第6讲 一元二次方程

一、 知识清单梳理 知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 21. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2例：方程axa?2?0是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1. （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. 解一元二次方程时，注意观( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. 察， 先特殊后一般，即先考2.一元二次方程的解法 ?b?b2?4ac( 3 )公式法:一元二次方程 ax＋bx＋c＝0的求根公式为x=2a2虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6. （b-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 2知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)当Δ＝b?4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根． 22例：方程x2?2x?1?0的判别式3.根的判别式 等于8，故该方程有两个不相等的(2)当Δ＝b?4ac=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝b2?4ac<0时，原方程没有实数根． 实数根；方程x2?2x?3?0的判别式等于－8，故该方程没有实数根. （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分与一元二次方程两根相关代数式的别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件*常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,1x1?1x1?x2等. ?x2x1x24.根与系数的关系 是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0. 知识点三 ：一元二次方程的应用 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 4.列一元二次方程解应用题 （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

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