【人教版】最新初中数学竞赛名师讲义:第10-12章专题辅导(含答案) 下载本文

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ADFBEC

?C得ECP?AB?BC,解析 如图,延长AE、DC,设交于P,则BEFP?FC?CP?FC?BC?AF.于是?BAE??P??FAP,即?BAF?2?BAE.

10.2.2★正方形边长等于1,通过它的中心引一条直线,求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方 和的取值范围.

ADPMOBNCl

解析 如图,设O是正方形ABCD的中心,l通过O,AM、DN分别与l垂直于M、N. 由于?MAO?90???AOM??DON,AO?OD,故△AMO≌△OND,

1. 2对B、C的垂线也有类似结论,因此所求距离的平方和是常数1. AM2?DN2?AM2?MO2?AO2?10.2.3★正方形ABCD的对角线交于O,?BAC的平分线交BD于G,交BC于F,求证:OG?解析 如图,作OE∥FC,交AF于E,OE为△ACF中位线,CF?2EO. 问题变为证明EO?GO.

因为么?GEO?45???OAF??FAF?45???OGE,于是结论成立.

ADCF. 2EGBFOC

10.2.4★设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点,且CM与BN交于P,求证:PA?AB.

??PC9B?0,?故解析 如图,由MD?CN知△BNC≌△CMD,故?PBC??PCB??NCMCM?BN.延长CM、BA,设交于Q,则QA?CD?AD,A为直角三角形QPB斜边BQ之中点,于

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是AP?AB.

QAMDNPB题10.2.4C

10.2.5★已知两个正方形ABCD、AKLM(顶点均按照顺时针方向排列),求证:这两个正方形的中心和BM、DK的中点组成一个正方形.

KLRSAMDPCB题10.2.5Q

解析 如图,设DB、BM、MK、KD的中点分别为P、Q、R、S.

?DAM?90???BAM??BAK,由于DA?AB,AK?AM,于是△DAM≌△BAK,由此得KB与DM11垂直且相等.由于SR∥DM∥PQ,SP∥KB∥RQ,故四边形PQRS为正方形.

22AB210.2.6★★M是正方形ABCD内一点,若MA?MB?,?CMB?90?,求?MCD.

222?AB22222,?AN?BN?AM?BM?解析 如图,作MN?AB于N,则?2

?AN?BN?AB,?初中数学竞赛名师辅导

ADMNBLC

31AB,BN?AB. 44不妨设AN?3,BN?3,MN?x,则 解得AN?DM2?AN2??AD?MN??9?(4?x)2, CM2?BN2?(CM?MN)2?1??4?x?,

由条件?CMD?90?,知DM2?CM2?CD2,即10?2?4?x??16,解得x?4?3. 又作ML?BC于L,于是LC?4?x?3,ML?NB?1,故?MCD??LMC?60?.

10.2.7★O是正方形ABCD的两对角线的交点,P是BD上异于O的任一点,PE?AD于E,PF?AB于F,G是EO的延长线和BC的交点,求?OFG.

AFOED222PBGC

?FAO?45???EDO,解析 如图,易知AF?EP?ED,AO?DO,于是△AFO≌△DEO≌△BGO,

于是OF?OG,?AOB?90???FOG,故△OFG为等腰直角三角形,?OFG?45?.

10.2.8★★K是正方形ABCD的边AB的中点,点L分对角线AC的比为AL:LC?3,证明:?KLD?90?.

解析 连结BL,由正方形关于AC对称,知BL?DL. 又作LJ?AB于J,由AL?3LC,易知JB?11AB?KB,故J为KB中点,JL垂直平分KB,于是42LK?LB,?LKB??LBK??ADL,或?AKL??ADL?180?,故?KLD?90?.

AFOEDPBGC

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10.2.9★已知△ABC,向外作正方形ABEF和ACGH.直线AK垂直BC于K,反向延长交FH于M,求证:M是FH的中点.

解析 如图,作FQ、HP分别与直线KA垂直,垂足为Q、P.

PMFQAGEBKCH

易见,?QFA?90???QAF??BAK,又?FQA?90???AKB,FA?AB,故有△AQF≌△BKA,FQ?AK,同理PH?AK,于是FQ?PH,FM?MH.

10.2.10★已知:正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上,AG?EF于G.若?EAF?45?,求证: AG?AB.反之,若AG?AB,则?EAF?45?.

解析 如图,延长CB至H,使BH?DF,连结AH,则△AHB≌△AFD,?HAF??BAD?90?,?HAE?90??45??45???EAF,又AH?AF,AE?AE,故△AHE≌△AFE,AB、AG为其对应 边上的高,于是AG?AB.

ADFG

反之,若AG?AB,则Rt△ABE≌Rt△AGE,?EAG??BAE,同理,?FAG??DAF,于是

HBEC1?EAF??BAD?45?.

210.2.11★★在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),?D?90?,BC?CD?12,E在边CD上,?ABE?45?,若AE?10,求CE的长.

解析 延长DA至M,使BM?BE过B作BG?AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形,所以BC?BG.又?CBE??GBM,Rt△BEC≌Rt△BMG,故BM?BE. 又?ABE??ABM?45?,故△ABE≌△ABM,AM?AE?10. 设CE?x,则AG?10?x,AD?12??10?x??2?x,DE?12?x.

在Rt△ADE中,AE2?AD2?DE2,故100??x?2???12?x?,即x2?10x?24?0,解之,得x1?4,x2?6.故CE的长为4或6.

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