上有且只有一个零点.
31
又在在
上上
，
，在在. .
上单调递增； 上单调递减.
所以为极值点，此时综上所述，【点睛】
或
本题先把极值点问题转化为，导函数零点问题，即零点存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数f(x)；②求区间(a,b)两端点的函数值f(a)和(b)；③若函数在该区间上连续且f(a)f(b)<0，则方程在该区间内必有根.
32