第一章 质点运动学
一、填空题
1. 一质点作半径为R的匀速圆周运动，在此过程中质点的切向加速度的方向 改变 ，法向加速度的大小 不变 。（填“改变”或“不变”）
2. 一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移加速度大小at =________0.8______ m/s2。
3. 一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?19?2t2,则质点在任意时刻的速
随时间t的变化规律是
= 2
+ 4t2 (SI)。在t =2 s时，它的法向加速度大小an=_______25.6_______m/s2；切向
????度表达式为 ??2i?4tj ；加速度表达式为a??4j。
?4、沿半径为R的圆周运动，运动学方程为 ??1?2t2 (SI) ，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为an=（ 16 R t2 ） ；角加速度?=（ 4 rad /s2 ）（1 分）．
π12?t，则42其切向加速度大小为at=______0.1______m?s?2, 第1秒末法向加速度的大小为an5. 一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：??=______0.1______m?s?2.
6．一小球沿斜面向上作直线运动，其运动方程为：s?5?4t?t2，则小球运动到最高点的时刻是t=___2___s.
7、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?19?2t2,则质点在任意时刻的速
????度表达式为（ ??2i?4tj ）；加速度表达式为（ a??4j ）。
?8. 一质点沿半径R=0.4 m作圆周运动，其角位置?=2+3t2，在t=2s时，它的法向加速度an=( 57.6 )m/s2，切向加速度at=( 2.4 ) m/s2。
???29、已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。
?1则质点的运动轨迹方程y?（2?x2），由t?0到t?2s内质点的位移矢量?r?4??（4i?4j）m。
10、质点在OXY平面内运动，其运动方程为x?2t,y?10?t2，质点在任意时刻的
????2位置矢量为（2ti?(10?t)j）；质点在任意时刻的速度矢量为（2i?2tj）；加
?速度矢量为（?2j）。
二、选择题
1. 某质点作直线运动的运动学方程为x＝5t-2t3 + 8，则该质点作（ D ）。
(A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
???222. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 r?ati?btj（其中a、b为常量）, 则该质点作( C )。
(A) 匀速直线运动； (B) 抛物线运动； (C) 变速直线运动； (D)一般曲线运动。 3、某质点作直线运动的运动学方程为x?3t?5t（A）匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向 （B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向 （C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向 （D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向
4、一质点在x轴上运动，其坐标与时间的变化关系为x =4t-2t2，式中x、t分别以m、s为单位，则4秒末质点的速度和加速度为 ( B ) （A）12m/s、4m/s2； （B）-12 m/s、-4 m/s2 ； （C）20 m/s、4 m/s2 ； （D）-20 m/s 、-4 m/s2；
5．在一直线上相向运动的两个小球作完全弹性碰撞，碰撞后两球均静止，则碰撞前两球应满足：
3?6 (SI)，则该质点作（ D ）。
（ D ）。
（A）质量相等； (B) 速率相等；
(C) 动能相等； (D) 动量大小相等，方向相反。
6. 以下四种运动形式中，加速度保持不变的运动是（ A ）。 A．抛体运动； B．匀速圆周运动； C．变加速直线运动； D．单摆的运动.。
7、一质点沿x轴运动的规律是x?5t2?3t?3m。则第三秒时的加速度的大小是（ A ）m/s2。 A． 10 B．50； C．15； D．12。
8、质点做半径为1m的圆周运动，运动方程为?=3+2t2（SI单位），则t时刻质点的切向加速度的大小为at=（ C ）m/s2。 A． 1 B．3； C．4； D．8。
9、质点沿半径R做圆周运动，运动方程为??3t2?2t(SI单位)，则任意时刻质点角速度的大小?=（B）。
A．3t?1 B．6t?2； C．4t?2； D．6?2t。
10、质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?t,y度为（ B ）。
?10?t2,质点在任意时刻的加速
?
A．j B．2j；
C．3j； D．4j。
三、一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?12bt 运动，v0,b都是常量。 2（1） 求t时刻质点加速度的大小； （2） t为何值时总加速度在数值上等于b？
（3） 当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？ （1）由s?v0t?12bt可知v?v0?bt 22v2?v0?bt?dvat?? an???b a?anRRdt（2）a?2?at?2R2b2??v0?bt?Rv0 b4
an?at?22R2b2??v0?bt?R4?b 即v0?bt?0 t?22v0v012v012（3）t?带入s?v0t?bt s?v0t?bt? n?
22b4?bRb2四、质点P在水平面内沿一半径为1m的圆轨道转动，转动的角速度?与时间t的关系为??kt2，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。
解：由线速度公式 ??R??Rkt2?1?kt2 得 k??t2?16?4 22?2(4t2)2d?2
??16t4 m/s2 P点的速率为 ??4t m/s at??8t m/s an?R1dt2t=1时：??4t2?4?12?4(m/s) at?8t?8(m/s2)
an?16t4?16?14?16(m/s2) a?at?an?162?82?85?17.9(m/s2)
22五、已知质点的运动学方程为：r?8t2?3t?12i?6t2?8t?10j. 式中r的单位为米，t的单位为秒，求作用于质点的合力的大小。
解： v?????dr??16t?3?i?(12t?8)j dta?dv?16i?12j dt六、一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a = 3+2 t (SI) ,如果初始时质点的速度v 0为5m/s，则当ｔ为3s时，质点的速率 v为多大。
解：v?a(t)dt????3+2 t?dt?3t +t2?C
t?0时，v0?5 可得积分常量C?5m/s
速度为v?3t+t2?5 当t?3时，v?3??3t+t2?5?23 m/s
七、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?10?t2,求（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点在任意时刻的速度和加速度矢量。
x2（1）y?10?
4???（2） ??2i?2tj，
??a??2j
八、已知一质点的运动方程为r?at2i?bt2j（a、b为常数，且不为零），求此质点运动速度的矢量表达式、加速度的矢量表达式和轨迹方程。
v?a?dr?2ati?2btj dtdv?2ai?2bj dtx?at2 y?bt2
则将t2?xb代入y的表达式可得到质点运动的轨迹方程为y?x aa九、已知质量为3kg的质点的运动学方程为：r?3t2?2t?1i?4t2?6t?8j. 式中
????r的单位为米，t的单位为秒，求任意时刻的速度矢量和加速度矢量表达式。
解： v?dr??6t?2?i?(8t?6)j dta?dv?6i?8j dt（2） a?a?62?82?10m?s?2
F?ma?3?10?30N
十、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?4t,y?8?2t2,求（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点在任意时刻的速度和加速度矢量。
x2（1）y?8?
8（2） ??4i?4tj，
a??4j
十一、已知质量为10kg的质点的运动学方程为：r?8t2?3t?12i?6t2?8t?10j.
式中r的单位为米，t的单位为秒，求作用于质点的合力的大小。
解： v?????dr??16t?3?i?(12t?8)j dta?dv?16i?12j dta?a?122?162?20m?s?2
F?ma?10?20?200N
十二、有一质点沿 x 轴作直线运动， t 时刻的坐标为 x = 5t2 - 3t3 (SI). 试求（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度.
(1) v??x/?t??6m/s(2) v?dx/dt?10t?9t2,(3) a?dv/dt?10?18t,vat?2??16 m/s??26 m/s2t?2第四章 刚体的转动
一、填空题
1. 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成_____正比___，与刚体本身的转动惯量成反比。（填“正比”或“反比”）
2. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0；然后将两手臂合拢，使其转动惯量变为2J03，则转动角速度变为
3?02. 3．某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动角速度应变 大 ；转动惯量变 小 。
4、均匀细棒质量为m，长度为l，则对于通过棒的一端与棒垂直的轴的转动惯量为（ml23），对于通过棒的中点与棒垂直的轴的转动惯量（ml212）。
5、长为L的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为（
3g2L ），细杆转动到竖直位置时角加速度为（ 零 ）。
6. 一长为l?1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面呈60°，然后无初转速地将棒释放，已知棒对轴的转动惯量为
12ml，则(1) 放手时棒的角加速度为（ 7.5 ）rad/s2；(2) 棒转到水平位置时的角加3速度为（ 15 ）rad/s2。（g?10m/s2）
7、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度?（ 减小 ）。
8一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时细棒的角加速度应为（
9、某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动的角速度( 变大 ) 10、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为ML23。一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为
3g ）。 2lv2，则此时棒的角速度应为（ 3mv ）。
2ML 二、选择题
1、长为L的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。
O 俯视图 12?v ?v 如果将细杆置于水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动瞬间杆的角加速度和细杆转动到竖直位置时的角加速度分别为：（ B ）
（A）0;
3g2L (B)
3g2L; 0 (C) 0；
3gL （D）
3gL；0。
2. 刚体定轴转动，当它的角加速度很大时，作用在刚体上的（ B ）。 A．力一定很大； B．力矩一定很大； C．力矩可以为零； D．无法确定。
3. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0，然后将两手臂合拢，使其转动惯量为
2J0，则转动角速度变为（ C ）。 3A．?0 B.
2323?0 C. ?0 D.
323?0 24、如图所示，A、B为两个相同的定滑轮，A滑轮挂一质量为m的物体，B滑轮受力F = mg，设A、B两滑轮的角加速度分别为?A和?B，不计滑轮的摩擦，这两个滑轮
的角加速度的大小关系为：( B ) （A） ?A??B （B） ?A??B （C） ?A??B （D） 无法判断
A B mg F =
5. 刚体定轴转动，当它的角加速度很大时，作用在刚体上的（ B ）。 A．力一定很大； B．力矩一定很大； C．力矩可以为零； D．无法确定。
6、两个均质圆盘A和B的密度分别为?A和?B，若?A??B，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB，则 ：（ B ） （A）JA?JB （B）JA?JB（C）JA?JB（D）JA、JB哪个大，不能确定。
7、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的（ A ）。
(A) 动量不守恒，角动量守恒； (B) 动量不守恒，角动量不守恒； (C) 动量守恒，角动量不守恒； (D) 动量守恒，角动量守恒
8、均匀细棒 oA 可绕通过其一端 O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是：（ A ）
（A） 角速度从小到大，角加速度从大到小。 （B） 角速度从小到大，角加速度从小到大。 （C） 角速度从大到小，角加速度从大到小。 （D） 角速度从大到小，角加速度从小到大。
9、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法正确的是（ C ） （A）只取决于刚体质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。
（D）只取决于轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
10.在某一瞬时，物体在力矩作用下，则有（ C ）。 (A) 角速度?可以为零，角加速度?也可以为零； (B) 角速度?不能为零，角加速度?可以为零； (C) 角速度?可以为零，角加速度?不能为零； (D) 角速度?与角加速度?均不能为零。
三、如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相连，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无相对滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为
o?A1MR2，2滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程:
对物体： mg?T=ma 对滑轮： TR=J? 运动学关系：a=R? 解方程组，得 a=. M m R mg
m + M / 2mg t
m + M / 2∵ v0 ＝ 0， ∴ v = at =
四、一质量为m0 ，长为l 的棒能绕通过O点的水平轴自由转动。一质量为m，速率为v0的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点且留在棒内，如图所示。则棒中点获得的瞬时速率为多少。 解：由角动量守恒定律可得
O v0 l1?l?mv0?m????m0l2?
23?2?由此可得棒和子弹的瞬时角速度为??棒中点获得的瞬时速率为
26mv0
3ml?4m0lv??r?
6mv03mv0l??
3ml?4m0l23m?4m0五、如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计。设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角加速度。
解：作受力图。 m1g-T1=m1a ① T2-m2g=m2a ② (T1-T2)r=J?且有a?r? ③ ④
由以上四式消去T1，T2得：
?= (m1-m2)gr/[(m1+m2)r2+J]
六、如图所示，均匀直杆质量为m，长为l，初始时棒水平静止。轴光滑，
AO?
l。求杆下摆到?角时的角速度?。 4解 对于杆和地球系统，只有重力做功，故机械能守恒。 mgl1sin??J?2 ① 42A l , m Oθ O· B 直杆的转动惯量为OA段和OB段转动惯量的叠加，所以
J?J0?md2?12l7ml?m()2?ml2 ② 124486gsin? 7lω 将②代入①，解得 ??2
七、一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上（可看作圆环），可绕固定轴O转动．另一质量为m0的子弹（可看作质点）以速度v0射入轮缘，并留在轮内。开始时轮是静止的，求子弹打入后车轮的角速度。
J?mR2 m0v0R?(m?m0)R2?
??
m0v0
(m?m0)R八、长为l的木杆,质量为M,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。今有一子弹质量为m,以水平速度v射入杆的一端,并留在其中,求木杆获得的角速度（J?
1Ml2）。 12l1l?Ml2??m()2? 2122mv
6mv (M?3m)l??
九、一轻绳跨过两个质量为m、半径为 r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为3m和m的重物，如图所示，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮
mr2的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为3m和m的重物组成的系统从静止
2释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力T2。 解： 列牛顿第二定律方程
3mg?T3?3ma T1?mg?ma
根据M?J?
1122(T3?T2)r?mr? (T2?T1)r?mr?
22T3m,rT2m,rT13mma?r? a?28g T2?mg
5512ml，和一质量也为m的小球牢固地连在杆的一3十、均质细棒长为l质量为m，J?端，可绕过杆的另一端的水平轴转动。在忽略转轴处摩擦的情况下，使杆自水平位置由静止状态开始自由转下，试求：（1）当杆与水平线成θ角时，刚体的角加速度；（2）当杆转到竖直线位置时，刚体的角速度，小球的线速度。 解：（1）由转动定律得
l1mgcos??mglcos??(ml2?ml2)??
23. ? ??9gcos? 8l（2）由机械能守恒得
mg32l11?mgl?(ml2?ml2)?2 2233g (1分) v?gl
2l??
十一、质量为M，长为L的均匀的细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动，由于此竖直放置的细杆处于非稳定的平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆与竖直线成?角时的角速度和角加速度。
ml2mglsin? M?J? M? J?
323gsin???
2ld?d?3gsin?d?3gsin????
dtd?2ld?2l
θ ??0?d????03gsin?3g?1?cos??d? ??
2ll十二、如图所示：长为L的匀质细杆，质量为M可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆。求：（1）开始转动的瞬间，细杆的角加速度为多少？（2）细杆转动到竖直位置时角速度为多少？ 解：（1）开始转动的瞬间 mgL?J? 2123g mL ??2L3 J?（2）垂直位置时 mgL1?J?2 22 ??
3g L十三、轻绳绕于半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以大小为98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg?m2。设绳子与滑轮间无相对滑动，飞轮和转轴间的摩擦不计。试求： ?（1） 飞轮的角加速度；
（2） 如以质量m=10kg的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。 （1）由转动定律 M?J?
??MF?r98?0.2???39.2rad/s2 JJ0.5??（2）对物体应用牛顿运动定律 mg?T?m?a 对滑轮应用转动定律 ?T?r?J???? 利用关系 a?r? 由以上各式解得
??mJmr?rg?mrg10?0.2?9.82 ??21.8rad/s22mr?J10?0.2?0.5??
十四、如图所示，有两个转动惯量分别为J1、J2的圆盘，它们分别以角速度?1 、?2绕
水平轴转动，且旋转轴在同一条直线上。当两个圆盘在沿水平轴方向的外力作用下，啮合为一体时，其角速度为?。求两圆盘啮合后共同的角速度 ? 。 解：根据角动量守恒
J1J2J1?1?J2?2?(J1?J2)?
J1?1?J2?2??
J1?J2
?1?2第九章 静电场
二、主要内容 1、库伦定律：F?q1q2r
4??0r312、电场强度：E?F q0电场强度的叠加原理：E?E1?E2?E3?… 电荷连续分布的带电体的场强：E?dE??dq?4??0r3r
1（1）线状分布：E?14??014??0?l?dlrr2r （2）面状分布：E?14??0??s?dsrr2r
（3）体状分布：E????V?dVrr2r1
n3、静电场的高斯定理：
??E?dS???q
iS0i?14、静电场的环路定理：E?dl?0
?L5、电势：UP???PE?dl
电势的叠加原理：U?U1?U2?U3?… 电荷连续分布的带电体的电势：U?dU??dq?4??0r
1（1）线状分布：U?14??014??0?l?dlr （2）面状分布：U?14??0??s?dsr
（3）体状分布：E????V?dVr
6、导体的静电平衡条件
电场表述：（1）导体内部场强处处为零；（2）导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直，且E??e/?0。
电势表述：（1）导体是等势体；（2）导体表面是等势面。 7、电介质中的高斯定理：
??D?dS??q 各向同性线性电介质：D???E??E
i0rnSi?18、电容器的电容：C?Q?S 特例：平行板电容器的电容：C? Ud1Q211?QU?CU2 电容器储能：W?2C229、电场的能量密度：?e?三、习题及解答
1．在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是( D )
A.通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发的 D.由高斯定理求得的场强是空间所有电荷共同激发的
2、半径为R的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为： （ B ）
3、在真空中的A、B两平行金属板，相距为d，板面积为S（S→∞），各带电＋q和－q，
两板间的作用力f大小为( C )
11?0?rE2 电场能量：We?????edV?????0?rE2dV
22VV
(A)q2/?0S(B)q2/4??0d(C)q2/2?0S(D)q2/2?0Sd4、在静电场中，作一闭合曲面S，若有 D?ds?则0S面内必定（D）
?S
A．既无自由电荷，也无束缚电荷 B．没有自由电荷
C．自由电荷和束缚电荷的代数和为零 D．自由电荷的代数和为零
5．关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？（C）
A．起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断 B．任何两条电位移线互相平行
C．起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交 D．电位移线只出现在有电介质的空间
6、一带电体可作为点电荷处理的条件是（C）
（A）电荷必须呈球形分布。 （B）带电体的线度很小。
（C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 （D）电量很小。
7、真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q，在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为：（Ｂ）
q?Q1?q、Q1?q?Ａ、 B、 C Ｄ、 4??0r
8、有两个点电荷电量都是 +q，相距为2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面， 在球面上取两块相等的小面积S
1
Φ1Φ2和S, 其位置如下图所示。设通过S和 S的
21 2电场强度通量分别为 和 ,通过整个球面的电场强度通量为 则（D）
q???4??0?rR?4??0rQ?q????4??0?rR?ΦSA.Φ1?Φ2,ΦS?q/?0
B.Φ1?Φ2,ΦS?2q/?0D.Φ1?Φ2,ΦS?q/?0C.Φ1?Φ2,ΦS?q/?09、两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为?(?>0)及－2 ?，如图所示，试
写出各区域的电场强度
x轴正向.?区 的大小 ，方向 .
E??/2?0E?3?/2?0x轴正向??区 的大小 ，方向 .
x轴负向???区 的大小 ，方向 .
E??/2?010、下列几个说法中哪一个是正确的？（C）
（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。
（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。
（C）场强方向可由 E=F/q 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试
验电荷所受的电场力。 ( D )以上说法都不正确。
11、下面说法正确的是 (D)
(A)等势面上各点场强的大小一定相等； (B)在电势高处，电势能也一定高； (C)场强大处，电势一定高；
(D)场强的方向总是从电势高处指向低处.
12、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可肯定：（C） （A）高斯面上各点场强均为零。
（B）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 （C）穿过整个高斯面的电通量为零。 （D）以上说法都不对。
13．真空中有一半径为R均匀带正电的细圆环，其电荷线密度为λ，则电荷在圆心处
E 的大小为 0 。 产生的电场强度
14、一质量为m、电量为q的小球，在电场力作用下，从电势为U的a点，移动到电
2qU2a点的速率势为零的b点，若已知小球在b点的速率为V，则小球在Vv?babm＝ 。
15、 设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为??kr(0?r?R) ??0 (r?R) k为一常量。试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场
强度E与r的函数关系。
分析：通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电场分布。由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有根据高斯定理
?sE?ds?E?4?r2
?sE?ds??dV，可解得电场强度的分布。 ??1（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq???4?r'2dr'，每个带电球壳在壳内激发的电场dE?0，而在球壳外激发的电场 dE?rdq4??0r2er 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
RE(r)??dE (0?r?R) E(r)??dE (r?R)
00解1：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
?sE?ds?1???dV得球体内(0?r?R)
2?k4kr2E(r)4?r??kr4?rdr?r,E(r)?er
?0?04?021r球体外(r?R) E(r)?4?r?2?0?01R?k4kR4kr4?rdr?R,E(r)?e 2r?04?0r2解2：将带电球分割成球壳，球壳带电dq??dV?kr'4?r'2dr' 由上述分析，球体内(0?r?R) E(r)??r01kr'?4?r'2dr'kr2er?er 24??0r4?0 球体外(r?R) E(r)??R01kr'?4?r'2dr'kR4er?e 22r4??0r4?0r16、 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？
分析： 通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球面对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场分布，再由Vp???PE?dl可求得电势分布。
（2）利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为
V?Q4??0r
在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势V?Q4??0R，
其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。 解1：（1）由高斯定理可求得电场分布
E1?0,(r?R1)，E2?由电势V?14??0re,(R1?r?R2)，E3?2rQ1?Q2er,(r?R2) 24??0r??rE?dl可求得各区域的电势分布。
当r?R1时，有
V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2?Q11Q?Q2?0?1(?)?14??0R1R24??0R2?Q14??0R1?Q24??0R2
当R1?r?R2时，有
V2??E2?dl??E3?dlrR2R2?Q111Q1?Q2 ?(?)?4??0rR24??0R2Q14??0r?Q1?Q2
4??0R2?当r?R2时，有V3???rE3?dl?Q1?Q2
4??0r（2）两个球面间的电势差
U12??E2?dl?R1R2Q111(?) 4??0R1R2解2：（1）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即r?R1，则
V1?Q14??0R1?Q24??0R2
若该点位于两个球面之间，即R1?r?R2，则V2?Q14??0r?Q1?Q2
4??0R2若该点位于两个球面之外，即r?R2，则V3?（2）两个球面间的电势差
Q1?Q2
4??0rU12?(V1?V2)r?R2?Q111(?) 4??0R1R217、 两个很长的共轴圆柱面(R1?3.0?10?2m,R2?0.10m)，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）r?0.05m处的电场强度。
解：（1）两圆柱面之间的电场强度为E?R2? 2??0r根据电势差的定义有U12?解得 ???R1E?dl??lnR2/R1 2??02??0U12?2.1?10?8C?m?1
lnR2/R1（2）解得两圆柱面之间r?0.05m出的电场强度 E???7475V?m?1 2??0r18、两同心带电球面,分别带等量异号电荷Q。内球面半径R1，带电量+Q；外球面半径R2，带电量-Q。求球面内外的场强分布和两球面间的电势差。 解：E1?0(r?R1)
E2?Q4??0r2(R1?r?R2)
E3?0(r?R2) U??R2Q4??0rR1dr?2Q4??0(11?) R1R2
19、如图所示，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别是R1、R2，单位长度上的电荷为λ，内筒带正电，外筒带负电，求空间各点的电场强度及两筒间的电势差。
解： (1) 作同轴圆柱面为高斯面，设筒面高为L，根据高斯定理
E?2?rl??q/?0
对r?R1， 对R1?r?R2，对r?R2，
?q?0，E1?0
?q??L，E2?? 2??0r?q?[??(??)]L，E?0
(2) 两筒间电势差
V??R2R1R??dr?ln2 2??0r2??0R120、在真空中，有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球壳，其电荷是面分布的。试求：（1）球壳内两点rA、rB间的电势差；（2）球壳外两点rC、rD间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳内任意点的电势。
??解：由高斯定理可求得电场分布 ?E?dS?SE1?0 r?R（2分） E2?（1）球壳内两点的电势差 VA（2）球壳外两点的电势差
?q
?0Q4??0r2 r?R
rBA?VB??r??E1?dl?0
VC?VD??rrDCQ??E2?dl?4???0rDrCdrr2?Q4??0rC?Q4??0rD
（3）球壳外任意点的电势 V??r???Q E2?dl?4??0r（4）由于带点球壳是一个等势体，当r?R时得球壳表面及内部的电势
V?Q4??0R
21、电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心为r(r ??解：由高斯定理?E?ds?s?q 得： ?0当r>R时，E1?当r 4??0r2 1 Qr 4??0R3rPR1VP???P??????R?E?dl??E2?dl??E1?dl 沿径向路径积分得 2)1Q(3R2?rP VP??E2?dr??E1?dr?3rPR4??02RR?22、两个同心球面的内、外半径分别为R1和R2，内球带电量为+Q，外球带电量为+3Q，电荷均匀分布在球面上。求：空间中各区域的电场强度。 r?R1时E1?0 R1?r?R2时E2?R2?r时E3? Q4??0r2 4QQ? 4??0r2??0r223、如图所示，长L的直导线AB上均匀地分布着线密度为?的电荷。求在导线的延长线上与导线一端B相距d处P点的场强大小。 解： 在导线上取电荷元?dx。 ALBdP电荷元?dx在P点所激发的场强大小为 dEP?1?dx24??0(L?d?x) 导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿x轴正方向，大小为 EP??dEP??QL1?dx 04??0(L?d?x)211?(?)4??0Ldd?L 24、图中所示为一沿 x 轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为?=?(x-a), ?为一常量。取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势。 00 aO 解、 lx U??dUq??a?la?l?aa?l?dx?0?0ln4??0x4??04??0a25、如图所示，C1?0.25?F，C2?0.15?F，C3?0.20?F，C1上电压为50 V.求： UAB. 解: 电容C1上电量 Q1?C1U1 电容C2与C3并联C23?C2?C3 其上电荷Q23?Q1 ∴ U2?Q23C1U125?50?? C23C2335UAB?U1?U2?50(1? 25)?86 V 35