故f?x?在?1,???上单调递减， f?x??f?1??0， ∴a?0满足题意；

22?1时，由f??x??0，可得1?x?， aa2由f??x??0，可得x?，

a当0?a?2，即∴f?x?在?1,?2??2?上单调递增，在,?????上单调递减， aa????∴f??2???f?1??0，∴0?a?2不合题意. a??综上所述，实数a的取值范围是2,???.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 21．【2018辽宁鞍山一中二模】已知函数f?x??（1）求函数f?x?的单调区间；

（2）对一切x??0,???， 2f?x??g?x?恒成立，求实数m的取值范围；

?lnxm3， g?x???2?1. xxx2xx2?成立. （3）证明：对一切x??0,???，都有lnx?eex【答案】（1）递增区间是?0,e?，递减区间是?e,???；（2）???,4；（3）见解析

?

（3）问题等价于明. 试题解析：

17

lnx2x2x2x??x，即证F?x???x，令??x???x，根据函数的单调性即可作出证xeeeeee（1）f?x??lnx1?lnx，得f??x??由f??x??0，得0?x?e 2xx∴f?x?的递增区间是?0,e?，递减区间是?e,??? （2）对一切x??0,???， 2f?x??g?x?恒成立， 可化为m?2lnx?x?3对一切x??0,???恒成立. xx2?2x?3?x?3??x?1?323?令h?x??2lnx?x?， h??x??0??1?2? ， ?x?0? 22xxxxx当x??0,1?时， h??x??0，即h?x?在?0,1?递减

当x??1,???时， h??x??0，即h?x?在?1,???递增，∴h?x?min?h?1??4， ∴m?4，即实数m的取值范围是???,4

?2xx2lnx2x2x?x等价于（3）证明： lnx???x，即证F?x???x eexeeee1，（当x?e时取等号） e2xx?1令??x???x，则???x??x，易知??x?在?0,1?递减，在?1,???递增

eee1∴??x????1??（当x?1时取等号）∴f?x????x?对一切x??0,???都成立

e由（1）知f?x??f?e??2xx2?成立. 则对一切x??0,???，都有lnx?eex点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数恒成立问题的求解等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把要证明的结论转化为新函数的性质是解答的关键. 22．【2018陕西西安长安区联考】 已知函数

，曲线

在点

处的切线为

，若

（1）求 （2）求【答案】（1）

的值；

在

时，有极值.

上的最大值和最小值.

（2）最小

，最大13

18

（2）利用导数求出区间小者为最小值；

内的极值与端点处函数值，然后进行大小比较，其中最大者为最大值，最

试题解析：（1）f′（x）=3x+2ax+b，

则f（﹣1）=a﹣b+c﹣1，f′（﹣1）=﹣2a+b+3， 故切线方程是：y=（3﹣2a+b）x+（﹣a+c+2）， 而切线方程是：y=﹣5x+5， 故3﹣2a+b=﹣5，①， a﹣c﹣2=﹣5，②， 若

时，y=f（x）有极值，

+b=0，③，

2

则f′（）=+

由①②③联立方程组，解得：

3

2

；

（2）由（1）f（x）=x+2x﹣4x+5， f′（x）=3x+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2， 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜，

故f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，）递减，在（，2]递减， 由f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=故函数的最小值是f（）=

，

，f（2）=13，

2

最大值是f（2）=f（﹣2）=13．

19

23．【2018豫西南高中联考】已知函数f?x??xlnx?x?a的极小值为0. （1）求实数a的值；

（2）若不等式f?x??b?x?1?对任意x??1,???恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）a?1；（2）?,???

2?1?2??

（1）∵f'?x??lnx，令f'?x??0，解得x?1，

∴f?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增，故f?x?的极小值为f?1???1?a， 由题意有?1?a?0，解得a?1.

（2）由（1）知不等式xlnx?x?1?b?x?1?对任意x??1,???恒成立，∵x?0，∴

2lnx?b?x?1??x?1x2?0在?1,???上恒成立，∵不妨设h?x??lnx?b?x?1??x?1x2， x??1,???，则

h'?x?x?1??bx?b?1????x2.

当b?0时， bx?b?1?0，故h'?x??0，∴h?x?在?1,???上单调递增，从而h?x??h?1??0，∴

h?x??0不成立.当b?0时，令h'?x?x?1??bx?b?1????x2，解得x?111?1，若?1?1，即0?b?，bb2当x??1,?1??1??1?时， h'?x??0， h?x?在?1,?1?上为增函数，故h?x??h?1??0，不合题意；若?b??b?11?1?1，即b?，当x??1,???时， h'?x??0， h?x?在?1,???上为减函数，故h?x??h?1??0，b2符合题意.综上所述， b的取值范围为?,???.

点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最

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?1?2??