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DAGMECB

10.2.12★★在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过C作CQ?DM于Q，且延长交AB于N，设正 方形对角线的交点为O，连结OM、ON，求证：OM?ON．

解析 如图，易知?MDC??NCB，故△DMC≌△CNB，故NB?MC，又?NBO?45???OCM，BO?CO，于是△ONB≌△OMC，?NOM??BOC?90?．

ADONQBMC\\

10.2.13★★四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，E、F、B在一直线上．求证：AE、AF三等分?CAB．

11AC?AF，22于是?FAC?30?．又?CAB?45?，于是?BAF?15?，?FAE??CAE?15?，AE、AF三等分?CAB． 解析 如图，作BM、FN与AC垂直，垂足为M、N，于是由AB∥BF知FN?BM?ADMNBCFE

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第11章 比例与相似

§11.1比例线段

11.1.1★在△ABC中，角平分线AD与BC交于D，AB?c，BC?a，CA?b，求BD、CD之长度(用

a、b、f表示)．

解析 如图，易知有BD?CD?a，

BDABcacab，CD?． ??，故BD?CDACbb?cb?cA

11．1．2★已知：等腰梯形ABCD中，M、N分别是腰AB、CD的中点，BD?BC，BD?CA且交于E，求证：CE?MN．

解析 如图，不妨设BE?CE?1，则BC?2?BD?AC，AE?ED?2?1，故AD?2?2，

BDCMN?1?AD?BC??1?CE． 2初中数学竞赛名师辅导

AEMDNBC

11．1．3★在△ABC中，AC?2AB，?A的平分线交BC于D，过D分别作AB、AC的平行线交AC、 AB于F、E，FE和CB的延长线交于G，求证：EF?EG． 解析 如图，由ED∥AC，及AD平分?BAC，知因此EF?EG．

AFEGBDCGEBEBEBDAB1?????，故GF?2GE，GFDFAECDAC2

11．1．4★设D为△ABC的边BC的中点，过D作一直线，交AB、AC或其延长线于E、F，又过A作AG∥BC，交FE的延长线于G，则EG?FD?GF?DE．

GAEBDCF

GEAGAGGF． ???DEBDCDDF于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．

11．1．5★已知O是平行四边形ABCD内的任意一点，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F，解析 由平行知

又过O作GH∥BC，分别交AB、CD于G、H；连结BE，交GH于P；连结DG，交EF于Q．如果OP?OQ，求证：平行四边形ABCD是菱形． 解析 如图，易知

OPEOGAOQGOAE，． ????BFEFABDHGHAD，于是AB?AD，四边形ABCD是

P?AB?GABF?A?EDH?OQ?AD?由于AE?BF，GA?DH，故O菱形．

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AGEQPOHDBFC

11．1．6★△ABC中，AB?AC．AD是?BAC的角平分线．G是BC的中点，过G作直线平行于AD交AB、AC或延长线于E和F．求证：BE?CF?AB?AC． 21BC，而2解析 如图，易知G比D靠近B，E在AB上，而F在CA延长线上．易知BG?BD?AB?BCBEBGAB?AC，故，同理，CF也是此值． ??AB?ACABBD2ABFEA

评注 不用比例线段的方法是：延长EG一倍至P，则CP?BE，再证△AEF和△FCP均为等腰三角形．

11．1．7★凸四边形ABCD中，?ADC，?BCD?90?，BE平行于AD交AC延长线于点E，AF平行于BC交BD延长线于点F，连结E、F，证明：EF∥CD． 解析 如图，设AC、则由平行线性质，知BD交于O，故

BGDCFOAOAOBO，，同理，?FO?BO?EO??AO，

BOCOCODOFODO，故EF∥CD． ?EOCOAFDOBCE

11．1．8★★如图，在△ABC中．AB?AC，BP、BQ为?B的三等分角线，交?A的平分线AD于P、Q，连结CQ并延长交AB于R，求证：PR∥QB．