1??因为MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，M?0，－?，
→→→→
?m?
1??所以?x1，y1＋?＝λ1(1－x1，－y1)，
?m?
?x2，y2＋1?＝λ(1－x，－y)，
?222
m???
所以λ1＝－1－
1
my1
，λ2＝－1－
1
my2
，
所以λ1＋λ2＝－2－
y1＋y26m9m8
＝－2－2÷2＝－。 my1y23m＋43m＋43
8
综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－。
3
?5?(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N?，0?，?2??5?猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N?，0?，证明如下： ?2?
→
????AN＝?－x1，－y1?＝?－my1，－y1?，
?
?3?易知E(4，y2)，则NE＝?，y2?。
?2?
6m??9?333??3?因为?－my1?y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝?－2?－m?－2?＝0， 222?3m＋4??3m＋4??2?
→
→
所以AN∥NE，即A，N，E三点共线。 同理可得B，N，D三点共线。
→
5
?23??2
?5?则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N?，0?。 ?2?
1
2．(配合例3使用)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是
2抛物线x＝83y的焦点。
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。
2
1
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
2
②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由。
x2y2c1222
解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则b＝23。由＝，a＝c＋b，得a＝
aba2
4，
所以椭圆C的方程为＋＝1。 1612(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)。 1
①设直线AB的方程为y＝x＋t，
2代入＋＝1，得x＋tx＋t－12＝0，
1612由Δ>0，解得－4 由一元二次方程根与系数的关系得 x2y2 x2y2 22 x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12， 所以|x1－x2|＝?x1＋x2?－4x1x2 ＝t－4?t－12?＝48－3t。 所以四边形APBQ的面积 12 2 2 2 2 S＝×6×|x1－x2|＝348－3t2。 所以当t＝0时，S取得最大值，且Smax＝123。 ②若∠APQ＝∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)， y－3＝k?x－2?，??2由?xy2 ＋＝1，??1612 2 2 2 得(3＋4k)x＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)－48＝0， 8?2k－3?k所以x1＋2＝2， 3＋4k－8k?－2k－3?8k?2k＋3? 将k换成－k可得x2＋2＝＝22， 3＋4k3＋4k16k－12－48k所以x1＋x2＝2，x1－x2＝2， 3＋4k3＋4k所以kAB＝＝ 2 y1－y2k?x1－2?＋3＋k?x2－2?－3＝ x1－x2x1－x2 k?x1＋x2?－4k1 ＝， x1－x22 1所以直线AB的斜率为定值。 2 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代 数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步，特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面，为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程。 技巧一巧用平面几何性质 x2y2 【例1】 已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为Cab的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1123A． B．C． D． 3234 【解析】 设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝ONaMFa－c，＝。又因 MFa＋cOEa1aa－cc1 为OE＝2ON，所以有＝·，解得a＝3c，e＝＝，故选A。 2a＋caa3 【答案】 A 此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算。 【变式训练1】 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分 4别是C1，C2在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) x2 2 A．2 3C． 2 B．3 D． 6 2 解析 由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及|AF1|＋|AF2|＝4，?? 双曲线的定义和已知，可得?|AF2|－|AF1|＝2a， ??|AF1|2＋|AF2|2＝12， 解得a＝2，故a＝2。所以双曲线 2 C2的离心率e＝ 答案 D 32 ＝ 6。 2 技巧二设而不求，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解。 x2y2 【例2】 已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A， abB两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( ) A．＋＝1 B．＋＝1 45363627C．＋＝1 D．＋＝1 2718189【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， x2x2 y2y2 x2x2 y2 y2 ???xy??a＋b＝1， ② 2 22 222 x2y211 2＋2＝1， ①ab 2 ?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2? ①－②得＋＝0， 22aby1－y2b2?x1＋x2?b2所以kAB＝＝－2＝。 x1－x2a?y1＋y2?a2 0＋11b1 又kAB＝＝，所以2＝。 3－12a2 又9＝c＝a－b，解得b＝9，a＝18， 所以椭圆E的方程为＋＝1。 189【答案】 D 本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题。 1xy【变式训练2】 过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A， 2ab2 2 2 2 2 2 2 x2y2 B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________。 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?? 则?xy??a＋b＝1 ②， 2 22 222 x2y211 2＋2＝1 ①，ab