初中数学竞赛名师辅导
PAMDROBNC
又OR∥BC，MO∥PC，故?RNO??RMO??PNM．
QMQOQR，于是MR∥PN，由于OR将MN垂直平分，于是??MPOCRN2b?a?b?11.1.27★★在△ABC中，?A?3?B，求证：?，a、b、c为△ABC的对应边长． ??a?b?c?2解析 如图，延长CA至D，使?D??BAC?2?ABC，于是?DBA??ABC，故CD?BC，
3AD?a?b．△ABD中，?D?2?DBA，则AB2?AD(AD?BD)．又由角平分线性质
BDAD，得?BCACa2?b2(a?b)(a2?b2)a(a?b)2，AD?BD?，代人前式，得c?，即得结论． BD?bbbDABC
评注 △ABC中，?A?2?B?BC2?AC(AC?AB)，证明如下：延长CA至D，使AD?AB，于是?D??ABC?BC2?AC(AC?AD)或AC(AC?AB)．
11．1.28★★已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上任两点，DE、FB延长后交于M，AF、EC延长后交于N，求证：若AB?CD，则AD、BC、MN共点；若AB?CD，则AD∥BC∥MN．
解析 如图，设AE?a，BE?b，CF?c，DF?d，延长AB、DC分别与MN交于P、Q，设BP?x,CQ?y．由AP∥FQ知
acdb?，同理?，即ay?bc?cx，dx?bc?by，于是b?xyc?yxay?cc?dx?by，
a?bc?dABCD??，或．若AB?CD，则BP?CQ，又BP∥CQ，做xyBPCQAD∥BC∥PQ；AB?CD，由AB∥CD，得AD、BC、MN共点（见题11.1.23）．
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DAFEBMPCQN
11.1.29★★正三角形ABC，D、E、F是BC、CA、AB的中点，P、Q、R分别在EF、FD、DE上，A、P、Q共线，B、Q、R共线，C、R、P共线，求
FP． PEE?1?x，FQ?1?y，DR?1?z．QD?y，ER?z，解析 如图，不妨设△ABC边长为2，PF?x，则P
AFPERQBDC
由
yy1?2xPEERzx1?2x?，得1?x?，同理1?z?，1?y?，于是y?，，?1?y1?yxCDRD1?z1?x1?x3?51x3x?1?y?z． ，x??1??1?21?z1?2x1?2x1?x?所以1?x?5?1FPx3?55?1???，．
2PE1?x25?111．1．30★★任给锐角△ABC，问在BC、CA、AB上是否各存在一点D、E、F，使FD?BC，
DE?AC，EF?AB?
解析 这样的△DEF是存在的．作法如下：在BC上任取一点D′，作D′E′?AC于E′，分别过D′、E′作BC、AB的垂直线交于点F′．
F'FSE'EARB
若F′恰在AB上，则D′、E′、F′，即为满足条件的三点D、E、F；若，F′不在AB上，设C、F′，所在直线与AB交点为F(因为△ABC是锐角三角形，所以交点必在AB上)，过F分别
D'DC初中数学竞赛名师辅导
CDCFCE，??CD?CF?CE?得DE∥D′E′，由作法D′E′?AC，所以DE?AC，D、E、F满足条件．
11.1.31★★★已知凸四边形内有一点P，?APB、?BPC、?CPD、?DPA的平分线分别交AB、BC、 CD、DA于K、L、M、N，求证：四边形KLMN为平行四边形的充要条件是P为AC、BD的中垂线的交点．
作BC、AB的垂线交BC、AC于D、E，则FD?BC，EF?AB，连结DE，易知解析 若P为AC、BD的中垂线之交点，则AP?CP，BP?DP，于是
AKAPAPAN，于是???BKBPDPNDKN∥BD，同理ML∥BD，又同理MN∥AC∥KL，故四边形KLMN为平行四边形．
NAMPBLCDK
ANDMAPAKBL，故由梅氏定理，若MN、KL????NDMCCPKBLC不与AC平行，它们将与AC交于同一点，这与NM∥KL矛盾，因此NM∥AC，AP?CP，同理BP?DP，故P在AC、BD的中垂线上．
11．1．32★★★已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，求证：若ED∥BF，则AF∥CE．又此时若ED、AF交于M，CE、BF交于N，问三直线AB、MN、CD共点的条件． 反之，若四边形KLMN为平行四边形，由于
解析 如图(a)，不妨议BA、CD延长后交于P，于是有
PPQPDPEPD，． ??BPPCPBPFAMENBDF图(a)C
PAPF，故AF∥CE． ?PEPC因为四边形MENF为平行四边形，MN过EF的中点，若P、M、N共线，则由塞瓦定理，有于是PA?PC?PB?PD?PE?PF，由此可得
AD∥EF∥BC．下面刻画E或F的位置，如图(b)，设BD与EF交于Q，
k?AE?k，则由ED∥BF，EBAD． BCDFDQEQAEEQ1QFk1AD???，而，，故k??，此即?1??FCBQFQBEAD1?KBC1?kkBC初中数学竞赛名师辅导
ADEQFB图(b)C
11.1.33★★如图，已知△ABC中，AD、BE、CF交于G，FH∥AD，FH延长后与ED的延长线交于K，求证：FH?HK．
AFEMBHKGDNJC
解析 作EJ∥AD，EJ与CF交于N，FK与BE交于M，则由平行，知
FHADEJ，故??FMAGENFHFMFGHDHK，于是FH?HK． ????EJENGNDJEJ11.1.34★★★已知△ABC，AD、BE、CF是角平分线，M、N在BC上，且FM∥AD∥EN，求证：AD平分?MAN．
AFSBMIDNPTCE
解析1 设△ABC内心为I，FM与BE交于S，EN与CF交于T，连结EF，交AD于P．由角平分线及平行性质，有
FMADENFMFSSIFPAF，故有，又??????FSAIETENETIEPEAE1?AFM?180????BAC??AEN，故△AFM∽△AEN，于是?FAM??EAN，于是AD平分
2?MAN．
解析2 由角平分线性质，知故
AEABAFACAEABCEFMBFENCE，?，于是．又易见，?，????ECBCBFBCAFACBFADABADACENCE?ABAEEN，于是，以下同解析1． ??FMBF?ACAFFM评注 注意解析1更好些，因为只要求AD平分?BAC．不要求I是内心，本题结论也成立．于是本题的逆命题是，由AD平分?MAN得出AD平分?BAC，而不能证明I是内心．这个逆命题也是正确的，