(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围。 解 (1)设椭圆的标准方程为
y2x2
＋＝1(a>b>0)， a2b2由题意可知2a＝4，＝又a－b＝c，
解得a＝2，c＝3，b＝1， 故椭圆C的方程为＋x＝1。
4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2
2
ca3， 2
y2
2
y??x2＋＝1，4由???y＝kx＋1
2
2
2
得(k＋4)x＋2kx－3＝0， 故x1＋x2＝－
2k3
，x1x2＝－2 ①， k＋4k＋4
2
设△OAB的面积为S， 由x1x2＝－
3
<0， k＋4
2
11
知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|
2212k＋32
＝?x1＋x2?－4x1x2＝2 2k＋42k＋3＝2＝?k＋3?＋1
2
2
22
k＋3＋
2
1
。
k2＋3
令k＋3＝t，则t≥3， 1
令y＝t＋，t≥3，
t1
因为y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
t143