初中数学竞赛名师辅导

AEJHBCGDKP评注 调和点列见15．1．65，此题是一个一般结果之特例．

11．2．36★★★已知△ABC中，?A?90?，S、N在AB上，M在BC上，MN?BC，SC2?CM?CB，Q在AC上，SQ?SO(O为BC中点)，SQ交MN于P，求证：SP?QP． AC?R解析 如图，延长MP、CA，设交于R，连结SR．由于△MRC∽△ABC，故C?CMC?BSC?2，

于是RS?CS，又由QS?SO，PM?MO，故△RSP∽△CSO，同理△RPQ∽△BOS． 于是

SPSOPQSO，，由于BO?CO，故SP?QP． ??PRCORPBORAQPNS

11．2．37★★★★D为△ABC的边AC上一点，E和F分别为线段BD和BC上的点．满足?BAE??CAF．再设P、Q为线段BC和BD上的点，使得EP∥QF∥DC．求证：?BAP??QAC．

BOMC解析 如图，在AB上取点R，使RE∥AQ，连结RE、RP．易知△REP与△AQF位似，故?QAF??ERP，?RPE??AFQ．而QF∥CD，故?AFQ??FAC??BAE，从而?RPE??BAE，

所以R、A、P、E共圆(R与A不重合)，于是?QAF??ERP??EAP． 又?CAF??BAE，加之，即得?QAC??BAP．

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ARDEBPQFC

11．2．38★★★★已知△ABC中，AB、AC上各有一点R、Q，直线RQ与BC延长线交于点P，求证：

AQ?CQPC?PBQR?BR???1．

PQ?RQPQ?PRQR?PRARQTSBCP

解析 在PR上取S，使A、R、C、S共圆，则?QSC??A，AQ?QC?RQ?SQ，又在PR上取T， C、PC?PB?PT?PR，使T、则?CTP??B，于是B、R共圆，

AQ?CQPC?PBSQPTTS????1?，

PQ?RQPQ?PRPQPQPQ于是问题变成求证

TSAR?BRTSCS?．显见△STC∽△ABC，，又△ARQ∽△SCQ，故?PQQR?PRABACARSCABBPABPRCQ?????1，这是梅氏定理，故结论成立． ，欲证式成为，或RQCQAC?PQCQ?PRBRPQAC11．2．39★★★★如图，△PQR和△P′Q′R′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF的边长

2223分别是AB?a1，BC?b1，CD?a2，DE?b2，EF?a3，FA?b3．求证：（1）a12?a2；?a3?b12?b2?b3(2)a1?a2?a3?b1?b2?b3．

R'PAb3Bb1P'CQa1a2DFa3Eb2Q'R

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解析 (1)不妨设△PAB、△P′BC、△QCD、△Q′DE、△REF、△RFA的面积分别为S1、S?1、S?2、S?3、S3、S?3．由△PAB∽△P′CB∽?QCD∽△Q′ED∽△REF∽△R′AF，可得S1S?1S1?S2?S3S?1?S?2?S?3S1a12S1S?1S2S?2S3S?3?2，同理可得其余)． ????????(由得22222222222222ab1a1b1a2b2a3b3a1?a2?a3b1?b2?b3S?1b112222因为△PQR≌△P′Q′R′，所以S1?S2?S3?S?1?S?2?S?3，则a12?a2． ?a3?b12?b2?b3(2)不妨设△PAB、?P′BC、△QCD、△Q′DE的周长分别为l1、l?1、l2、l?2、l3、l?3． 可得?l1?a1l?1?b1l2?a2l?2b2l3?a3l?3?b3l1?l2?l3?(a1?a2?a3)???2??? a1b1a2ba3b3a1?a2?a3lall?l?al??bl?1?l?2?l?3?(b1?b2?b3)(由1?1，得1?1，因此11?11，同理可得其余)．

l?1b1a1b1a1b1b1?b2?b3又设△PQR、△P′Q′R′的周长均为L，a1?a2?a3?A，b1?b2?b3?B，由上面等式可得

L?BL?A，化得(A?B)(L?A?B)?0，而L?A?B，因此A?B，即a1?a2?a3?b1?b2?b3． ?AB11．2．40★★★★已知平行四边形ABCD，C在边AD、AB上的射影分别是M、N，NM延长后与BD延长线交于P，求证：PC?AC．

ANQBCMDPLR

解析 延长AD，交CP于L，则PC?AC?△ACM∽△CLM?AM?ML?CM2，下面就来证明此式．延长MN，交CB延长线于Q，又延长CN，交DA延长线于R．于是式变为MD?RM?CM2，而这显然成立．

11．2．41★★★★已知△ABC内有一点Y，BC上有一点P，X、Z在△ABC外，△AXB∽△CYP，△ACZ∽△BPY(即?XAB??YCB，?XBA??YPC，?CAZ??YBP，?ACZ??YPB)，求证：

MLQCRM??，于是欲证MDQBAMXYBP． ?YZPC解析 如图，延长CY至M，使MB∥PY，连结XM．于是△XBA∽△YPC∽△MBC，而且是顺相似，故△XBM∽△ABC．故

XMBMPYPY，XM?AC?． ??ACBCPCPC初中数学竞赛名师辅导

AXMYZBPC

又△ACZ∽△BPY，故

CZPYAC?PB，于是XMPBMYCZ?PC?CY． 又?XMY??XMB??BMY??ACB??PYC? ?ACB??YPB??YCB??YPB??ACY??ACZ??ACY??ZCY，故△MXY∽△CZY，XYMYBYZ?YC?P，同时由PC?MYX??CYZ，得X、Y、Z三点共线．

于是