第1讲 函数的图象与性质(小题)
热点一 函数的概念与表示 1.高考常考定义域易失分点：
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域. 2.高考常考分段函数易失分点：
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化. －x2＋2x＋3
例1 (1)(2019·宣城联考)函数y＝的定义域为( )
lg?x＋1?A.(－1,3] C.[－1,3] 答案 B
－x＋2x＋3≥0，??
解析 由已知得?x＋1>0，
??x＋1≠1，
2
B.(－1,0)∪(0,3] D.[－1,0)∪(0,3]
解得x∈(－1,0)∪(0,3].
??2x＋1，x≤0，
(2)设函数f(x)＝?x则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________.
?4，x>0，?
1
，＋∞? 答案 ?2??
??2x＋1，x≤0，
解析 ∵函数f(x)＝?
x
?4，x>0，?
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
??x>0，
当?即0 1 f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得≤x≤1； 2当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1. 1 ，＋∞?. 综上，x的取值范围是?2?? 跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( ) 111 －，? C.(0,1) D.?－，0? A.(－1,0) B.??22??2?答案 C 解析 ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)， 即－2 ∴－1 ??log2?1－x?，x<0， (2)(2019·内江、眉山等六市联考)设函数f(x)＝?2x－1则f(－3)＋f(log23)等于 ?，x≥0，?2 ( ) 111315 A. B. C. D.10 222答案 B 解析 依题意f(－3)＋f(log23)＝log24＋2热点二 函数的性质及应用 高考常考函数四个性质的应用： (1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性； (3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解； (4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题. π?2 cos??2－πx?＋?x＋e? 例2 (1)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 019的值22x＋e为( ) A.1 B.2 C.22 019 D.32 019 答案 A π －πx?＋?x＋e?2cos??2? 解析 由已知x∈R，f(x)＝ x2＋e2sin πx＋x2＋e2＋2exsin πx＋2ex＝＝＋1， 2222x＋ex＋esin πx＋2ex 令g(x)＝，易知g(x)为奇函数， x2＋e2 2log23－1＝2＋2log292913＝2＋＝. 22 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0， M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 019＝1. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 018)＋f(－2 019)＝________. 答案 1－e 解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称， 又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)， 所以f(2 018)＋f(－2 019)＝f(0)－f(2 019) ＝－f(1)＋f(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e. 跟踪演练2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝ ?－x2＋1，0≤x<1，??若对任意的x∈[m，m＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则实数mx?2－2，x≥1，? 的最大值为( ) A.－1 1C.－ 3答案 C 解析 函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，函数为减函数，所以当x<0时，函数为增函数.若对任意的x∈[m，m＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则|1－x|≥|x＋m|，即(1－x)2≥(x＋m)2，1－m1－m所以2(1＋m)x≤(1＋m)(1－m).当m＋1>0，即m>－1时，x≤，所以m＋1≤，解得m≤ 221－m11