习题2

2.1 选择题

(1) 一质点作匀速率圆周运动时，

(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

[答案：C]

(2) 质点系的内力可以改变

(A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。

[答案：C]

(3) 对功的概念有以下几种说法：

①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中：

(A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。

[答案：C]

2.2填空题

??(1) 某质点在力F?(4?5x)i（SI）的作用下沿x轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m

?的过程中，力F所做功为 。

[答案：290J]

(2) 质量为m的物体在水平面上作直线运动，当速度为v时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。

v2;[答案：2sv2] 2gs

(3) 在光滑的水平面内有两个物体A和B，已知mA=2mB。（a）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。

[答案：Ek;2Ek] 3

2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点：

（1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；

（2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反； （3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力；

（4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。

2.4 举例说明以下两种说法是不正确的：

（1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同；

（2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。

2.5质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？

解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。

2.6在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？

解：在经典力学中，动量、动能、势能、功与参考系的选取有关。

2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a?，故m2对地加速度，

题2.7图

由图(b)可知，为 a2?a1?a? ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有

m1g?T?m1a1 ②

T?m2g?m2a2 ③ 联立①、②、③式，得

(m1?m2)g?m2a?m1?m2(m1?m2)g?m1a? a2?m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2a1?讨论 (1)若a??0，则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．

(2)若a??2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．

2.8 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如题2.8图.

?

题2.8图

X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②

t?0时 y?0 vy?0

y?由①、②式消去t，得

1gsin?t2 2y?12gsin??x 22v0

2.9 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s，vy＝0．求当t＝2 s时质点的(1)位矢；(2)

-1

解： ax?fx63??m?s?2 m168fym??7m?s?2 16ay?(1)

235vx'?vx??axdt??2??2??m?s?1084

2?77vy'?vy??aydt??2??m?s?10168于是质点在2s时的速度

5?7??v??i?j48(2)

m?s?1

11r?(vxt?axt2)i?ayt2j22131?7?(?2?2???4)i?()?4j

28216137??i?jm48

2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ek?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为

?()tmv0mx＝()［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0()；(4)当t?mk时速度减

kk至v0的

1，式中m为质点的质量． e?kvdv ?mdt答: (1)∵ a?分离变量，得

dv?kdt ?vmvdvt?kdt即 ? ??v0v0mv?ktln?lnem v0∴ v?v0e(2) x?vdt?k?mt

??ve00tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)

k(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有 x????0v0ek?mtdt?mv0 k (4)当t=

m时，其速度为 kv?v0ekm?m?k?v0e?1?v0 e即速度减至v0的

1. e?2.11 一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2.11图

题2.11图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为

o????p?mv?mv0

由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．

2.12 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量

?????p?mv2?mv1方向竖直向上，

大小 ?p?mv2?(?mv1)?mg

碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，

????6jm·s-1的物体,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度

回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，

00????p1?1?v1??5.6m?si m???I1??p1?56kg?m?s?1i若物体原来具有?6m?s初速，则

?1?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是

0m0t??????p2?p?p0??Fdt??p1,

0同理， ?v2??v1,I2?I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

????I??(10?2t)dt?10t?t2

0t亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)

2.14 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为

2???r?acos?ti?bsin?tj

求质点的动量及t＝0 到t?解: 质点的动量为

?2?

????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)

将t?0和t??分别代入上式，得 2?????p1?m?bj,p2??m?ai ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)

2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

?1F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

F?(a?bt)?0,得t?(2)子弹所受的冲量

ta b1I??(a?bt)dt?at?bt2

02将t?a代入，得 ba2I?

2b(3)由动量定理可求得子弹的质量

Ia2 m??v02bv0

2.16 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证

v+

2kT2T, v-

mkm证明: 设一块为m1，则另一块为m2，

m1?km2及m1?m2?m

于是得 m1?kmm ① ,m2?k?1k?1又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有

T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222 mv?m1v1?m2v2 ③ 联立①、③解得

v2?(k?1)v?kv1 ④

将④代入②，并整理得

2T?(v1?v)2 km于是有 v1?v?将其代入④式，有

2T kmv2?v?2kT m又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

v1?v?证毕．

2T2kT,v2?v? kmm????????2.17 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作

的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

解: (1)由题知，F合为恒力，

????????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)

??21?24??45J (2) P?A45??75w ?t0.6(3)由动能定理，?Ek?A??45J

2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击

题2.18图

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2.18图，则铁钉所受阻力为

f??ky

第一锤外力的功为A1

A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有

A2??kydy?1y212kky2? ② 22由题意，有

1kA2?A1??(mv2)? ③

2212kk即 ky2??

222所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为

2

?y?y2?y1?2?1?0.414cm

2.19 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)??k/r, 试

n求质点所受保守力的大小和方向． 解: F(r)??dEp(r)dr??nk rn?1方向与位矢r的方向相反，方向指向力心．

2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．

?

题2.20图

解: 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有

FA?FB?Mg

又 FA?k1?x1

FB?k2?x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1k2? ?x2k1弹性势能之比为

Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x22

2.21 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10

24

kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月

822

球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有

6

G经整理，得

mM月r2?GmM地?R?r?2

r?M月M地?M月R

=

7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108

?38.32?10m 则P点处至月球表面的距离为

h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m

(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为

EP??GM月r?GM地

?R?r?7.35?10225.98?1024?11 ??6.67?10??6.67?10?77?38.4?3.83??103.83?1011?1.28?106J

2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与

-1

斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数

和物体最后能回到的高度．

题2.22图

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

?frs?12?1?kx??mv02?mgssin37?? 2?2?1mv02?mgssin37??frs k?212x2式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得

k?1450N?m-1

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?

1?frs??mgs?sin37o?kx2

2代入有关数据，得 s??1.45m,

则木块弹回高度

h??s?sin37o?0.87m

2.23 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

题2.23图

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

121mv?MV2 22又下滑过程，动量守恒，以m、M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有

mv?MV?0

mgR?联立以上两式，得

v?2MgR

m?M

2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向

证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

121212mv0?mv1?mv2 222222即 v0?v1?v2 ①

题2.24图(a) 题2.24图(b)

又碰撞过程中，动量守恒，即有

???mv0?mv1?mv2

亦即 v0?v1?v2 ②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．

??????