泛函分析 证明题（40个）
1、设X是一个度量空间，{xn}?X，证明：若当n??时，xn?x且xn?y，则x?y。
2、设X,Y是两个赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y中的线性算子。证明：若T在D(T)中某一点x0处连续，则T在D(T)上连续。
3、设M?{en}是H空间X上的可列规范正交系，?x?X，令Ck?x,ek，（k?N），证明：?Ckek收敛的充要条件是?Ck2收敛。
???k?1k?14、设T1,T2是H空间X上的两个自伴算子。证明：T1T2为自伴算子的充要条件为：
T1T2?T2T1。
5、设X是线性空间，?是一个给定的数，?x?X，令Tx??x，证明：T是线性算子。 6、设X?C[a,b]，?x(t),y(t)?X，令d(x,y)?maxx(t)?y(t)，证明：(X,d)是
a?t?b一个度量空间。
7、设X是一个内积空间，且?x?X，令x?x?y2x,x，证明：?x,y?X，成立
2?x?y2?2(x?y)
28、设X?C[a,b]，k(s,t)是定义在[a,b]?[a,b]上的二元连续函数，?x(t)?X，令(Tx)(t)??k(s,t)x(t)dt，证明：T是有界线性算子。
ab9、设M?{en}是内积空间X的一个规范正交系，?x?X，令Cn?x,en。证明：若将x展开成级数??nen（其中?n是数）时，只有当?n?Cn时，x???nCnn?1??n?1取最小值。
10、 设T为复H空间X上的有界线性算子。证明：若T为自伴算子，那么
?x?X，(Tx,x)?R，其中R为实数集。
11、 设X?[a,b]，(a?0?b)，?x,y?X，令d(x,y)?x?y，证明：(X,d)是可分度量空间。
1
12、
设X?C[a,b]，?x(t)?X，令(Tx)(t)??x(t)dt，证明：T是连续线性算
ab子。 13、 14、 15、
设X是任一n维线性空间，证明：X与Rn线性同构。 设X是一个内积空间，证明：?x,y?X，有x,y2?x,y?y,y。
设T为复H空间X上的有界线性算子，且?x?X，Tx,x是实数，证明：
T是自伴算子。
16、 设(X,d)是一个度量空间，?x,y?X，令?(x,y)?d(x,y)，证明：
1?d(x,y)(X,?)也是X上的一个度量空间。
17、 设X?R，?x,y?X，d(x,y)?x?y，且有Tx?1x，证明：存在唯一2的x*?X，使Tx*?x*。 18、 19、 20、
设M是内积空间X的闭线性子空间，且M?X，证明：M?中必有非零元素。
n在线性空间R中，?x?(x1,x2,L,xn)，令x?maxxk，证明：(Rn,?)是一
1?k?n个赋范线性空间。
设T为复内积空间X上的有界线性算子，证明：T?0的充要条件是?x?X成
立Tx,x?0。 21、
设X是一个度量空间，且xn?x，xn?y{xn},{yn}是X中的两个点列，
（n??），证明：d(xn,yn)?d(x,y),(n??)。 22、
设X?C[a,b]，?x(t)?X，令(Tx)(t)?tx(t)，证明：T是X上的线性算
子。 23、
设X是一个赋范线性空间，令N(f)?{x|x?X,f(x)?0}，证明：若f在
X上连续，则N(f)是一个闭集。
24、 25、
?x,y?X，设X是一个内积空间，证明：若x?y，则x?y2?x?y。
22设T为复H空间X上的有界线性算子，证明：T为正常算子的充要条件
为?x?X，成立T*x?Tx。 26、
设X是一个度量空间，{xn}是X中的任一收敛点列，证明：{xn}为X中
2
的有界点列。 27、
设X是度量空间，A,B?X，且B在A中稠密，证明：?x?A, 以及
?? ?0，?y?B，使d(x,y)??。
28、
设X?C[a,b]，?x(t)?X，令(Tx)(t)??x(t)dt，证明：T是X到R1中
ab的一个连续映射。 29、
设X是一个赋范线性空间，?x,y?X，令d(x,y)?x?y，证明：(X,d)是一个度量空间。 30、
T?T*T?T*设T是复H空间X上的有界线性算子，令A?，B?，证
22i明：A,B均为X上的自伴算子。 31、
设X是一个度量空间，{xn}是X中的一个收敛点列，证明：{xn}是一个
柯西点列。 32、
在线性空间C[a,b]中，?x(t)?C[a,b]，令x(t)?maxx(t)，证明：
a?t?b(C[a,b],?)是一个赋范线性空间。 33、
设X,Y是两个赋范线性空间，A,B?B(X?Y)，证明：A?B是有界算
子。 34、
设X是一个n维内积空间，M?{e1,e2,L,en}是X的一个正交系，证明：
M是X的一个线性无关子集。
35、 设T是复H空间X上的有界线性算子，T?A?iB是T的笛卡尔分解，证明：T为正常算子的充要条件是AB?BA。
36、
设B是度量空间X中的闭集，证明：有一列开集{An}满足An?B，
?(n?1,2,L)，且有IAn?B。
n?137、
设X?C[a,b]，?x(t)?C[a,b]，令(Dx)(t)?d(x(t))，证明：D是线性dt算子。
38、
设T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，
证明：?x?D(T)，Tx?Tx。
39、
设X是实线性空间，?x?X，令x?x,x，证明：?x,y?X，
3
x?y?x?y。
40、
设u,v是H空间X上的两个酉算子，证明：uv也是酉算子。
34、设u,v是希尔伯特空间
X的两个酉算子，那么?x?X,ux? ；当X?{0}时，u? ；u?1是 算子；uv是 算子。
35、设X是赋范线性空间，①
p(x)是定义在X上的泛函，若满足
，
p(?x)? x?X,?为数；②p(x?y)? x,y?Xp(x)为定义在X的次线性泛函。
则称
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