第一章 运动的描述

｜与 有无不同?

在哪里?试举例说明．

1-1 ｜解：（1）

和有无不同? 和有无不同?其不同

是位移的模，是位矢的模的增量，即，；

（2）是速度的模，即.

只是速度在径向上的分量.

∵有（式中叫做单位矢），则

式中就是速度径向上的分量，

∴不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)∵有

表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.

表轨道节线方向单位矢），所以

式中就是加速度的切向分量.

(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据 =，及＝计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

而求得结果；又有人先

=及=

你认为两种方法哪一

种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有

，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速

度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加

速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在

平面上运动，运动方程为

=3+5, =

2

+3-4.

式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1） (2)将

,

代入上式即有

(3)∵

∴

(4)

则 (5)∵

(6)

这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以

(m·

)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成

将上式对时间求导，得

角，由图可知

根据速度的定义，并注意到,

是随减少的，

题1-4图

∴

即

或

将再对求导，即得船的加速度

1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6的单位为 m. 质点在＝0处，速度为10值．

，的单位为，

,试求质点在任何坐标处的速度

解： ∵

分离变量： 两边积分得

由题知，

时，

,∴

∴

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3 5 m， =0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．

，开始运动时，＝

解：∵

分离变量，得

积分，得

由题知，, ,∴

故

又因为

分离变量，

积分得

由题知 , ,∴

故

所以时

1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解：

(1)时，

(2)当加速度方向与半径成

角时，有

即

亦即

则解得 于是角位移为

1-8 质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上

某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于．

解：（1）

则 加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

即

∴当时，

1-9 半径为的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点的

运动方程为＝，＝，式中/是轮子滚动的角速度，当与水平线接触的瞬间开始计时．此时所在的位置为原点，轮子前进方向为轴正方向；(2)求点速度和加速度的分量表示式．

解：依题意作出下图，由图可知

题1-9图 (1)

(2)

1-10 以初速度

＝20

抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，

；(2)落地处的曲率半径

．

求：(1)球轨道最高点的曲率半径

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图 (1)在最高点，

又∵

∴ (2)在落地点，

,

而

∴

，求＝

1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：当

时，

则

1-12 如题1-12图，物体端高为

处，

物体以

以相对的速度＝沿斜面滑动，为纵坐标，开始时在斜面顶

匀速向右运动，求物滑到地面时的速度．

解：当滑至斜面底时，地的速度为

，则,物运动过程中又受到的牵连运动影响，因此，对

题1-12图

1-13 一船以速率40km·h-1

＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有

，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-13图

由图可知

方向北偏西

(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

方向南偏东

1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷

高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s-1，求轮船的速率．

解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．

题1-14图

∵

∴ 由图中比例关系可知

第二章 运动定律与力学的守恒定律

2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为为

的物体，另一边穿在质量

的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加

速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为对加速度为

，故

，其对于

则为牵连加速度，又知

对绳子的相

对地加速度，由图(b)可知，为

①

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，有

②

联立①、②、③式，得

③

讨论 (1)若

，则

表示柱体与绳之间无相对滑动．

(2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时, 均作自由落体运动．

题2-1图

2-2 一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，

的方向与斜面底边的水平线

解: 物体置于斜面上受到重力方向为

轴.如图2-2.

平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

.建立坐标：取

方向为

轴，平行斜面与

，斜面支持力轴垂直

题2-2图

方向： ①

方向： ②

时

由①、②式消去，得

2-3 质量为16 kg 的质点在6 N，

＝-7 N，当＝0时，

平面内运动，受一恒力作用，力的分量为

0，

＝-2 m·s-1，

＝0．求

＝

当＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．

解：

(1)

于是质点在

时的速度

(2)

2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力时质点的速度为，证明(1) 时刻的速度为＝内经过的距离为

(为常数)作用，=0；(2) 由0到的时间

＝()［1-］；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当

时速度减至的，式中m为质点的质量．

答: (1)∵ 分离变量，得

即

∴

(2)

(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，

故有

(4)当t=时，其速度为

即速度减至的.

2-5 升降机内有两物体，质量分别为，，且＝2．用细绳连接，跨过

滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速＝g上升时，求：(1) 加速度各为多少?

解: 分别以

,

和相对升降机的加速度．(2)在地面上观察，的

为研究对象，其受力图如图(b)所示．

(1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为

，又

，则对地加速度；因绳不可伸长，故对

滑轮的加速度亦为在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以在水平方向对地加速度亦为

，由牛顿定律，有

题2-5图

联立，解得方向向下

(2) 对地加速度为

方向向上

在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即

∴

，左偏上．

2-6一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．

解: 依题意作出示意图如题2-6图

从地面抛出，若忽略空气

题2-6图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,

而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为

由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．

2-7 一质量为的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?

解: 由题知，小球落地时间为

．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为

．设向上为

轴正向，则动量的增量

，小球上跳速度的大小亦为

方向竖直向上，

大小

碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度

m·s-1的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

,沿轴正向，

若物体原来具有

初速，则

于是

,

同理， ,

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．

(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

亦即

解得，(舍去)

2-9 一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为

求质点的动量及＝0 到改变量．

解: 质点的动量为

时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的

将和分别代入上式，得

,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

,

2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受

的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到

枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

,得

(2)子弹所受的冲量

将代入，得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2-11 一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为

+

证明: 设一块为

，则另一块为

，

, -

及

于是得 ①

又设的速度为, 的速度为，则有

②

联立①、③解得

③

④

将④代入②，并整理得

于是有

将其代入④式，有

又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

证毕．

2-12 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

解: (1)由题知，

为恒力，

∴

(2)

(3)由动能定理，

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为

坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2-13图

第一锤外力的功为

①

式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，．

设第二锤外力的功为，则同理，有

②

由题意，有

③

即

所以， 于是钉子第二次能进入的深度为

2-14 设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为

, 试求质点所受保守力的大小和方向．

解: 方向与位矢

的方向相反，即指向力心．

2-15 一根劲度系数为的下端

一重物，的质量为比和弹性势 能之比．

解: 弹簧

及重物

的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，

，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之

受力如题2-15图所示平衡时，有

题2-15图

又

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

2-16 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离

是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为

处

，由万有引力定律，有

经整理，得

=

则

点处至月球表面的距离为

(2)质量为

的物体在

点的引力势能为

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为

和

的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为，自然长度等

，

与桌面间的摩擦系数为

，最初

静止于

点，

＝

,求它下落到

处时的速率．

于水平距离

＝，绳已拉直，现令滑块落下

解: 取

点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

式中

为弹簧在

点时比原长的伸长量，则

联立上述两式，得

题2-17图

2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度＝3m·s-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

式中

，

，再代入有关数据，解得

题2-18图

再次运用功能原理，求木块弹回的高度

代入有关数据，得 则木块弹回高度

,

题2-19图

2-19 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

解: 有

从

上下滑的过程中，机械能守恒，以

，

，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则

又下滑过程，动量守恒，以

,

为系统则在

脱离

联立，以上两式，得

瞬间，水平方向有

2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．

证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

即 ①

题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有

亦即

②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以互相垂直的．

为斜边，故知与是

2-21 一质量为的质点位于()处，速度为, 质点受到一个沿

负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．

解: 由题知，质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以，质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是

102m·s-1

＝5.46×104

m·s-1，它离太阳最远时的速率是

＝9.08×

这时它离太阳的距离

多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴

2-23 物体质量为3kg，=0时位于, ，如一恒力

作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化．

解: (1)

(2)解(一)

即

,

即

,

∴

∴

解(二) ∵

∴

题2-24图

2-24 平板中央开一小孔，质量为量为

的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质

的

的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡．今在

下方再挂一质量为的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少?

解: 在只挂重物时

，小球作圆周运动的向心力为

，即

①

挂上后，则有

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．

②

即

③

联立①、②、③得

2-25 飞轮的质量＝60kg，半径＝0.25m，绕其水平中心轴转动，转速为900rev·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求： (1)设转?

＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几

(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?

解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中、是正压力，、是摩擦力，和

是杆在

点转轴处所受支承力，

是轮的重力，

是轮在轴处所受支承力．

题2-25图（a）

题2-25图(b)

杆处于静止状态，所以对

点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有

对飞轮，按转动定律有

，式中负号表示

与角速度

方向相反．

∵

∴

又∵

∴ 以等代入上式，得

①

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了

转．

(2)，要求飞轮转速在内减少一半，可知

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体

和

相连，

和

则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设

＝10 kg，

＝

＝2 kg，且开始时

，

＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，

离地均为＝2m．求： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．

解: 设

,

和β分别为

,

和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

题2-26(a)图 题2-26(b)图

(1) ,和柱体的运动方程如下：

①

②

③

式中

而 由上式求得

(2)由①式

由②式

2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设

解: 分别以

,

＝50kg，＝200 kg,M＝15 kg, ＝0.1 m

,

运用牛顿定律，有

滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对

①

②

对滑轮运用转动定律，有

③

又， 联立以上4个方程，得

④

题2-27(a)图 题2-27(b)图

题2-28图

2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度；

的水平轴

(2)杆转过角时的角速度.

解: (1)由转动定律，有

∴ (2)由机械能守恒定律，有

∴

题2-29图

2-29 如题2-29图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速(2)相撞时小球受到多大的冲量?

，按题意，小

的值；

解: (1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

①

②

上两式中大角度

，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最，按机械能守恒定律可列式：

③

由③式得

由①式

④

由②式

⑤

所以

求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

题2-30图

2-30 一个质量为M、半径为并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上． (1)问它能升高多少?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．

解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

设碎片上升高度

时的速度为

，则有

令

，可求出上升最大高度为

(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的

角动量为，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即

式中

为破盘的角速度．于是

得

(角速度不变)

圆盘余下部分的角动量为

转动动能为

题2-31图

2-31 一质量为、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴

的子弹以速度

射入轮缘(如题2-31图所示方向)．

自由转动．另一质量为

(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? (2)用

,

和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．

轴的角动量守恒

解: (1)射入的过程对

∴

(2)

2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

又

故有

题2-32图 题2-33图

2-33 空心圆环可绕竖直轴自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为，

环半径为，初始角速度为．质量为的小球，原来静置于点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到点与点时，小球相对于环的速率各为多少?

解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至

点时，有

①

该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，则有

②

联立①、②两式，得

(2)当小球滑至

点时，∵

∴

故由机械能守恒，有

∴ 请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．

第三章 相对论

3-1 惯性系S′相对惯性系以速度运动．当它们的坐标原点与重合时，==0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．

解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．

解: 设光讯号到达前门为事件，在车厢系时空坐标为，在车站系：

光信号到达后门为事件，则在车厢系坐标为，在车站系：

于是

或者

3-3 惯性系S′相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为

=6×104m,=2×

10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?

解: 设

相对

的速度为

，

(1)

由题意

则

故

(2)由洛仑兹变换

代入数值，

′

3-4 长度=1 m的米尺静止于S′系中，与轴的夹角=30°，S′系相对S45． 试求：(1)S′

系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．

解: (1)米尺相对

静止，它在

轴上的投影分别为：

，

米尺相对变，即

沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不

故

把及代入

则得

故

(2)在系中测得米尺长度为

3-5 一门宽为，今有一固有长度(＞)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少?

解: 门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，则

解得杆的运动速率至少为：

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇?

解: 测得相遇时间为

测得的是固有时

∴

，

，

，

或者，

测得长度收缩，

3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1)

相对于的运动速度．

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．

解: 甲测得

,乙测得

，坐标差为

′

(1)∴

解出

(2)

∴

负号表示．

3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?

解:

∴

3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．

证: 设在

系

事件在

处同时发生，则

，在

系中测得

∴

即不同时发生．

，

3-10 试证明：

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．

解: (1)如果在仅当(2)若在系中

系中，两事件在同一地点发生，则最短．

，则在

系中，

，在系中，，

时，等式成立，∴系中同时发生，即最短．

，仅当时等式成立，∴

3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假

定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?

解: 以脉冲星为系，，固有周期.地球为系，则有运动时，这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传

递时间，

∴ ′

则

3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球．假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10-6s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球．

解: 介子在其自身静止系中的寿命

效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀

这段时间飞行距离为

因，故该介子能到达地球．

或在介子静止系中，

介子是静止的．地球则以速度接近介子，在时间内，地球接近的距离为

经洛仑兹收缩后的值为：

，故

介子能到达地球．

3-13 设物体相对S′系沿轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?

解: 根据速度合成定理，

,

∴

3-14 飞船以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解: 取

为

系，地球为

系，自西向东为

对

系(

(

)轴正向，则

对

系的速度

，

系对

系的速度为，则船)的速度为

发射弹是从

的同一点发出，其时间间隔为固有时

，

题3-14图 ∴

中测得的时间间隔为：

3-15 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行．试求由火箭测得的速度．(2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，求相对的速度．

解: (1)如图

，取地球为，则

相对

系，(

为

系，则

相对

的速度

，火箭

相对

的速度

)的速度为：

或者取

为

系，则

，

相对

系的速度

，于是

相对

的速度为：

(2)如图

，取地球为

,系，火箭

为

系，

系相对

系沿相对

方向运动，速度的速度为：

，

对

系的速度为,,由洛仑兹变换式

∴

相对

的速度大小为

速度与

轴的夹角

为

题3-15图

3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?

解:

系中光子运动速度的分量为

由速度变换公式，光子在

系中的速度分量为

光子运动方向与

轴的夹角

满足

在第二象限为在

系中，光子的运动速度为

正是光速不变．

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

J=

(2)

)

3-18 子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命=2×10-6s，若它在实验室参考系中的平均寿命= 7×10-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?

解: 设

子静止质量为

，相对实验室参考系的速度为

，相应质量为

，电子静止质量为

，

因

由质速关系，在实验室参考系中质量为：

故

3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?

解: 设静止质量为

，运动质量为

，

由题设

由此二式得

∴

在运动方向上的长度和静长分别为和，则相对收缩量为：

3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg．

解: 由质能关系

∴

＝

所需电势差为伏特

由质速公式有：

∴

故电子速度为

3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能＝2.8×109eV．这种电子速率

比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为＝0.511×106eV)

解:

所以 由上式，

由动量能量关系可得

3-22 氢原子的同位素氘(H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为H + H

→He +

n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．

解: 反应前总质量为反应后总质量为质量亏损

由质能关系得

3-23 一静止质量为的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．

设裂变产生两个粒子的静质量分别为和，其相应的速度,

由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有

注意c,

和

必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以 c代入，将上二方程化为：

，

上二式联立求解可得：

,

故静质量亏损出的动能为

由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放

3-24 有，两个静止质量都是的粒子，分别以=,=-的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．

解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：

和

，碰撞后粒子的质量为

、速度为

，于

①

②

由于

代入①式得

，即为碰撞后静止质量．

3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．

解: 史瓦西半径

地球：

则：

太阳：

则：

3-26 典型中子星的质量与太阳质量⊙＝2×1030kg同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?

解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，

(2)

由

得

3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．

广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．

广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

第四章 机械振动

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用

描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中的回复力为

，如题4-1图(b)所示．题 中所述，

＜＜

，故

→0，所

以回复力为.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

令，则有

4-2 劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有簧的等效倔强系数为

等效位移为，则有

，设串联弹

又有

所以串联弹簧的等效倔强系数为

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为系统，故小球作谐振动．其振动周期为

的弹簧振子

(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有设并联弹簧的倔强系数为

，则有

故 同上理，其振动周期为

，即

，

4-3 如题4-3图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有

① ②

③

式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

令 则有

故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

4-4 质量为

作谐振动，求：

的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)

与

两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：

又

(2)

当

时，有

，

即

∴ (3)

4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为余弦函数表示．如果时质点的状态分别是：

(1)

；

，周期为，其振动方程用

(2)过平衡位置向正向运动；

(3)过处向负向运动；

(4)过处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：因为

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

4-6 一质量为的物体作谐振动，振幅为时位移为．求： (1)

，周期为

，当

时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；

处所需的最短时间；

(2)由起始位置运动到(3)在

处物体的总能量．

解：由题已知

∴ 又，

时，

故振动方程为

(1)将

代入得

方向指向坐标原点，即沿轴负向．

(2)由题知，时，，

时

∴

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为和一个质量为给予向上的初速度

的物体时，伸长为

．用这个弹簧

后 ，

的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开

，求振动周期和振动表达式．

解：由题知而

时，

( 设向上为正)

又

∴ 4-8 图为两个谐振动的

曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

解：由题4-8图(a)，∵时，

即

故

由题4-8图(b)∵时，

时，

又

∴

故

4-9 一轻弹簧的倔强系数为，其下端悬有一质量为的盘子．现有一质量为的物体从离盘底高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解：(1)空盘的振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大．

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，一系统动量守恒，即

时，则．碰撞时，以为

则有 于是

（3） (第三象限)，所以振动方程为

4-10 有一单摆，摆长起点

，摆球质量

，当摆球处在平衡位，取打击时刻为计时

置时，若给小球一水平向右的冲量

，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．

解：由动量定理，有

∴

按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知＞0 ∴

时，

又

∴ 故其角振幅

小球的振动方程为

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为以及第一、第二两振动的位相差．

，位相与

，求第二个振动的振幅

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

∴ 设角

，则

即

即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为.

4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

(1) (2)

解： (1)∵ ∴合振幅

(2)∵ ∴合振幅

4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

解：∵

∴

∴ 其振动方程为

(作图法略)

*

4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知方向的振动方程为，求方向的振动方程．

题4-14图

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为时针方向旋转，故知两分振动位相差为

或；又，轨道是按顺

.所以方向的振动方程为

第五章 机械波

5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置

，又是时间的函数，即

．

(2)在谐振动方程中只有一个独立的变量时间，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位

和时间，它描述的

移随时间变化的规律；平面谐波方程中有两个独立变量，即坐标位置是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．

当谐波方程中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线曲线

描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为

，横轴为；波动，横轴为

．每

一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置

的波动曲线就是不同时刻的波形图．

变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻

5-2 波动方程=cos［()+］中的表示什么?如果改写为=

(

)+

cos ］

()，又是什么意思?如果和均增加，但相应的［的值不变，由此能从波动方程说明什么?

解: 波动方程中的表示了介质中坐标位置为的质元的振动落后于原点的时间；则表示处质

元比原点落后的振动位相；设时刻的波动方程为

则

时刻的波动方程为

其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，当，

均增加时，的值不会变化，而这正好说明了经过时间，波形即向前传播了的距

离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．

5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?

解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为则是与

，则相对形变量(即应变量)为

.波动势能

的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振

动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

题5-3图

对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．

5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成=cos(吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?

)时，波源一定在坐标原点处

解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选

在波源处，同样，的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．

5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?

解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为

．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，

同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．

5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?

解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(

)会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，

波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即，因而单位时间内通过观察者完整波的数目也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．

题5-6 图多普勒效应

5-7 一平面简谐波沿

轴负向传播，波长

=1.0 m，原点处质点的振动频率为

=2. 0 Hz，振幅

＝0.1m，

且在=0时恰好通过平衡位置向轴负向运动，求此平面波的波动方程．

解: 由题知时原点处质点的振动状态为，故知原点的振动初相为,取波动方程为

则有

5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为=

，， 为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程；

cos()，其中

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差．

解: (1)已知平面简谐波的波动方程

(

将上式与波动方程的标准形式

)

比较，可知：

波振幅为，频率，

波长，波速，

波动周期(2)将

．

代入波动方程即可得到该点的振动方程

(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为

将，及代入上式，即得

．

5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为=0.05cos(10,以米计，以秒计．求： (1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

)，式中

(3)求=0.2m处质点在=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在=1.25s时刻到达哪一点?

解: (1)将题给方程与标准式

相比，得振幅，频率，波长，波速．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

(3)

m处的振动比原点落后的时间为

故

,

时的位相就是原点(

)，在

时的位相，

即 设这一位相所代表的运动状态在

π．

s时刻到达

点，则

5-10 如题5-10图是沿轴传播的平面余弦波在时刻的波形曲线．(1)若波沿轴正向传播，该时刻，，，各点的振动位相是多少?(2)若波沿轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?

解: (1)波沿

轴正向传播，则在时刻，有

题5-10图

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴点位相，应落后于

点的位相)

(取负值：表示

(2)波沿轴负向传播，则在时刻，有

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴

对于点：∵，∴点位相超前于

点的位相)

(此处取正值表示

5-11 一列平面余弦波沿轴正向传播，波速为5m·s-1，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；

(2)作出=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．

解: (1)由题5-11(a)图知， m，且时，，∴，

又，则

题5-11图(a)

取 则波动方程为

，

(2)

时的波形如题5-11(b)图

题5-11图(b) 题5-11图(c) 将

m代入波动方程，得该点处的振动方程为

如题5-11(c)图所示．

5-12 如题5-12图所示，已知=0时和=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2)点的振动方程．

解: (1)由题5-12图可知，，，又，时，，∴，而

，

故波动方程为

，∴

(2)将

代入上式，即得

点振动方程为

题5-12图

5-13 一列机械波沿轴正向传播，=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) 点的振动方程及振动曲线； (3) 点的坐标； (4)

点回到平衡位置所需的最短时间．

解: 由题5-13图可知，时，，∴，由题知，

，则

∴ (1)波动方程为

题5-13图

(2)由图知，时，，∴ (点的位相应落后于点，故取负值)

∴点振动方程为

(3)∵

∴解得

点回到平衡位置应经历的位相角

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由

题5-13图(a)

∴所属最短时间为

5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为= cos(

)．

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距

点距离为的

点的振动方程．

解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为

如图(b)，则波动方程为

题5-14图

点的振动方程为

(2) 如题5-14图(a)，则

如题5-14图(b)，则点的振动方程为

5-15 已知平面简谐波的波动方程为(SI)．

(1)写出=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?

(2)画出=4.2 s时的波形曲线．

解:(1)波峰位置坐标应满足 解得

(

．

…)

所以离原点最近的波峰位置为

∵ 故知,

∴ ，这就是说该波峰在

，即该波峰是在

前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是

时通过原点的．

题5-15图

(2)∵，∴，又处，时，

又，当

时，

，则应有

解得 ，故时的波形图如题5-15图所示

5-16 题5-16图中(a)表示=0时刻的波形图，(b)表示原点(=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出=2m处质元的振动曲线．

解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知

,

，且

时，

，

故知,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿轴负向传播，

且，若取

题5-16图

则波动方程为

5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300 Hz，波速为300m·s-1，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?

解: (1)∵

∴

(2)

5-18 如题5-18图所示，和位相超前(1) (2)

，求：

为两相干波源，振幅均为，相距，较

外侧各点的合振幅和强度； 外侧各点的合振幅和强度

外侧，距离

为的点，

传到该

点引起的位相差为

解：（1）在

（2）在

外侧.距离

为的点，

传到该点引起的位相差.

5-19 如题5-19图所示，设动方程为

;

点发出的平面横波沿点发出的平面横波沿

方向传播，它在方向传播，它在

点的振点的

振动方程为，本题中以m计，以s计．设

＝0.5 m，波速=0.2m·s-1，求： (1)两波传到P点时的位相差； (2)当这两列波的振动方向相同时，

处合振动的振幅；

处合振动的振幅．

＝0.4m，

*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，

解: (1)

题5-19图

(2)

点是相长干涉，且振动方向相同，所以

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为

，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

5-20 一平面简谐波沿轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为波速为． (1)若=0时，原点动方程；

，频率为

处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波

(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．

解: (1)∵时，，∴故波动方程为

m

题5-20图

(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将代入)

在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

，再考虑到波由波疏入射而

若仍以

点为原点，则反射波在

点处的位相为

，因只考虑

波动方程为

以内的位相角，∴反射波在点的位相为，故反射波的

此时驻波方程为

故波节位置为

故 (…)

根据题意，只能取，即

5-20 一驻波方程为=0.02cos20cos750 (SI)，求： (1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离．

解: (1)取驻波方程为

故知

，则，

∴

(2)∵所以相邻两波节间距离

5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为=0.1cos(13+0.0079) (SI)

试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在=0处为波 节．

解: 为使合成驻波在方程为

处形成波节，则要反射波在

处与入射波有

的位相差，故反射波的波动

5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为 =0.06cos(

)(SI),

=0.06cos(

)(SI)．

(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；

(2)波腹处的振幅多大?

=1.2m处振幅多大?

解: (1)它们的合成波为

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令

，则

，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

令,则

m；

，

…，此即波节的位置．

处的振幅由下式决定，即

(2)波腹处振幅最大，即为

5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330m·s-1，求汽车的速率．

解: 设汽车的速度为

，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为

汽车驶离车站时，车站收到的频率为联立以上两式，得

5-25 两列火车分别以72km·h-1和54 km·h-1的速度相向而行，第一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m·s-1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?

解: 设鸣笛火车的车速为的频率为

，接收鸣笛的火车车速为

，则两者相遇前收到

两车相遇之后收到的频率为

第六章 气体动理论基础

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化． 力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?

解：平均速率

21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0

方均根速率

6-5 速率分布函数子数)．

为分子数密度，

为系统总分

的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

解：：表示一定质量的气体，在温度为占总分子数的百分比. () (

)

：表示分布在速率：表示分布在速率

的平衡态时，分布在速率附近单位速率区间内的分子数

附近，速率区间附近、速率区间

内的分子数占总分子数的百分比. 内的分子数密度．

() ：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数．

()：表示分布在区间内的分子数占总分子数的百分比．

()：表示分布在的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是.

()：表示分布在区间内的分子数.

6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有

的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率均速率．

6-7 容器中盛有温度为

表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平

的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断

地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是

.

6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小． 6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中()表示氧，(

)表示氢；图(b)中(

)温度高．

题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．

6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；

(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：()

，(

)，(

)

6-13 试说明下列各量的物理意义．

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

解：()在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为T．

()在平衡态下，分子平均平动动能均为.

()在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为.

()由质量为，摩尔质量为，自由度为的分子组成的系统的内能为.

(5) 摩尔自由度为的分子组成的系统内能为.

(6) 摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能

之总和为.

6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?

(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能．

解：()由知分子数密度相同；

()由知气体质量密度不同；

()由知单位体积内气体分子总平动动能相同；

(4)由知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．

6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为理想气体的内能．

的理想气体的所有分子的热运动能量称为

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

是温度的单值函数．

6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能．

解：()相等，分子的平均平动动能都为．

()不相等，因为氢分子的平均动能，氦分子的平均动能．

()不相等，因为氢分子的内能，氦分子的内能．

6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为 27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?

解：由理想气体状态方程 得

汞的重度

氦气的压强

氦气的体积

6-18 设有(1)分布函数(2)与

个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求

的表达式；

之间的关系；

到2.0

之间的粒子数．

(3)速度在1.5

(4)粒子的平均速率．

(5)0.5

到1

区间内粒子平均速率．

题6-18图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

满足归一化条件，但这里纵坐标是(2)由归一化条件可得

而不是

故曲线下的总面积为

，

(3)可通过面积计算(4)

个粒子平均速率

(5)

到

区间内粒子平均速率

到

区间内粒子数

6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于总分子数的百分比．

与之间的分子数占

解：令，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

因为

,

由 得

6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求 (1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度均距离；(5)平均速率；(6)方均根速率

解：(1)由气体状态方程

得

；(4)分子间的平

；(7)分子的平均动能．

(2)氧分子的质量

(3)由气体状态方程 得

(4)分子间的平均距离可近似计算

(5)平均速率

(6) 方均根速率

(7) 分子的平均动能

6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

平动动能

转动动能

内能

6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．

解：(1)因为 则

(2)由平均速率公式

6-23 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)．

解：由气体状态方程得

由平均自由程公式

6-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10 m)?

解：(1)碰撞频率公式

对于理想气体有，即

所以有

而

氮气在标准状态下的平均碰撞频率

气压下降后的平均碰撞频率

6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程

及

方均根速率公式

对于理想气体，，即

所以有

6-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×105 Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×105 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度．

解：气体压强随高度变化的规律：由及

6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)． 解：压强随高度变化的规律

第七章 热力学基础

7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．

（1） （2）

（3） （4）

解：(1)不正确，

(2)不正确，

(3)不正确，

(4)不正确，7-2

图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?

答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于因为

还与吸热

有关．

，面积越大，效率不一定高，

7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由． 解：各图中所表示的循环过程作功都为

．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环

．

方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为

题7-3图

7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在

图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．

题7-4图

解：1.由热力学第一定律有 若有两个交点经等温

和

，则

过程有

经绝热

过程

从上得出

，这与

,

两点的内能变化应该相同矛盾．

2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为

，违背了热力学第二定律．

7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1)

各是什么过程；

图；

(2)画出对应的

(3)该循环是否是正循环?

(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积?

(5)用图中的热量

表述其热机效率或致冷系数．

解：(1) 是等体过程

，

为斜率

过程：从图知有

由 得

故

过程为等压过程 是等温过程 (2)

图如题

图

题

图

(3)该循环是逆循环

(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是

图中的图形．

(5)

题7-5图 题7-6图

7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等；

(3)效率是否相同?

答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同． 7-7 评论下述说法正确与否?

(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；

(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．

(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程．

答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．

(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是

可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：

，如果P为不可逆过程，其熵变为

表述要修改，如何修改？

答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程

，你说对吗？哪一个

为可逆过程其熵变为：

，如果过程为不可逆过程，其熵变为

7-9 根据

程熵变?为什么?说明理由．

及，这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过

答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．

7-10 如题7-10图所示，一系统由状态沿热量传入系统，而系统作功126 J． (1)若沿

到达状态b的过程中，有350 J

时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?

(2)若系统由状态递是多少?

沿曲线返回状态时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传

题7-10图 解：由

过程可求出

态和

态的内能之差

过程，系统作功

系统吸收热量

过程，外界对系统作功

系统放热

7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变；

(2)压力保持不变． 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得

吸热

对外作功 (2)等压过程

吸热

内能增加

对外作功

运动，若

7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为，比热容比为的理想气体，整个容器以速度容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)．

解：整个气体有序运动的能量为，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变化

7-13 0.01 m3氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩

由 求得体积

对外作功

(2)绝热压缩

由绝热方程

由绝热方程

得

热力学第一定律

，

所以

，

7-14 理想气体由初状态

经绝热膨胀至末状态

．试证过程中气体所作的功为

，式中

答：证明： 由绝热方程

为气体的比热容比.

得

又

所以

为直线，延长线通过原点O．求

过程气体对

7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，外做的功．

题7-15图 解：设

由图可求得直线的斜率

为

得过程方程

由状态方程

得

过程气体对外作功

7-16 某理想气体的过程方程为解：气体作功

为常数，气体从

膨胀到

．求其所做的功．

7-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示．试证其循环效率为

答：等体过程

吸热

绝热过程 等压压缩过程

放热

循环效率

题7-17图 题7-19图

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?

(3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

解：(1)卡诺热机效率

(2)低温热源温度不变时，若

要求

K，高温热源温度需提高

(3)高温热源温度不变时，若

要求

K，低温热源温度需降低

7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中热过程，已知

点和

点的温度分别为

和

和是等压过程，和为绝

．求此循环效率．这是卡诺循环吗?

解：(1)热机效率

等压过程

吸热

等压过程

放热

根据绝热过程方程得到

绝热过程

绝热过程

又

(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

℃→

℃时，需作功

℃→

℃时，需作功

(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

7-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态经历三种不同的过

程到达末态． 图中1→2为等温线，1→4为绝热线，4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变．

题7-21图 解：

熵变

等温过程 ,

熵变