初中数学竞赛名师辅导
解析 设MN与EF交于点P，由NE∥BC，得
PNPE，所以PB?PE?PN?PC．又ME∥BF，故?PBPCPMPEPMPC，所以PB?PE?PM?PF．从而PN?PC?PM?PF，即．又?FPN??MPC，故??PBPFPNPF△PNF∽△PMC，?PNF??PMC，从而?NF∥MC，?ANF??EDM．又ME∥BF，故?FAN??MED．所以?AFN??DME． 11．2．27★★★在△ABC中，设P是边BC的中点，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，MP交BN于点Q，QR?AC于点R，BT∥AC交RQ的延长线于T，求证： (1)TP∥MR； (2)?MRQ??PRQ．
解析 (1)因为BT∥RN，所以△QRN∽△QTB，
QRQN?，又MN∥BP，所以△QMN∽△QPB，QTQBQMQNQRQM??，因此，从而△QRM∽△QTP，故TP∥MR． QPQBQTQPARMQBTPNSC
(2)延长TP交AC于点S，则TBSC是平行四边形，在直角三角形TRS中，P是斜边TS的中点，所以，
RP?TP，于是?MRQ??QTP??PRQ．
11．2．28★★★不等边锐角三角形△ABC中，D是底边BC上一点，AD上有一点P，延长BP、CP，分别交AC、AB于M、N，若DA平分?MDN，求证：AD?BC．
解析 如图，连结MN，交AD于Q，又作NJ∥AD∥MK，J、K在BC上，设M与BM交于X，NJNXXPJDNQNDNJADMK?????，故??MKMYPMDKMQMDNXAPMY于是?NDJ??MDK，又?NDA??MDA，故?ADB??ADC?90?．
则MK与CN交于Y．JD∽△MKD，，故△MANQMPXBJDYKC
评注 本题也可用塞瓦定理加以证明．
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11．2．29★★等边△ABC的三条边BC、CA、AB上分别有三条相等的线段A1A2、B1B2、C1C2．求证：直线B2C1、C2A1、A2B1，所构成的三角形上，三条线段B2C1、C2A1、A2B1与包含它们的边成比例．
解析 设直线B2C1、C2A1、A2B1所构成的三角形为△A3B3C3(如图)，过C1、C2分别作AC、BC的平行线，相交于点P，则△PC1C2是等边三角形，且PC1∥B1B2，PC2∥A2A1，可得PA2∥C2A1，PB1∥B2C1，即△A2B1P∽△A3B3C3，
B1PPA2ABBCCAAB??21，所以21?21?21． B3C3C3A3A3B3B3C3C3A3A3B3CB1A2A1C2BA3B3B2AC1C3P
11．2．30★★★已知△ABC，AB?AC，D是BC中点，直线CF?BC．E是AB上任一点，ED延
长后交直线CF于F，M、N分别是ED、DF中点，求证：AD平分?MAN． EC，EC与AD交于K，解析 如图，连结CN、则由角平分线及平行线性质，知
AEEKEDEM，???ACKCDFCN?AED??B??EDB??ACD??CDF??ACD??NCD??ACN，故△AEM∽△ACN，?BAM??CAN．又?BAD??CAD，故AD平分?MAN．
AEMBDKCN
11．2．31★★★设直角三角形ABC中，?A?90?，AD是斜边BC上的高，△ABD、△ACD的内心分别是S、T，延长ST，交两直角边于M、N，证明：AM?AN，并用AB、AC来表示MN． 解析 如图，连结SD、TD、AS、AT．因为△ABD∽△CAD，DS、DT为对应线段，故?SDT?90?，且△SDT∽△BAC，于是?STD??C，从而?ANM??TDC?45???ADT．又?TAD??TAN，故△ADT≌△ANT，AN?AD，同理AM?AD．于是
FMN?2AD?2AB?AC?BC2AB?ACAB?AC22．
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ANMBSDTC
11．2．32★★分别以锐角三角形ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB、EBC、FAC．求证：(1)AE?DF；(2)AE?DF．
解析 (1)延长BD至点P，使DP?BD，连结AP、CP．因为△DAB是等腰直角三角形，所以
AB=BD2．又BP，所以?2BDAB2?．因为△EBC是等腰直角三角形，所以BP2AEAB22??，即AE?PC．又在△ADFPCBP22?PBC?45???ABC??ABE，于是△ABE∽△PBC，
和△APC中,有
AFAD2??，?DAF??PAC?45???DAC，所以△ADF∽△APC，ACAP2DFAD22??PC．所以，AE?DF． ，即DF?PCAP22PADFBC
(2)因为△ADF∽△APC，所以?ADF=?APC．又由△ABE∽△PBC，得?BAE??CPB,于是?DAE??ADF?45???BAE??ADF?45???CPB??APC90?．所以，?AE?DF． 11．2．33★★★已知△ABC，向外作正三角形△ABD与△ACE，P、Q分别是AD、CE的中点，R是BC上一点，BR?3CR，求△PQR的三个内角值．
E1111RS，解析 如图，作QS?AC于S，连结AQ、则SC?CQ?AC，于是RS∥AB， SR?AB?AP．
2242又SQ?1AQ，?RSQ??A?90???PAQ，故△PAQ∽△RSQ，且是顺相似，于是△PRQ∽△ASQ，2所以△PQR的内角依次为30?、60?、90?．
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PADFBCE
评注 ?A≥90?时结论不变．
11．2．34★★★已知：△ABC，向外作正三角形ACE和正三角形BCF，O1与O2依次是它们的中心，
D是AB中点，求证：?EDO1??FDO2．
解析 如图，设BC、CA的中点分别为P、Q，连结PO2F与QO1E，则
PFPFCQDP??3??， DQPCQO1QO1又?DPF??C?90???DQO1，故△DPF∽△O1QD，于是?DFO2??O1DQ，同理，由△DPO2∽△EQD，可得?DO2P??EDQ，于是?EDO1??EDQ??QDO1??DO2P??DFO2??FDO2．
ADQBPO2O1CE
11．2．35★★★已知锐角三角形ABC，AD、CE为高，H是垂心，ED、AC延长后交于P，G为AC中点，求证：PH?BG．
BG与AD交于J．C是调和点列，解析 如图，设HP与CD交于K，由面积知B、即D、K、
FCBCK，?BDDK又由梅氏定理，
BCDJAGJABCCK．又△ABD∽△CHD，且顺相似，HD?BD， ???1，即??BDJAGCDJBDDKCH?AB，K、J是对应点，故BJ?HK，即PH?BG．