初中数学竞赛名师辅导
11.1.17★四边形ABCD为正方形，E、F在BC延长线上，CE?CD，CF?CA，H、G分别是CD、DE与AF的交点．求证：△CHG为等腰三角形．
解析 如图，不妨设正方形边长为1，则CF?2，CE?1，EF?2?1．
ADHJBCGEF
作GJ∥CF，交CD于J．则于是
JGDGAD1． ???CEDEAD?EF2HGJGJG1???，即G为直角三角形斜边HF之中点，于是GH?GC． HFCF2CE211.1.18★★在△ABC中，AB?4，BC?2，CA?3，P是△ABC内一点，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且PD∥BC，PE∥AC，PF∥AB．若PD?PE?PF，求PD．
解析 如图，延长CP交AB于C′(同理定义A′、B′，图中未画出)，设PD?PE?PF?x，则
xC?PxB?PxPA?PA?PB?PC?xxx12，同理，?，?，由于????1，故???1，x?．
2CC?AA?BB?CC?2344BB?3AA?13AC'PDF
11.1.19★△ABC内有一点O，AO的延长线交边BC于点A′，BO的延长线交边AC于点B′，CO的延长线交边AB于点C′．若解析 如图，设
BECAOBOCOAO?BO?CO的值(用k表示)． ???k，求
OA?OB?OC?OA??OB??OC?AOBOCOOA?OB?OC?x，?y，?z，则x?y?z?k，而???1，即OA?OB?OC?AA?BB?CC?111???1，展开得 1?x1?y1?z3?2?x?y?z??xy?yz?zx?1??x?y?z??xy?yz?zx?xyz，
故xyz?2?x?y?z?2?k．
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AC'OB'
11.1.20★已知△ABC的三边长分别为a、b、c，三角形中有一点P，过P作三边的平行线，长度均为x，试用a、b、c来表示x．
解析 设AP延长后与BC交于A′(同理定义B′与C′)，则
BA'CxAPPA?xPB?，同理?1?， ??1?aAA?AA?bBB?xPC??111??PA?PB?PC????，三式相加，得x?????3???1???2，
abcAA?BB?CC?bCC?????所以x?2abc．
ab?bc?caAPBCA'
111、、可组成三角形三边之长． abc11.1.21★已知D、E、F分别是锐角三角形ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相评注 P存在的条件是x?a，b，c，代人得：
交于点P，AP?BP?CP?6．设PD?x，PE?y，PF?z，xy?yz?zx?28，求xyz的大小． 解析 由熟知结论
xyzPDPEPF???1，因此???1，得
x?6y?6z?6ADBECFx(x?6)(z?6)?y(x?6)(z?6)?z(x?6)(y?6)?(x?6)(y?6)(z?6)，即
xyz?108?3(xy?yz?zx)=24．
11.1.22★如图，正方形ABCD边长为1，Q为BC延长线上一点，QA与CD、BD分别交于点P、E，QO(点O是AC与BD交点)与CD交于点F，若EF∥AC，求AP的长．
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AEDPOFBCQ
解析 连结DQ，则由EF∥AC，得点，所以AP?EQEFEFDE???，于是DQ∥AC，CQ?AD，P为CD中QAAOCODO5． 211.1.23★★如图，已知EF?BC，G、D分别在EF、BC上，则下面任两条可推出第三条：
(1)BE、DG、CF共点；（2）EF∥BC；（3）
EGBD． ?FGCDAA'E'EGFF'B
EGAGGFEGBD解析 (1)，(2)?(3)：EF∥BC，则，故． ???BDADCDGFCD（2），（3）?（1）：长后交于
DCEGBD?FGCD?EGFGEF??BDCDBC?1，故可设BE、DG延长后交于A，DG、CF延
AGEGGFA?GAGA?G，，A与A?重合． ????ADBDCDA?DGDGDE?GBDEG，??F?GCDFG(1)，(3)?(2)：若EF与BC不平行，作E?GF?∥BC，则有E?在AB上，F?在AC上，
得EE?∥FF?，即AB∥AC，矛盾．
11.1.24★△ABC中，AK为?A的平分线，在BA、CA上取BD?CE，G、F分别为DE、BC的中点，则GF∥AK．
11解析 如图，连结BE，设BE中点为M，连结CM、FM，则G所以GM?FM，M∥BD?CE∥MF，
22且?GMF??GME??EMF??ABE?180???BEC?180???BAC．
取AC上的点S，使KS∥AB，则等腰△GMF∽等腰△AKS，且对应边KS∥GM，AS∥MF，故第三边也平行，即GF∥AK．
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AGDMBFKCES
11.1.25★★★已知：ABC中，?A?90?，D为BC上一点，且非BC中点，中点，求证：?BDA?2?BAD，PD平分?BPC．
211，P为AD??ADBDCD解析 如图，作BR∥AD，与CA延长线交于R，延长CP交BR于Q，则由AP?PD，AD∥RB，有RQ?BQ．又?RAB?90?，故AQ?BQ．
由条件，知
PDCDPD111BC??，于是，BD?BQ?AQ，四边形AQBD乃等腰???BDBCBQPDBDCDBD?CD梯形(若四边形AQBD是菱形，则?C??QAR??R??DAC，D为BC中点，与题设矛盾)，
11?BAD??QBA??QAD??BDA．
22又P为AD中点，显然(比如由全等)有?BPD??APQ??DPC．
RAQPB
11．1．26★★★已知M、N分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，CD延长线上有一点P，PM延长后与AC交于Q．求证．NM平分?PNQ．
解析 如图，设AC与MN交于O，则MO?NO，过O作OR?MN，交QN于R，则MR?NR．
DC