第二章
思考题
1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。
?t??q＝－?gradt???n?x，其中：gradt为空间某点的温答：傅立叶定律的一般形式为：
??qn度梯度；是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；为该处的热流
密度矢量。
2 已知导热物体中某点在x,y,z三个方向上的热流密度分别为qx,qy及qz，如何获得该点的
热密度矢量？
???????q?q?i?q?j?q?kxyz答：，其中i,j,k分别为三个方向的单位矢量量。
3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。
答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：① 第一类边界条件：??0时，tw?f1(?)
② 第二类边界条件：
??0时??(??(?t)w?f2(?)?x
③ 第三类边界条件：
5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。
答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。
7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。
6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？
答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。
9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。
答：错误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值，不会因为高度的增加而发生变化。
10 在式（2-57）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。 答：由于式（2-57）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿x方向和y方向的数值相等并为常数。
11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均与温度为tf的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗？ 答：能，因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对称分布。 习题
?t)w?h(tw?tf)?x
平板
2-1 用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为111℃，热流密度为42400W/m。使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm的水垢。假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值，试计算水垢与金属锅底接触面的温度。水垢的导热系数取为1W/(m.K)。 解：由题意得
2q?＝ 所以t=238.2℃
2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为0.794mm.,152mm及9.5mm，导热系数分别为45W/(m.K),0. 07W/(m.K)及0.1W/(m.K)。冷藏室的有效换热面积为37.2m，室内外气温分别为-2℃及30℃，室内外壁面的表面传热系数可分别按1.5W/(m.K)及2.5W/(m.K)计算。为维持冷藏室温度恒定，试确定冷藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。 解：由题意得
222tw?111?424000.0031w/m2
??A?
＝357.14W
357.14×3600＝1285.6KJ
30?(?2)?37.211?1?2?3110.0007940.1520.0095????????h1h2?1?2?3＝1.52.5450.070.1
t1?t22-3有一厚为20mm的平板墙，导热系数为1.3W/(m.K)。为使每平方米墙的热损失不超过1500W,在外表面上覆盖了一层导热系数为0.12W/(m.K)的保温材料。已知复合壁两侧的温
度分别为750℃及55℃，试确定此时保温层的厚度。 解：依据题意，有
q?t1?t2?1?2??1?2?750?55?1500?0.020?21.30.12m ，解得：?2?0.053752-4 一烘箱的炉门由两种保温材料A及B组成，且?A?2?B(见附图)。已知
?A?0.1W/(m.K),?B?0.06W/(m.K),烘箱内空气温度tf1?400℃，内壁面的总表面传
热系数h1?50W/(m.K)。为安全起见，希望烘箱炉门的 外表面温度不得高于50℃。设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度tf2?25℃，外表面总传热系数h2?9.5W/(m.K)。
2q?解：热损失为
tf1?tfw?A?B??A?B?h1?tf1?t??h2?t?tf2?
又tfw?50℃；?A??B
联立得?A?0.078m;?B?0.039m
2-5 对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？
解：两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。 平壁导热
2-6一火箭发动机燃烧室是直径为130mm的圆筒体，厚2.1mm，导热系数为23.2W/(m·K)。圆筒壁外用液体冷却，外壁温度为240℃。测得圆筒体的热流密度为4.8×106W/㎡，其材料的最高允许温度为700℃。试判断该燃烧室壁面是否工作于安全温度范围内？ 解：
2-7如附图所示的不锈钢平底锅置于电器灶具上被加热，灶具的功率为1000W，其中85％用于加热平底锅。锅底厚δ=3㎜，平底部分直径d=200㎜，不锈刚的导热系数λ=18W/（m·K），锅内汤料与锅底的对流传热表面传热系数为2500W/（㎡·K），流体平均温度tf=95℃。试列出锅底导热的数学描写，并计算锅底两表面的温度。 解：
2-8一种用比较法测定导热系数装置的原理示于附图中。将导热系数已知的标准材料与被测材料做成相同直径的圆柱，且标准材料的两段圆柱分别压紧置于被测材料的两端。在三段试样上分别布置三对测定相等间距两点间温差的热电偶。试样的四周绝热良好（图中未示出）。已知试样两端的温度分别为th=400℃、tc=300℃、Δtr=2.49℃，Δtt,1=3.56℃、Δtt,2=3.60℃，试确定被测材料的导热系数，并讨论哪些因素会影响Δtt,1与Δtt,2不相等？ 解：
2-9 双层玻璃窗系由两层厚为6mm的玻璃及其间的空气隙所组成，空气隙厚度为8mm。假设面向室内的玻璃表面温度与室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定该双层玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变，其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为60cm?60cm。不考虑空气间隙中的自然对流。玻璃的导热系数为0.78W/(m.K)。
q1?解：
t1?t2?1?2?3???1?2?3＝116.53W/m2q2?t1?t2?1?1?5200w/m
?Q?Aq?41.95W
q25200??44.62 所以 q1116.53
2-10某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户，如附图所示。已知玻璃厚δg=3㎜，空气夹层宽δ
。玻璃面向室内的表面温度ti=15℃，面向室外air=6㎜，玻璃的导热系数λg=0.8W/（m·K）
的表面温度to=-10℃，试计算通过三层玻璃窗导热的热流密度。 解：
2-11提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。为了是发动机的叶片能承受更高的温度而不至于损坏，叶片均用耐高温的合金制成，同时还提出了在叶片与高温燃气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法，如附图所示，叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷却。陶瓷层的导热系数为1.3W/（m·K），耐高温合金能承受的最高温度为1250K，其导热系数为25W/(m·K)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻为10-4㎡·K/W。如果燃气的平均温度为1700K，与陶瓷层的表面传热系数为1000W/(㎡·K)，冷却空气的平均温度为400K，与内壁间的表面传热系数为500W/(㎡·K)，试分析此时耐高温合金是否可以安全地工作？ 解：
2-12 在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40W/(m.K)。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板的另一面维持在温度t1?30℃。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度t0?60℃，试
2W/(m.K),基板的导热系数确定辐射热流密度q应为多大？薄膜的导热系数?f?0.02?s?0.06W/(m.K)。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对60℃的热
辐射是不透明的。 解：根据公式q?K?t得
q?2-13 在附图所示的平板导热系数测定装置中，试件厚度?远小于直径d。由于安装制造不好，试件与冷热表面之间平均存在着一层厚为??0.1mm的空气隙。设热表面温度
60?30?60?30?1800W/m20.0010.06
12q???60?20???1142.8W/m10.2?10?3?400.02
qZ?q?q??2942.8W/m2
t1?180℃，冷表面温度t2?30℃，空气隙的导热系数可分别按t1,t2查取。试计算空气隙
的存在给导热系数测定带来的误差。通过空气隙的辐射换热可以略而不计。
?2解：查附表8得t1?180℃，?1?3.72?10W/(m.K); ?2 t2?30℃，?2?2.67?10W/(m.K);
??无空气时
t1?t2??f180?30?d2A???4?f
?有空气隙时
??0.029315??f?34.32??f
t1?t2???1?2????1?2??fA
???43.98? f得
?f???f?28.1%?f所以相对误差为
圆筒体
2-14 外径为100mm的蒸气管道，覆盖密度为20kg/m的超细玻璃棉毡保温。已知蒸气管道外壁温度为400℃，希望保温层外表面温度不超过50℃。且每米长管道上散热量小于163W，试确定所需的保温层厚度。 解：保温材料的平均温度为
3400?50?2252t=℃
t?0.08475W/(m.K) 由附录7查得导热系数为??0.033?0.0023?lnd12???t1?t2??d2?l
代入数据得到 d2＝0.314mm 所以
??d2?d1?107mm2
2-15 外径为50mm的蒸气管道外，包覆有厚为40mm平均导热系数为0.11W/(m.K)的煤灰
泡沫砖。绝热层外表面温度为50℃，试检查矿棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过允许值？又。增加煤灰泡沫砖的厚度对热损失及交界面处的温度有什么影响？蒸气管道的表面温度取为400℃。
解：由题意多层蒸气管总热流量
?Z?2?l?t1?t2?ln?d1d2?/?1?ln?d3d2?/?2
W 代入数据得到 ?Z?168.25由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为300℃ 由此设在300℃时
2?l?t1?t2???1??72.33Wln?d1d2?/?12?l?t1?t2???2??358.29Wln?d3d2?/?2???????z 12因为
所以不会超过允许温度。当增加煤灰泡沫砖的厚度会使热损失增加，从而边界面处温度下降。
?32-16 一根直径为3mm的铜导线，每米长的电阻为2.22?10?。导线外包有厚为1mm导
热系数为0.15W/(m.K)的绝缘层。限定绝缘层的最高温度为65℃，最低温度为0℃。试确定在这种条件下导线中允许通过的最大电流。
Q?2?l?q?解：根据题意有：
22??l(t1?t2)2??1?0.15?65?0???119.8Wln(r2/r1)ln?2.5/1.5?
119.86?IR
解得：I?232.36A
2-17 一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发受热面管壁受到温度为1000℃的烟气加热，管内沸水温度为200℃，烟气与受热面管子外壁间的复合换热表面传热系数为100W/(m.K)，沸水与内壁间的表面传热系数为5000W/(m.K)，管壁厚6mm，管壁??42W/(m.K)，外径为52mm。试计算下列三种情况下受热面单位长度上的热负荷： （1） 换热表面是干净的；
（2） 外表面结了一层厚为1mm的烟灰，其??0.08W/(m.K)； （3） 内表面上有一层厚为2mm的水垢，其??1W/(m.K)。 解：⑴
22??2?l(t1?t2)2??1?1000?200???12532.98Wln(r2/r1)1ln?52/40?111????5000?0.02420.026?100r1h1?1h2r2
??2?l(t1?t2)ln(r0/r2)ln(r2/r1)11???h1r0?0?1h2r2?⑵
⑶
2??1?1000?200??5852.94W1ln?54/52?ln?52/40?1???0.02?50000.08420.027?100
??2?l(t1?t2)ln(r0/r2)ln(r2/r1)ln?r1/ri?11????h1r0?0?1?ih2ri?2??1?1000?200??5207.06W1ln?54/52?ln?52/40?ln?40/36?1????5000?0.0180.08421100?0.027
2-18 在一根外径为100mm的热力管道外拟包覆两层绝热材料，一种材料的导热系数为
0.06W/(m.K)，另一种为0.12W/(m.K)，两种材料的厚度都取为75mm，试比较把导热系
数小的材料紧贴管壁，及把导热系数大的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响，这种影响影响对于平壁的情形是否存在？假设在两种做法中，绝热层内外表面的总温差保持不变。
解：将导热系数小的材料紧贴壁管
??将导热系数大的材料紧贴壁管则
t1?t22?l?t1?t2??19.19?50?75??50?75?75?ln??ln???50???50?75?2?l?12??2l 2?l?t1?t2?2?l?t1?t2??ln2.5ln1.615.47????
故导热系数大的材料紧贴管壁其保温效果好。
?2?1q?若为平壁，则平壁
t1?t2?1?2??1?2
由于???1??2所以不存在此问题。 2-19 一直径为30mm，壁温为100℃的管子向温度为20℃的环境放热，热损失率为100W/m。为把热损失减少到50W/m，有两种材料可以同时被应用。材料A的导热系数为
?330.5W/(m.K)，可利用度为3.14?10m/m；材料B的导热系数为0.1W/(m.K)，可利
用度为4.0?10m/m。试分析如何敷设这两种材料才能达到上述要求。假设敷设这两种材料后，外表面与环境间的表面传热系数与原来一样。 解：根据题意有：
?33??1?h(100?20)?100，解得 h＝13.2696 ??2?rlh(t1?t2)?0.03按题意有：将导热系数大的放在内侧， ?(r12?0.0152)?3.14?10?3
解方程组得：
r1?0.035m，?(r22?r12)?4?10?3r2?0.049m
???? ②
2??100?20??76.1ln?0.035/0.015?ln?0.049/0.035?1??0.50.113.26?0.049
2?l?t1?t2?ln?r1/r0?ln?r2/r1?1???1?2hr2?(r12?0.0152)?4?10?3
r2?0.049
???r1?0.03871m，?(r22?r12)?3.14?10?3
2??100?20??43.72?ln?0.03871/0.015?ln?0.049/0.038711??0.10.513.26?0.049
2-20 一直径为d长为l的圆杆，两端分别与温度为t1及t2的表面接触，杆的导热系数?为?常数。试对下列两种情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求解之： 杆的侧面是绝热的；
杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，平均表面传热系数为h，流体温度
2?l?t1?t2?ln?r1/r0?ln?r2/r1?1???1?2hr2tf小于t1及t2。
解：①
?1????t?d?????x4， 22?(t??tdx)2?d?x?x4，在侧面绝热时，有?1??2得微分
?2t?02x?l,t?t2 方程为：?x，边界条件为：x?0,t?t1t?tt?21x?t1l解微分方程得：
?3??ddxh(t?tf)?1??2??3②
，根据条件有：
?2t4h?(t?tf)?02d?得微分方程为：?x，边界条件为：x?0,t?t1f解微分方程得：
代入边界条件得：
x?l,t?t2
t?t?C1e(2h)xd??C2e?(2h)xd?
2hl?dt?tf?(t2?tf)?(t1?tf)eeh2l?d?2hl?d
2-21 一直径为20mm,长300mm的钢柱体，两端分别与温度为250℃及60℃的两个热源相接。柱体表面向温度为30℃的环境散热，表面传热系数为10W/(m.K)。试计算该钢柱体在单位时间内从两个热源所获得的热量。钢柱体的??40W/(m.K)。 解：根据上题结果得：
2?eh?2l?deh2x?d?e(t1?tf)?(t2?tf)h2l?de?eh?2l?de?2hx?d?t2－tf??(t1?tf)e?mlmxeml?t1?tf???t2?tf??mx?t?m[e?e]ml?mlml?mle?ee?e ?x h10m?22?7.07?d＝40?0.02其中：
ml?2.12m
＝－1549.1
?t(60?30)?(250?30)?e?2.12e2.12(250?30)?(60?30)|x?0?7.07?[?2.12?2.12?xe?ee2.12?e?2.12
=-162.89
?t?d2?d2Q0?????40?(?1549.1)?19.46Wdx44
?mlml?t2－tf??(t1?tf)emle?t1?tf???t2?tf??ml?t|x?l?m[e?e]ml?mlml?ml?xe?ee?e
?2.122.12?t(60?30)?(250?30)?ee(250?30)?(60?30)?2.122.12|x?l?7.07?[e－e2.12?2.122.12?2.12?xe?ee?e Qx?l??40?(－162.89)?d24?2.05W
球壳
2-22 一个储液氨的容器近似的看成为内径为300mm的圆球。球外包有厚为30mm的多层结
?41.8?10W/(m.K)，球内液氨的温构的隔热材料。隔热材料沿半径方向的当量导热系数为
度为-195.6℃，室温为25℃，液氨的相变热为199.6kJ/kg。试估算在上述条件下液氨每天的
蒸发量。
〔25?(?195.6)〕??1.8?10?4?4???0.822W11－0.150.165解：
0.822?24?3600m??0.3562Kg199.6?1000
2-23 有一批置于室外的液化石油气储罐，直径为2m，通过使制冷剂流经罐外厚为1cm的
夹层来维持罐内的温度为-40℃。夹层外厚为30cm的保温层，保温材料的导热系数为0.1
W/(m.K)。在夏天的恶劣条件下，环境温度为40℃，保温层外表面与环境间的复合换热表
2W/(m.K)。试确定为维持液化气-40℃的温度，对10个球罐所必须配面传热系数可达30
备的制冷设备的容量。罐及夹层钢板的壁厚可略略而不计。
??解：一个球罐热流量为
?t1?t2?R
1111111?)??(?)??0.178524??rr4??0.11.011.330?4?h?4?r122
40?(?40)???448.168W0.1785
所以10个球罐热流量为???10??4481.68W
R?(2-24 颗粒状散料的表面导热系数常用圆球导热仪来测定。如附图所示内球内安置有一电加热器，被测材料安装在内外球壳间的夹套中，外球外有一水夹层，其中通以进口温度恒定的 冷却水。用热电偶测定内球外壁及外球内壁的平均温度。在一次实验中测得以下数据：
1di?0.15m;d0?0.25m,tt?200℃，t0?40℃，电加热功率P=56.5W。试确定此颗粒材
料的表观导热系数。 如果由于偶然的事故，测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏，但又急于要获得该颗粒表观导热系数的近似值，试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。球壳内用铝制成，其厚度约为3～4mm。
〔200?40〕?4???56.5W11－0.150.25解：根据题意：
解得：?＝0.07W/(m.K)
????如果电偶损坏，可近似测量水的出入口温度，取其平均值代替球外壳温度计算。
2-25 内外径各为0.5m及0.6m的球罐，其中装满了具有一定放射性的化学废料，其容积发
253W/(m.K),流体温??10W/m热率为。该罐被置于水流中冷却，表面传热系数h=1000
度f℃。试：（1）确定球罐的外表面温度；（2）确定球罐的内表面温度。球罐用铬镍
钢钢板制成。
t?25V?解：球罐的体积为：
434?r??3.14?0.253?0.06541633
?105?6541.67W 总发热热流为：??0.0654162??4?rh(t?25)?6541.67 球的外表温度：
解得：t＝30.78℃
〔t?30.78〕??15.2??4???6541.67W11－0.250.3解得t＝53.62℃
2-26 附图所示储罐用厚为20mm的塑料制成，其导热系数??1.5W/(m.K)，储罐内装满工业用油，油中安置了一电热器，使罐的内表面温度维持在400K。该储罐置于25℃的空
2W/(m.K)。r0?0.5m,l?2.0m。试确定所需的电加热功率。 气中，表面传热系数为10
2-27 人的眼睛在完成生物功能过程中生成的热量要 通过角膜散到周围环境中，其散热条件与是否带有隐性眼镜片有关，如附图所示，设角膜及隐性镜片均呈球状，且两者间接触良好，无接触热阻。角膜及镜片所张的中心角占了三分之一的球体。试确定在下列条件下不戴镜片及戴镜片时通过角膜的散热量：r1=10mm，r2=12.5mm，3=16.3mm，fi＝37℃
rttf0?20℃，
hi＝12W/(m2.K)，h0＝6W/(m2.K)，?1＝0.35 W/(m.K)，?2＝0.8 W/(m.K)。
R?解：不戴镜片
111?11???????hiAihoAo4??1?r1r2??
?t?0.109WR所以 1???o?0.0363W3有效热量
?o?R?戴镜片时所以
111?11?1???????hiAihoAo4??1??r1r2?4??2?11???r?r??3? ?2?o??t?0.108WR
1???o?0.036W3即散热量为
2-28 一储存液态气体的球形罐由薄金属板制成，直径为1.22m，其外包覆有厚为0.45m，导热系数为0.043W/(m.K)的软木保温层。液态气体温度为-62.2℃，与金属壳体间换热的表
2W/(m.K)。由于软木保温层的密闭性不好，大气中的水蒸气浸入软木层，面传热系数为21
并在一定深度范围内冻结成了冰。假设软木保温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的
影响，试确定软木保温层中冰层的深度。球形罐金属壳体的热阻可不计。在 实际运行中，因保温层的密闭性不好而在软木保温层中出现的水和冰，对球形罐的保温性能有何影响？ 2-29 在一电子器件中有一晶体管可视为半径为0.1mm的半球热源，如附图所示。该晶体管被置于一块很大的硅基板中。硅基板一侧绝热，其余各面的温度均为t?。硅基板导热系数
??120W/(m.K)。试导出硅基板中温度分布的表达式，并计算当晶体管发热量为??4W
时晶体管表面的温度值。
提示：相对于0.1mm这样小的半径，硅基板的外表面可以视为半径趋于无穷大的球壳表面。 变截面变导热系数问题
2-30 一高为30cm的铝制圆台形锥台，顶面直径为8.2cm，底面直径为13cm.。底面及顶面温度各自均匀，并分别为520℃及20℃，锥台侧面绝热。试确定通过该锥形台的导热量。铝的导热系数为100W/(m.K)。
???A(x)?解：根据傅利叶导热公式得
dtdx
x0x?30?06.5得x0?51.23 因为：4.1x0?dx6.5?4.1?rx30 得rx?0.41?0.082dx
代入数据积分得??1397W
2-31 试比较附图所示的三种一维导热问题的热流量大小：凸面锥台，圆柱，凹面锥台。比较的条件是d1,t1,t2及导热系数均相同。三种形状物体的直径与x轴的关系可统一为
d?axn，其中a及n值如下：
凸面锥台 柱体 凹面锥台
a 0.506m 0.08m 20.24m n 0.5 0.0 1.5
1/2?1/2
x1?25mm,x2?125mm。
??解：对于变截面导热 凸面锥台 柱体
??t1?t2??x2x1dxAx
?x2x1x2?x1dxx28n?4x2n?1dx?320m?22?AX＝x1?a
dxx24x?1dx?320.35m?22?AX＝x1?a
x2dx164?2xdx?263.23m?x1AX?x1??20?24?2凹面锥台 ＝
???1??2
由上分析得 3x22-32 某种平板材料厚25mm，两侧面分别维持在40℃及85℃。测得通过该平板的热流量为1.82km，导热面积为0.2m。试： 确定在此条件下平板的平均导热系数。 设平板材料导热系数按度范围内解：由
2???0(1?bt)变化（其中t为局部温度）
。为了确定上述温
?0及b值，还需要补充测定什么量？给出此时确定?0及b的计算式。
dtdx得??5W/(m.K)
t0
???A?补充测定中心位置的温度为
dtdx
???0(1?bt) 又
t1?t2???x2?x1???0?t1?t2??1?b??A2?? （1） 所以???A?b?代入数据解得
4t0?2t2?2t1t1?2t0?t2 （2）
22将（2）代入（1）得到
?0
2-33 一空心圆柱，在r?r1处t?t1，r?r2处t?t2。试导出圆柱中温度分布的表达式及导热量计算式。 解：导热微分方程式简化为
?(t)??0(1?bt)，t为局部温度，
d?dt?dt??r??0?r?c1dr?dr?dr 即
所以
?0?1?bt?dt?c1b?dr?0t?0t2?c1lnr?c2r 即2
b?02t1?c1lnr1?c2r?rt?t21处1即当在 （1）
b??0t2?0t22?c1lnr2?c2r?r2处t?t2 即2 （2）
?0t1?c1?两个式子联立得
?0?t1?t2??1??0?t1?t2??
?b?2lnr1r2??c2? （1）-（2）得
?0?t1?t2??1??0?t1?t2??lnr1??b2lnr1r2??br??0?t1?t2???0t12?t22?c1ln??1r?2?2??
? （3）
将c1,c2代入（3）得温度表达式
?0t??0t2??0?t1?t2??1??0?t1?t2??
b2??b2q???由傅利叶公式
dtdx
?ln?r.r1??lnr1r2
q??得
c1??r?0?t1?t2??1??0?t1?t2??
b2r?r.ln??1r??2?????2-34 设一平板厚为?，其两侧表面分别维持在温度t1及t2。在此温度范围内平板的局部导
0热系数可以用直线关系式来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的
表达式，并对b>0,b=0及b<0的三种情况画出温度分布的示意曲线。
?(t)??(1?bt)r2-35 一圆筒体的内外半径分别为i及
r0，相应的壁温为ti及t0，其导热系数与温度关系可
0表示为的形式，式中?及t均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流
量的表达式及导热热阻的表达式。
?(t)??(1?bt)22-36 q=1000W/m的热流沿x方向穿过厚为20mm的平板（见附图）。已知x=0mm,10mm,20mm处的温度分别为100℃，60℃及40℃。试据此确定材料导热系数表达式
???0(1?b)（t为平均温度）中的?0及b。
t?解：x=0mm,x=10mm处的平均温度又
100?60?802℃
???0(1?b) 所以热量
1000?q??0?1?80b???t1?t2??
0.02即
同理x=10mm,x=20mm处得 1000???100?60? （1）
?0?1?50b?0.02?60?40? （2）
联立得b=-0.009
?0?0.687
2-37 设某种材料的局部导热系数按
?(t)??0(1?bt)的关系式来变化，
对于由该材料做成的
一块厚为?的无内热源的平板，试：
导出利用两侧面温度t1(x?0),t2(x??)计算导热量的公式； 证明下列关系式成立：
???12x?2??22??1
其中?1?2为相应于t1t2的导热系数，?为x处的导热系数。
导出平板中温度沿x方向变化的下列两个公式：
1?2x22?t(x)??????121???b???0
??1/2?1b
2qx1?1?t(x)???t1???b?b??0
22-38一厚δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度t1、t2。平壁的导热系数是温度的函数：λ（t）=λ0（1+βt2）。试对稳态导热给出热流密度的计算式。 解：
一维有内热源的导热
2-39 试建立具有内热源??x?，变截面，变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程式（参考附图）。
解：一维代入微分方程式为
2-40 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。?为常数。
解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为
d??dt?????Ax??x?????x??0dx??dx???
经过积分得
1???t????r????0r?r??r?
2?
r?r0,t?tw;r?0,t?t0 因为
所以得
t?c1lnr?c2?r?r?对其求导得
?r03/??r03/???r3t0?tw??t0?tw??t?lnr?t0??lnr0?1lnr0?1?
2-41确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知：氧化铀燃料棒的最高温度不能高于1600℃，冷却水平均温度为110℃，表面传热系数为12000W/(㎡·K)，氧化铀燃料棒与包覆它的锆锡合金层间的接触热阻为2.22×10-4㎡·K/W。包覆层的内外半径为6.1㎜及6.5㎜，氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为7.9W/(m·K)、14.2W/(m·K)。 解：
2-42 一具有内热源?外径为0的实心圆柱，向四周温度为t?的环境散热，表面传热系数为h。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并对?为常数的情形进行求解。 解：利用2-33题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为：
rddt?(r)?0()?r?drdr（设?为常数），
dtdtr?0，?0；r?r0，???h(t?tf)。drdr其边界条件为：
dtr?h(t?tf)。?对于?为常数的情形，积分一次得：dr
?r2?dt?0t?c1lnr??c2dr4?再积分一次得： 由r=0，，得c1?0；
????r2??r0?dt???h(t?tf)，得?h???c2?tf?dr2?4?r?r??， 0，由
??r02??r0?r0?c2????tf2h4?2h由此得：。
A2-43 在一厚为2b，截面积为C的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体
2??.m/m）中。设沸腾换热表面传热系数是均匀的，金属条的电阻率为（单位为，导热系
数为?〔单位为W/(m.K)〕，物性为常数。试证明该金属条的截面平均温度要比表面温度
222I?b/3?AC高。金属条的端部散热不予考虑。
?(r)???(1?Ar)??rr?r0处?02-44 一半径为0的实心圆柱，内热源为，0,A为常数。在
t?t0。试导出圆柱体中的温度分布。
??1???t????r????0解： r?r??r? (1)
dt?0dxr=0, (2) r?r0,t?t0 (3)
三式联立最终可解得
?0?23t?qr0?r2?4Ar0?r3?t036
?，X=0及X=?处的表面分别与温度为tf1,tf2的2-45 一厚为?的大平板具有均匀内热源???????流体进行对流换热，表面传热系数分别为h1及h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此导出温度最高点的位置。对于h1=h2,tf1＝
平板中的温度分布曲线。
tf2及
h1?h2,tf2?tf1的情形定性地画出
?＝2-46 一厚为7cm的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源?263W/(m.K)，平壁的导热系数为?10W/m0.3。对流换热表面传热系数为450
18W/(m.K)。试确定平壁中的最高温度及其位置。
????0e?ax??2-47 核反应堆的辐射防护壁因受射线的照射而发热，这相当于防护壁内有的
??内热源，其中0是X=0的表面上的发热率，a为已知常数。已知x=0处t=t1,x=?处t=t2,
试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数?为常数。
解：由题意导热微分方程
d2t??ax?2??0e?0dx
又x=0处t=t1,x=?处t=t2
积分并结合边界条件可得
?0e?ax?t?a?dt?0dx令
??e?a???0t1?t2?2?02?0?a?a??x?t1?2?a?
1?a??t1?t2?1?e?a??x??ln???a???0a??可得：当时，t最大。
2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为?的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，
???t外表面维持在恒定温度
2。射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源来表
????0e?ax?示，且，a为常数，x是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试：
导出器壁中温度分布的表达式。
确定x=0处的温度。 确定x=?处的热流密度。
?d2t???02?解： dx （1）
边界条件
dt?0dxr=0, (2) r?r0,t?t0三式联立得
(3)
?a?t?1?0?a2?e?e?ax????0a????x??t2?
t?x=0时；
1?0?a2?e?a??1???0a??t2
当x=?时，t?t2 所以
dt1??e?ax?1dxa?0
??2-49 一半径为r1的长导线具有均匀内热源，导热系数为?1。导线外包有一层绝缘材料，其外半径为r2,导热系数为?2。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h，环境温度为t?。
q?????过程是稳态的，试：
列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。 求解导线与绝缘材料中温度分布。
提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。
??1d?dt1??r???0??解：导线中温度场的控制方程为：rdr?dr?1?； 1d?dt2??r??0环形绝缘层中温度场的控制方程为：rdr?dr?。
边界条件：对t1，r?0时，t1为有限；
r?r1时，t1?t2,??1dt1dt???22drdr。
对
t2,r?r1时，t1?t2,??1dt1dt???22drdr；
r?r2时，??2dt2?h?t2?t1?dr。
?r2?t1??c1lnr?c2；r?1第一式的通解为：
????t?clnr?cc、c、c、c2121212第二式的通解为：。常数由边界条件确定。
c1?0。其余三个条件得表达式为： 据r=0时，t1为有限的条件，得?c???r12?r1???????r?r1，??c2?c1lnr1?c2；??1?????2?1????r1?4?1?2?1???； ?c????r?r2，??2?1??h??c1lnr2?c2??tf??????r2???????，由此三式解得： ?r12?r12??2???????c1??，c2?tf??lnr2??2?22?2?hr2?， ?r12??r12??r12?r2???c2???ln??tf??4?12hr22?2?r1?。
?r12??r12??r12??r12?r2???t1?????ln??tf??4?14?12hr22?2?r1?所以；
?r12??2?r12????t2?tf??lnr2??lnr??2?2?hr2?2?2。
肋片及扩展面
2-50 试计算下列两种情形下等厚度直肋的效率：
2W/(m.K)W/(m.K)，H=15.24mm，?=2.54mm； ??208铝肋，，h=284
2W/(m.K)W/(m.K)，H=15.24mm，?=2.54mm； ??41.5钢肋，，h=511
mH?解：（1）因为所以
2h??H?0.4997
?f?th?mH?th0.4997??91.3%mH0.4997
mH?因为
2h??H?1.501
所以
2-51 在温度为260℃的壁面上伸出一根纯铝的圆柱形肋片，直径d=25mm，高H=150mm。该柱体表面受温度
算该柱体的对流散热量。如果把柱体的长度增加一倍，其他条件不变，柱体的对流散热量是否也增加了一倍？从充分利用金属的观点来看，是采用一个长的肋好还是采用两个长度为其一半的较短的肋好？
?f?th?mH?th1.501??56.9%mH1.501
tf?2W/(m.K)。肋端绝热。试计16℃的气流冷却，表面传热系数h=15
?d2t???02?解：dx
????s?hp?t?t???AcdxAc又
所以得
????AcQ0mth?mH?
??代入数据查表得，??40.1W
当其他条件不变时H?2H,??66.9W
由上述结果可知长度增加一倍而散热量没有增加一倍，因此从充分利用金属的观点，采用长度为其一半的较短的肋较好。
2-52 在外径为25mm的管壁上装有铝制的等厚度环肋，相邻肋片中心线之间的距离s=9.5mm,环肋高H=12.5mm,厚?＝0.8mm。管壁温度的散热量。
?52??H?H??/2?12.9mm;A?A??1.03?10m2解：
tw?200℃，流体温度tf?90℃，管壁及肋片
2W/(m.K)。与流体之间的表面传热系数为110试确定每米长肋片管（包括肋片及基管部分）
查表得??238W/(m.K)
从图查得，
??0.31(H?)?h????A2???
?r1?12.5mm;r2?r1?H??25.4mm
?f?0.88321/2
??0?2???r2?r1??h?tw?tf??37.15W??肋片两面散热量为： ???0?f?32.7W肋片的实际散热量为：两肋片间基管散热量：
???h?tw?tf?2?r1s?9.021W;n?.8W 总散热量为?Z?n??????43822-53 过热蒸气在外径为127mm的钢管内流过，测蒸气温度套管的布置如附图所示。已知套
?管外径d=15mm，壁厚?＝0.9mm，导热系数??49.1W/(m.K)。蒸气与套管间的表面传热系数h=105W/(m.K)。为使测温误差小于蒸气与钢管壁温度差的0.6％，试确定套管应有的长度。 解：按题意应使?h21?105s
?0?0.6%，?h?0?1ch?mh??0.6100,
ch?mh??166.7，查附录得：mh?arc?ch(166.7)??5.81，
m?hU1055.81??48.75，?H??0.119m?3?A?48.7549.1?0.9?10。
2-54 为了显示套管材料对测温误差的影响，在热力管道的同一地点上安装了分别用钢及铜做成的尺寸相同的两个套管。套管外径d=10mm,厚?＝1.0mm，高H=120mm。气流流经两
2W/(m.K)。管道壁温t0＝25℃。设蒸气流的真实温度为套管时表面传热系数均为h=25
70℃，问置于两套管中的温度计读数相差多少？温度计本身的误差可以不计。取铜的
??390W/(m.K)，钢的??50W/(m.K)。
2-55 用一柱体模拟汽轮机叶片的散热过程。柱长9cm，周界为7.6cm，截面积为1.95cm,柱体的一端被冷却到350℃（见附图）。815℃的高温燃气吹过该柱体，假设表面上各处的对
2W/(m.K)。柱体导热系数??55W/(m.K)，流换热的表面传热系数是均匀的，并为28
2肋端绝热。试：
计算该柱体中间截面上的平均温度及柱体中的最高温度； 冷却介质所带走的热量。 解：（1）
m?hp/??Ac??14.09???0又肋片中的温度分布
ch?m?x?m??ch?mh?
?0?t0?t???510℃
所以中间温度x=H时
??221℃
因肋片截面温度沿高度方向逐步降低 所以当x=H时?最大
?max?ch?mH?＝265.6℃
?0(2)热量由冷却介质带走
?x?0?2-56一容器的手柄为半圆形的圆柱如附图所示，圆柱直径25㎜，半圆的直径为75毫米。设容器壁面温度为80℃，空气温度为20℃，考虑辐射影响在内的表面传热系数为10W/(㎡·K)，试计算手柄的散热量以及手柄中的最低温度。手柄材料的导热系数为1.5W/(m·K)。讨论手柄材料的导热系数对散热量及温度的影响。 解：
2-57一摩托车汽缸用铝合金制成，外径为60㎜，高170㎜，导热系数λ=180W/(m·K)。为增强散热，汽缸外壁上敷设了等厚度的铝合金环肋10片，肋厚3㎜，肋高25㎜。设摩托车在奔驰过程中表面传热系数为50W/(㎡·K)，空气温度为28℃，汽缸外壁温度保持为220℃。试分析增加了肋片后汽缸散热量是原来的多少倍？ 解：
2-58一太阳能集热器的截面如附图所示。用铝合金（λ=177W/(m·K)）做成的吸热板的厚度δ=6㎜，背面除了与加热水管接触之处外，绝热良好，管子之间的距离L=200㎜。吸热板正面与盖板之间为真空。在设计工况下吸热板净吸收太阳的辐射能为800W/㎡，管内被加热水的平均唯独为60℃。试确定设计工况下吸热板中的最高温度。 解：
2-59一输送高压水的管道用法兰连接如附图所示，法兰厚δ=15㎜，管道的内外半径分别为di=120㎜，do=140㎜，法兰外径df=250㎜。管道与法兰的导热系数为λ=45W/(m·K)。在正常工况下，管道内壁温度为300℃，周围空气温度为20℃，法兰的表面传热系数h=10W/(㎡·K)。试确定通过一对法兰损失的热量。
2-60肋片在换热器中得到广泛采用，紧凑式换热器就是由基本表面与大量的肋片表面所组成，如附图a所示。附图b是将其中一种流体的管道放大的示意图。已知肋片的高度H=8㎜，它分别与两块基本表面连接，两基本表面的温度相等，t0=tH。肋片与流体间的表面传热系数h=W/(㎡·K)，肋片的导热系数λ=200W/(m·K)，肋片厚δ=1㎜。试确定肋片的面积热阻。
2-61 一等截面直肋的肋端为第三边界条件，表面传热系数为h2,其侧面的表面传热系数为
hp?0th?mH??65.7Wm
h1，其余条件与第2-4节中的相同。试证明此时肋片中温度分布为
t?t?ch?m?H?x????h2/??m??sh?m?H?x???t?t?ch?mH???h2/??m??sh?mH? 0
并据此导出肋片散热量的计算式。
mx?mx??ce?ce,c1、c2由边界条件确定：12解：此问题得通解为：
x?0，?0?c1?c2，x?H，??c1memH?c2me?mH?hc1emH?c2e?mH， ?0e?mH??m?h2?c1?mHe??m?h2??emH??m?h2?， 由此得：
?????0emH??m?h2?c2??mHe??m?h2??emH??m?h2?,
?0e?mH??m?h2?emx??0emH??m?h2?e?mx???e?mH??m?h2??emH??m?h2? ch?m?H?x????h2??m??sh?m?H?x????0ch?mH???h2??m??sh?mH?
散热量：
sh?m?H?x????m???h2??m??ch?m?H?x????m??d?????A?????A?0|x?0????????dxchmH?h?mshmH??x?02
sh?mH???h2??m?ch?mH????A?0mch?mH???h2??m??sh?mH?
多维导热
2-62 设有如附图所示的一偏心环形空间，其中充满了某中储热介质（如石蜡类物质）。白天，从太阳能集热器中来的热水使石蜡熔化，夜里冷却水流过该芯管吸收石蜡的熔解热而使石蜡凝固。假设在熔解过程的开始阶段，环形空间中石蜡的自然对流可以忽略不计，内外管壁分别维持在均匀温度t1及t2。试定性画出偏心圆环中等温线的分布。 解：
2-63 有一用砖砌成的烟气通道，其截面形状如附图所示。已知内外壁温分别为t1?80℃，
t2?25℃，砖的导热系数为1.5W/(m.K)，试确定每米长烟道上的散热量。
解：采用形状因子法计算，据已知条件
?8.156mb??ln?1.08?d??
所以??S??t1?t2??672.87W/m
2-64 设有如附图所示的一个无内热源的二维稳态导热物体，其上凹面，下表面分别维持在均匀温度t1及t2，其余表面绝热。试：（1）画出等温线分布的示意图；（2）说明材料的导热系数是否对温度分布有影响。
2-65 试计算通过一立方体墙角（见附图）的热损失，已知每面墙厚300mm，导热系数为0.8W/(m.K)，内外壁温分别为400℃及50℃。如果三面墙的内壁温度t11,t12,t13各不相等，但均高于外壁温度，试提出一个估算热损失范围的方法。
解：?＝?s?t?0.8?0.15?x?400?50??0.8?0.15?0.30?350?12.6W。
S?2?l1?tl1?tl2?tl3?作为一种估算可以取3作为内侧有效温度计算?t。
2-66一根输送城市生活用水得管道埋于地下3ｍ深处，如附图所示，其外径ｄ＝500mm。土壤的导热系数为1W/(mK),计算在附图所示条件下每米管道的散热量；在一个严寒的冬天，地面结冰层厚达1m深，其它条件不变，计算此时的散热量。 解：
2-67 对于矩形区域内的常物性，无内热源的导热问题，试分析在下列四种边界条件的组合下，导热物体为铜或钢时，物体中的温度分布是否一样： （1） 四边均为给定温度；
（2） 四边中有一个边绝热，其余三个边均为给定温度； （3） 四边中有一个边为给定热流（不等于零），其余三个边中至少有一个边为给定温度； （4） 四边中有一个边为第三类边界条件。 解：（1一样，因为两种 情况下的数学描写中不出现材料物性值； （2）一样，理由同上；
(3)不一样，在给定热流的边上，边界条件中出现固体导热系数； (4)不一样，在第三类边界条件的表达式中出现固体导热系数。
2-68 一冰箱的冷冻室可看成是外形尺寸为0.5?0.75m?0.75m的立方体，其中顶面尺寸为
0.75m?0.75m。冷冻室顶面及四个侧面用同样厚度的发泡塑料保温，其导热系数为0.02W/(m.K)；冷冻室的底面可近似认为是绝热的。冷冻室内壁温度为-10℃，外壁护板温
度为30℃。设护板很薄且与发泡塑料接触良好。试估算发泡塑料要多厚才可限制冷量损失在45W以下。
解：设发泡塑料的厚度为?x 采用形状因子法计算 其S
中
?x?x?x2?0.75?2x?2??0.54??0.5?2?x??4?0.15?x?2??0.75?2?x???0.5?2?x??2??0.75?2?x??x又??S??t1?t2?
代入数据解得
2??0.75?2?x??0.5?2x??0.54??0.75?2?x??2??0.75?2x??0.5?2x?0.75??x??2?? ?x?0.03m
热阻分析
2-69 试写出通过半径为r1,r2的球壁的导热热阻的表达式。
?＝解：球壳导热热流流量为：
2-70 试据定义导出具有两个等温面的固体导热热阻与其形状因子之间的关系，并据此写出表2-2中第5，6栏所示固体的导热热阻。
4???t1?t2??t1r1?1r2R??1r1?1r2，?4??。
?t? 解：
又??S??t1?t2?
R?所以
R?1S?
R1?ln第五栏：
?d1?d2?2?4w2??d1?d2?2?4w2?d1?d2?2?4w2??d1?d2?2?4w2/2??l
b??R2?ln?1.08?/2??ld??第六栏：
2-71 两块不同材料的平板组成如附图所示的大平板。两板的面积分别为A1,A2,导热系数分别为?1,?2。如果该大平板的两个表面分别维持在均匀的温度t1,t2，试导出通过该大平板的
导热热量计算式。
解：R1??/A1?1;R2??/A2?2 热阻是并联的，因此总热阻为
R1.R2??`R1?R2A1?1?A2?2
?t?t2?t1??A1?1?A2?2?Q??R?导热总热量： R?2-72 在如附图所示的换热设备中，内外管之间有一夹层，其间置有电阻加热器，产生热流密度q，该加热层温度为th。内管内部被温度为ti的流体冷却，表面传热系数为hi。外管的外壁面被温度为t0的流体冷却，表面传热系数为h0。内外管壁的导热系数分别为?i,?0。
试画出这一热量传递过程的热阻分析图，并写出每一项热阻的表达式。
Ri?R0?r2?r11?;Ri?2?r2?i2?r1hir3?r21;R0?2?r2?02?r2h0 解：
2-73 一块尺寸为10mm?10mm的芯片（附图中的1）通过厚0.02mm的环氧树脂层（附图
中2）与厚为10mm的铝基板（附图中的3）相联接。芯片与铝基板间的环氧树脂热阻可取
?42为0.9?10m.K/W。芯片与基板的四周绝热，上下表面与t?＝25℃的环境换热，表面42传热系数均为h=150W/(m.K)。芯片本身可视为一等温物体，其发热率为1.5?10W/m。
2铝基板的导热系数为2600W/(m.K)。过程是稳态的。试画出这一热传递过程的热阻分析图，并确定芯片的工作温度。
提示：芯片的热阻为零，其内热源的生成热可以看成是由外界加到该节点上的。 解：设芯片的工作温度为t℃ 芯片上侧面传热量?1?hA?t?t??
?1?21????h 12芯片下侧面传热量
42其中Q?qA,Q??1??2;q?1.5?10w/m
代入数据可得t?75.35℃。
2-74人类居住的房屋本来只是用于防雨雪及盗贼，很少考虑节能与传热特性。随着世界范围内能源危机的发生以及人们生活水平的提高，节能与舒适已经成为建筑业的一个重要考虑原则。采用空心墙使考虑节能的一种有效手段。以居民的传墙结构如附图所示。已知室内温度为20℃，室外温度为5℃；室内墙面的表面传热系数为7W/(m2K)，室外为28W/(m2K)；第一层塑料板厚12mm，导热系数为0.16W/(mK),第二层厚mm，其中上部杨木层的导热系数为0.141W/(mK)，下部为空气；第三层为砖，厚200mm，导热系数为0.72W/(mK)。试对于图示的这一段墙体画出热阻网络，并计算其散热损失。 解：
2-75 有一管内涂层的操作过程如附图所示。在管子中央有一辐射棒，直径为d1，其外表面发出的每米长度上的辐射热流密度为qr，管内抽成真空；涂层表面的吸收比很高，可近似地看成为黑体。管子外表面温度恒定为ts2，涂层很薄，工艺要求涂层表面温度维持在ts1。试：（1）导出稳态条件下用qr,ts2,r2,r3及管壁导热系数?表示的管壁中的温度分布表达式。
?2?At?t?,r3?48mm，并要求ts1应达到150℃，（2）设ts2＝25℃，?＝15W/(m.K)，r2?35mm求qr之值。
解：(1)管子内壁面的热流量为：?＝?d1lqr，稳态条件下有：
??2??l?ts1?ts2?2???ts1?t???d1lqr??d1lqrln?r1r2?，在任一直径r处温度为t，则有：ln?rr2?，
2??t?ts2??d1qrt?d1qrln?r3r??ts22?即t?ts1?d1qrln?rr2?/?2??，或：ln?r34?，。 2??ts1?ts2?2?15??150?25???2.375?106Wm2d1ln?r3r2?0.005ln?4835?(2)，
2???ts1?ts2?qL??d1qr??3.7?104Wmln?r3r2?每米长度上热负荷。 qr?2-76 刚采摘下来的水果，由于其体内葡萄糖的分解而具有“呼吸”作用，结果会在其表面析出CO2,水蒸气，并在体内产生热量。设在通风的仓库中苹果以如附图所示的方式堆放，
并有5℃的空气以0.6m/s的流速吹过。苹果每天的发热量为4000J/kg。苹果的密度
??840kg/m3，导热系数?＝0.5W/(m.K)；空气与苹果间的表面传热系数
h=6W/(m.K)。试计算稳态下苹果表面及中心的温度。每个苹果可按直径为80mm的圆球处理。
21??2?t???r????02?r?rr??解：利用有内热源的一维球坐标方程： 3d?2dt?cdtr?r2?2dt?r???r?/?r?????1?????c1dr?dr?33r2， ，dr，dr?cr2?t?????1?c26r
?tdtr?0，?0；r?R???h?t?t???rdr边界条件为：。
?为满足第一边界条件，c1必须为0。
??r2???r???????/???h????6???c2???t??3?????，即： 代入第二条件：????r2?r??R??R2?/??c2????h?????t?6???c???t?3????，由此得：23h6?，
?R???t?r???R2?r2?tm3h6?温度分布为：，
?R?R??R2??t0???t?ts??h?3h6?3hr?R由此得：当时，；当r=0时，。
?R43??2?????R??4?Rh?ts?t??ts??t?ts也可由稳态热平衡得出：?3?3h，由此得：，
??4000J4000J3??38.9Wm1.190?10?5m3?24?3600s102.8m2s，
W38.9?0.04m?R3?mts?5℃??5℃??5℃?0.086℃?5.09℃3h3?6Wm2K， ?＝4000Jm3day???????R2?R?38.9?0.04℃t0?5℃???5.09??5.09?0.02?5.11℃3h6?6?0.5。
2-77 在一有内热源的无限大平板的导热问题中，平板两侧面温度分别为t1（x=0处）及t223????t?t/t?t?c?cx?cx?121123（x=处）。平板内温度分布为。其中c1,c2,c3为待定??常数，x=0处的内热源强度为?0。试确定该平板中内热源?(x)的表达式。
解：导热系数为常数有内热源的导热微分方程为
23????t?t/t?t?c?cx?cx121123平板内温度分布为
?d2t???0dx2?
又x?0,t?t1;x??,t?t2；x=0处的内热源强度为?0 两次积分及边界条件可得
?即内热源的表达式。
?0????x??t2?t1?????6x???032????????? ?0?22-78 为了估算人体的肌肉由于运动而引起的温升，可把肌肉看成是半径为2cm的长圆柱体。
??5650W/m3。肌肉表面维持在37℃。过程处于肌肉运动产生的热量相当于内热源，设?稳态，试估算由于肌肉运动所造成的最大温升。肌肉的导热系数为0.42W/(m.K)。
21d?dt??d?dt??r?r?????0,?r?????dr?dr?dr?解：如右图所示，一维稳态导热方程rdr?，
?r2?rc1?r2c1dt?dt??r????c1，???，t???lnr?c2dr2dr2??r4??。
?R2?R2dt??r?0，?0，?c1?0；r?R，t?tw，tw???c2，c2??twdr4?4?， ?r2?R2??R2?r2???t???t????tw4?4?4?，最大温度发生在r=0处，
?R25650?0.022?t0?tw??tmax???1.35℃4?4?0.42。
??2-79一日式火锅的手柄为圆锥形空心圆柱，如附图所示。今将其简化成为等直径圆柱体。
设：圆筒内、外表面各为2W/(m2K)及10W/(m2K)，直径分别为25mm与30mm，柄长90mm，筒体内、外流体温度为15℃，手柄与锅体相接部分的温度为70℃。试计算：(1)手柄局部温度为35℃处的位置；(2)上述条件下手柄所传递的热流量。 解：
2-80北极爱斯基摩人的住屋用压紧的雪做成，长呈半球形，如附图所示。假设球的内径为1.8m，球壁厚0.5m，压紧的雪与冰的导热系数均为0.15W(mK)。一般情况下室外温度t∞
22
=-40℃，表面传热系数为15W/(mK)。室内表面（包括冰地面）的表面传热系数为6W/(mK),冰地面的温度为-20℃，一家三口的发热量为950W，试确定半球小屋内的空气平均温度。 解：
2-81一种救火员穿戴的现代化的衣料如图所示。其中面罩料、湿面料以及热面料的厚度及其导热系数见附表。热量通过两层空气隙传递时，既有导热又有辐射，辐射热流量可以按对流的方式计算：
hradqrad?hrad(T1?T2)，其中T1,T2为空气隙两表面的温度，
3?4?Tav,Tav?(T1?T2)/2。假定每层空气隙都可以按Tav?470K来计算辐射热流密
2Wm度，试假定每层导热的面积热阻。在一次演习中，救火员一副表面接到2500的辐射
热流，试计算当该衣服内表面温度达到65℃（皮肤不受损伤的最高温度）时的外边面温度。 导热层名称 面罩料 湿面料 热面料 2-82 有一空气冷却器采用如附图所示的结构，冷却水在管外流动，温度为t0，表面传热系
2h?W/(m.K)。管内中心安置了8个径向肋片，空气在所形成的8个扇形0数2000～3000
空腔中流动，温度为ti，表面传热系数为hi。运行中芯管的中间不通过空气（两头进出口
?[W(mK)] 0.047 0.012 0.038 ?mm 0.8 0.55 3.5 处堵死）。试针对下列条件计算每米长管子上空气的散热量：di?12mm,d0?36mm，
t0?35℃，ti＝100℃，hi?50W/(m2.K)，??1mm，管材及肋片为铜，其?＝390W/(m.K)，管子壁厚为2mm。
36?4?1230??15mm22解：肋片高度，肋效率按等截面直肋估计，内管管壁附近的
3.14?12?8H＝15??15?3.71?18.71mm8看成为垂直延伸部分，故实际肋长为：，但
H?2h2mH?H?Ac肋端真正绝热，，
h1?50Wm2K,??390W?mK?，
3??AL??H?0.001?0.01871?1.871?10?5m2，
2?50100?10?5?32?mH??0.01871??2.559?10729390?1.871?10?5，
3?1.371?104?2.559?10?3?1.17?102?2.559?10?3?2.996?10?4?0.3，
??th?mH?0.291??0.97，?t?mH0.3t?t0Aieff?10?3??3.14?32?0.97??2?8?18.71?3.14?12?8?? ?10?3??100.5?0.97?299.36?37.68?8??
?10?3??100.5?0.97?329.04??4.098?10?1m2m， Ao?3.14?10?3?36?1.13?10?1m2m， Am?3.14?10?3?34?1.07?10?1m2m，
?l?代入得：
1?1??h0A0?AmhiAieff，
???d0?2????fin?8?2?H??di?8???1
???100?35??10?110.0021?2500?1.13390?1.0750?4.098
65?0.165?0.1?103???1240Wm5.2393.54?10?4?4.8?10?6?4.88?10?3。
2-83 在温度变化范围t1～t2之间，若材料的导热系数与温度成线性关系?(t)??0(1?bt)，
则可采用下列方法来确定系数b：用该材料制成一块厚的平壁，并使其两侧面保持在温度t1及t2，用热电偶测定平壁中间层的温度tc，则t1，t2及tc之值即可确定系数b，试导出b与上述三个温度的关系式。
解：设一维、稳态、无内热源、常物性导热问题，b>0，在平壁中任一x处：
q???0?1?bt?bt2dt?const,?qdx????0?1?bt?dt0t11dx，
22??bt2??bt1????????t2?2???t1?2??????????
作同样积分，但以?2为积分上限得：
?q??0?2?bt?22???2?0??bt1????q??t??t???21???????22??????? (b)
t?tt?2?12??t0为已知值，于是令(a)?(b)，并以上述t?2表达式代入：2其中，
?0?22??bt2??bt1??2?0?????t22????t1?2????????????2???bt?22???bt1???t1?????t?2?????22????????，
t1?t2/2???t1?t2?2??t0?。 最后可解出：
2-84 一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附图所示。用导热系数已知的材
222b???2?t0料A及待测导热系数的材料B制成相同尺寸的两个长圆柱体，并垂直地安置于温度为ts的热源上。采用相同办法冷却两个柱体，并在离开热源相同的距离x1处测定两柱体的温度
tA,tB。已知?A＝200W/(m.K)，tA=75℃，tB＝65℃，ts＝100℃，t?＝25℃。试确定?B之值。
d?x?0，?0dx解：设圆棒可作为无限长情形处理，即：。则有：
?t?t??t?t??hp???e?mx，即：ln???mx??x?t?t??0ts?t??Ac?s??，
?tA?t?ln??t?t?s??tB?t?ln??因而对两个棒有：?ts?t???????????tA?t?ln??t?t?B，?B??A?s??A?tB?t?ln??t?t?s?????????，
?75?25?ln??100?25??14.14?ln?0.6666??14.14?0.4056?9.123?B?200??，65?25??ln0.53330.6286??ln???100?25?
?B?83.2W?mK?
讨论：如果测得了A、B两棒不同x处具有相同得温度，也可据?A而得?B。
l??1得前提下，xxdBA如上题设=0.15m，=0.075m具有相同得温度，在仍有：
hpt?t??e?mxm??AC。因为tA?xA??tB?xB?，故?A?xA???B?xB?， t0?t?，
?hp?????xA??hp?xBmAxA?mBxB，??A???A?C?AC?R??亦即，其中p，h，AC均相同， ?xB???R?xB?0.075?????????200?????50W?mK?BA?????x?0.15??xA?A，即故有：?A?。
222-85 当把直径为d的金属柱体安置到温度为ts的等温壁面上去时，一般都假定金属柱体与基体交接处的温度为ts。实际上，由于要向柱体传导热量，交接处（即肋根）的温度常要略低于离开肋根较远处的温度ts（设柱体周围的流体温度t?低于ts）。试：（1）定性的画出肋根附近（包括基体及柱体中的部分区域）的等温线分布；（2）定性地分析柱体与周围流体间的表面传热系数h及柱体导热系数?的大小对肋根处温度下降的影响；（3）如果把柱体看做是测定壁温的热电偶，由上述分析可以得到什么样的启示？设柱体与基体之间接触良好，不存在接触热阻（见附图）。 解：设稳态，无接触热阻。
(1)在固体表面上设置了一个固体圆柱后，圆柱根部温度会低于ts，这是因为加了圆柱体相当于增加了该处得散热量。其时圆柱根部温度得分布大致如图示：
(2)h越大，肋根处温度下降越明显；导热系数越大，温度下降越明显。
(3)热电偶热节点测定得温度值实际上已经偏离了未接触热电偶时该处温度之值，即存在着测温误差，要减少测温误差，因尽量减小沿热电偶导线的热量传递。
2-86有一冷却电子器件的散热器（长称热沉，heat sink）如附图所示，其中L为垂直于纸面方向的尺度。热沉底面温度为75℃。试计算：（1）肋片的效率；(2)肋面总效率；(3)该热沉能散发的热量。热沉的材料为铝，导热系数为180W(mK)。 解：
2-87有一用针肋构成的热沉用来使处于微腐蚀性环境中的发热表面维持在70℃，发热表面的尺寸为10cmx16cm。针肋的高度与直径分别为3cm与4.2cm，材料为不锈钢，导热系数为15W(mK)。在周围流体温度为20℃、考虑对流与辐射作用在内的表面传热系数为70W(mK)的条件下，试计算为散发80W的热量需要多少个针肋？ 解：
2小论文题目
2-88 为了测定CO2在微细管道内的对流传热表面传热系数，采用对实验管道直接通电加
?，管道的内外径分别为d热的方法。假定电流产生的热量所形成的内热源均匀分布，记为?与D，外表面绝热良好（见附图），通过管壁的导热可以作为一维问题处理。实验测得管外
壁面温度为two(x)，试导出据测定的外表面温度two(x)及?确定官职内壁面温度twi(x)的计算式。 解：
2-89对于长方形截面的直肋片，试分析在一定的金属耗量下，为使肋片的散热量最大，肋片的H、?与?、h之间应满足怎样的关系？（参见图2-15）。 解：
?2-90 对于附图所示的圆截面直肋，设肋端（x=H）是绝热的。按本书的讨论，肋片中过余温度的分布满足
?(x)??0
在导出上式的几个假定条件下，试分析在一定的金属消耗量下，为使肋片的散热量达到最大，肋片几何尺寸H, d与其导热系数，表面传热系数之间应满足怎样的关系？设?,h均为常数。 解：按教材中式（2-38），有：
ch?m?x?H??hpm?ch?mH??Ac?＝??d24m?0th?mH?3122，直肋的体积正比于dH，令
Vf?dH，则上式可写为：
2????02?h?d?th2Vfh??d5????12?（m已用
4h?d代入）。
d??0V，?，hfdd按题意，均保持不变，则最佳直径应满足，由此得：
1212121????h?32??h???h???2?h???dth?2Vf?3???5Vf?4?sedh?2Vf?5?????022?d?d?d??????????????????
52512?????th???sech????2Vh?df3令，可得下列超越方程：， 10?sh?2???3，由此解出：??0.919296，代入其定义式，可得最佳工况下直径应或：
??012??dopt满足的关系式：
?hH2?4.733????????。