【解析】令

，则

在上恒成立，所以，当

时

最大值

点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.

15．【2018贵州黔东南南州联考】若函数f?x??x?e?ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范

2x围为__________．

【解析】由题意， f??x??2x?e?a?0有解，即2x?ex?a有解，令g?x??2x?e， g??x??2?e，

xxx当x?ln2时g??x??0，当x?n所以g?x?max?g?ln2??2ln2?2，故只需a?2ln2?2. l2时g??x??0，三、解答题

16．【2018黑龙江佳木斯一中调研】已知函数f?x??xlnx． （1）求曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （2）求函数g?x??f?x??x?3x的单调区间及极值；

2??（3）对?x?1， f?x??mx2?1成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）y?x?1（2）单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???．极小值为?2，无极大值．（3）

??m?1 2

试题解析：（1）由题意知f?x?的定义域为?0,???且f'?x??lnx?1， f'?1??1， 又∵f?1??0，故切线方程为y?x?1．

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（2）g?x??xlnx?x?3x， g'?x??lnx?1?2x?3?lnx?2?x?1?，

2当0?x?1时，则lnx?0， x?1?0，此时g'?x??0， g?x?在?0,1?上单调递减； 当x?1时，则lnx?0， x?1?0，此时g'?x??0， g?x?在?0,1?上单调递增． 故g?x?的单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???．

当x?1时， f?x?取极小值，且f?x?极小值为?2， f?x?无极大值． （3）对?x?1， xlnx?mx2?1成立，即lnx?m?x?????1??， x?令h?x??lnx?m?x???1???x?1?，则当x?1时， h?x??0恒成立， x?11??mx2?x?m?因为h'?x???m?1?2??， 2xxx??①当m?0时， h'?x??x?mx2?1x2???0， h?x?在?1,???上单调递增，故h?x??h?1??0，

1，此时h'?x??0， 2这与h?x??0恒成立矛盾；

②当m?0时，二次方程?mx2?x?m?0的判别式??1?4m2，令??0，解得m?h?x?在?1,???上单调递减，

故h?x??h?1??0，满足h?x??0恒成立．

1?1?4m21?1?4m212由??0，得0?m?，方程?mx?x?m?0的两根分别是x1?， x2?，

2m2m2其中x1?1， x2?1，

当x??1,x2?时， h'?x??0， h?x?在?1,x2?上单调递增， h?x??h?1??0，这与h?x??0恒成立矛盾． 综上可知： m?1． 2点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数情况分离讨论，分类时要做到不重不漏；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，

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通过两个函数图象确定条件.

17．【2018湖北咸宁联考】已知函数f?x??的导函数为g'?x?. （1）求函数f?x?的极值. （2）若a?e.

（i）求函数g?x?的单调区间；

1213x函数g?x??f?x??e?x?1?，函数g?x?x?ax(a?0)，

23（ii）求证： x?0时，不等式

g'?x?x?1?1?lnx恒成立. x1?1??；（2）（i）函数g?x?的单?2a6a??【答案】（1）f?x?的极小值为f?0??0；函数f?x?的极大值为f?调递增区间是?0,???，单调递减区间是???,0?；（ii）见解析.

?ii?先求出g?x?的导数，构造新函数，通过讨论新函数的单调性，从而证出结论。

解析：（1）∵a?0，∴f'?x??x?ax??ax?x?2??1??， a?∴f'?x??0?x?0，或x?1， a??1??1?,??上； f'x?0?????上f'?x??0.

a?a??1?1??. ?2a6a??∴???,0?上， f'?x??0； ?0,∴f?x?的极小值为f?0??0；函数f?x?的极大值为f?（2）∵a?e，∴g?x??x1213xx?ex?e?x?1?， g'?x??xex?ex?1. 23??（i）记h?x??e?ex?1， h'?x??e?e，

x 11

在???,1?上， h'?x??0， h?x?是减函数；在?1,???上， h'?x??0， h?x?是増函数， ∴h?x??h?1??1?0.

则在?0,???上， g'?x??0；在???,0?上， g'?x??0， 故函数g?x?的单调递增区间是?0,???，单调递减区间是???,0?.

（ii）x?0时，

g'?x?xx?ex?ex?1，

由（i）知， h?x??e?ex?1?1. 记??x??1?lnx?x(x?0)，则?'?x??1?x， x在区间?0,1?上， ?'?x??0， ??x?是增函数；在区间?1,???上， ?'?x??0， ??x?是减函数， ∴??x????1??0，∴1?lnx?x?0，∴

1?lnx?1， x∴ex?ex?1?1?g'?x?1?lnx1?lnx?1?，即成立. xxx点睛：本题利用导数求函数的极值和单调区间，在不等式的证明过程中，需要构造新函数，通过求导，利用单调性搭建“1”为桥梁来证明不等式成立 18．【2018湖南湘东五校联考】已知函数（I）当

时，求

的单调区间和极值； ，都有

，证明：

成立，求k的取值范围；

．

．

（II）若对于任意(Ⅲ)若

，且

【答案】（I）极小值为，无极大值；（II）；（3）见解析.

（3）设

，则，要证，只要证，即证，由此利用

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