注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 2017-2018学年北京市朝阳区高二第二学期期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项 1．（5分）在复平面内， 复数A．第一象限

对应的点位于（ ）

C．第三象限

D．第四象限 ）＝（ ） D．﹣1

B．第二象限

2．（5分）已知f'（x）是（x）的导函数， f（x）＝sin2x， 则f′（A．﹣2

B．2

C．0

3．（5分）在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为A．

x+y﹣3＝0

B．

＝3， 则直线l的直角坐标方程为（ ）

x+y﹣6＝0

C．x+

y﹣3＝0

D．x+

y﹣6＝0

4．（5分）曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图象的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

5．（5分）“a＝3是“复数z＝（a2﹣9）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6．（5分）甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛甲能获得一等奖的概率是， 乙能获得一等奖的概率是， 甲乙两人是否获得一等奖互不影响， 则甲乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示， 则该函数可能是（ ）

A．y＝

B．y＝ C．y＝ D．y＝

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8．（5分）若从0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数， 则这样的三位数一共有（ ） A．20个

B．48个

C．52个

D．120个

9．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*）”时， 由假设n＝k（k＞1，

k∈N“）不等式成立， 推证n＝k+1不等式成立时， 不等式左边应增加的项数是（ ） A．2k1

﹣

B．2k﹣1 C．2k D．2k+1

10．（5分）某市在今年高中学生足球联赛分组中， 通过抽签方式， 把甲、乙丙、丁四支队伍分到编号为1， 2， 3， 4的四个小组中作为种子队（每组有且只有一个种子队）．A， B， C， D四位学生进行如下预测：

A预测：乙队在第1小组， 丙队在第3小组； B预测：乙队在第2小组， 丁队在第3小组； C预测：丁队在第4小组， 丙队在第2小组； D预测：甲队在第4小组， 丙队在第3小组．

如果A， B， C， D四位学生每人的预测都只对了一半， 那么在第3小组和第4小组的种子队分别是（ ）

A．“丁在第3小组， 丙在第4小组”或“甲在第3小组， 丁在第4小组 B．“丙在第3小组， 丁在第4小组或“甲在第3小组， 丁在第4小组

C．“丁在第3小组， 丙在第4小组”或“丁在第3小组， 甲在第4小组” D．“丙在第3小组， 丁在第4小组”或“丁在第3小组， 甲在第4小组 二、填空题本大题共6小题每小题5分共30分答案写在题卡上 11．（5分）二项式（x﹣

）6展开式中的常数项是 ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中， 圆C的参数方程为（θ为参数， r

＞0）， 直线l的方程为x﹣y﹣3＝0， 若直线l与圆C相切， 则r＝ ． 13．（5分）袋中有大小相同、质量相等的3个白球和2个黑球， 若每次抽取1个球， 有放回地连续抽取3次， 则恰有1次取到黑球的概率为 ；取到黑球的个数X的数学期望 ．

14．（5分）今年某校在安排高一年级期末考试时， 规定：语文、数学、英语、政治为必考科目， 物理、化学、生物、历史、地理为选考科目， 每名学生需从选考科目中选择3个科目参加考试．小明同学决定在生物、历史、地理3个学科中至多选择2个学科， 那

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么小明同学期末考试的选考方案有 种．（用数字作答）

15．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1恰有两个零点， 则实数a的取值范围是 ． 16．（5分）设函数f（x）＝

， 若a＝0， 则f（x）的最大值为 ；

若关于x的不等式f（x）＞4a在实数集R上有解， 则实数a的取值范围是 ． 三、解备题：本大题共3小题， 共40分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步■ 17．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x﹣1）ex．

（I）求曲线y＝f（x）在点（1， f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的极值．

18．（14分）某区为检测各校学生的体质健康状况， 依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试．参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取本次测试要求每校派出30人， 其中男女学生各15人， 参加八个项目的测试．八项测试的平均分为该学生的综合成绩满分为100分．测试按照分数给学生综合成绩定等级， 分数在[90， 100]内为“优秀”， [80， 90）为“良好”， [60， 80）为“及格”， [0， 60）为“不及格”如表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据： 男生 女生

98 97

92 99

92 96

91 93

90 92

90 91

88 90

87 87

87 85

85 81

82 80

79 77

77 76

67 76

57 48

（I）分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率；

（Ⅱ）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控， 若X表示抽取3人中的女生人数．求X的分布列及其数学期望；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下， 当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩．

19．（14分）设函数f（x）＝xlnx﹣x2+（a﹣1）x（a∈R）， f′（x）是f（x）的导函数． （Ⅰ）令g（x）＝f′（x）， 求g（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）在其定义域内为减函数， 求a的取值集合； （Ⅲ）若f（x）在x＝1处取得最大值， 求a的取值范围．

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2017-2018学年北京市朝阳区高二第二学期期末数学试

卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项

1．【考点】A5：复数的运算．

【解答】解：在复平面内， 复数第四象限． 故选：D．

＝＝1﹣i对应的点（1， ﹣1）位于

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．

2．【考点】63：导数的运算．

【解答】解：f′（x）＝2cos2x， ∴f′（

）＝2cosπ＝﹣2，

故选：A．

【点评】本题考查了复合函数的求导公式， 属于基础题． 3．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【解答】解：∵直线l的极坐标方程为∴

∴直线l的直角坐标方程为故选：B．

，

．

＝3，

【点评】本题考查直线的直角坐标方程的求法， 考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想， 是基础题． 4．【考点】69：定积分的应用．

【解答】解：曲线y＝x2 与直线y＝x 所围成的封闭图形的面积为﹣x3）

＝﹣＝；

（x﹣x2）dx＝（x2

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